甘肅省金昌市2023屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（    ）A． B． C． D．2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．3．已知圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為4，若該圓臺(tái)的體積為，則其母線長為（    ）A． B． C．4 D．4．已知向量的夾角為，，則（    ）A． B． C． D．75．已知，且，則的值為（    ）A． B． C． D．6．在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（    ）A．5 B．6 C．7 D．87．在正中，連接三角形三邊的中點(diǎn)，將它分成4個(gè)小三角形，并將中間的那個(gè)小三角形涂成白色后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程得到如圖所示的圖形．在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分的概率是（    ）A． B． C． D．8．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)的條件可以是（    ）A． B． C． D．9．已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（    ）A． B．C． D．10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為．若，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．11．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．12．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn)，若直線的斜率為，則的面積為（    ）A． B． C． D． 二、填空題13．函數(shù)的極大值為_______.14．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題，“今有金箠，長五尺．?dāng)乇疽怀?，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．問次一尺各重幾何?/span>”意思是“現(xiàn)有一根金杖，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，估計(jì)此金杖總重量約為_________斤．15．若函數(shù)，又是函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且的最小值為，則的值為______.16．已知三棱錐內(nèi)接于球，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且．若，則球的體積為_________． 三、解答題17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)若，求．18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面．  (1)證明：平面；(2)若，且，求點(diǎn)到平面的距離．19．中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育最重要的階段，長時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長（單位：小時(shí)），分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到他們最近一周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長的樣本數(shù)據(jù)：甲班813283239乙班1225262831如果學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長超過26小時(shí)，則稱為“過度熬夜”．(1)請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長的平均值；(2)從樣本甲、乙兩班所有“過度熬夜”的學(xué)生中任取2人，求這2人都來自甲班的概率．20．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在直線，使得直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．21．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：．22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和的普通方程；(2)求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值．23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集為，求證：．
參考答案：1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，然后可得.【詳解】由復(fù)數(shù)，得，所以．故選：A2．B【分析】分別計(jì)算出集合和，再由交集的運(yùn)算計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】由，，所以，故選：B．3．A【分析】根據(jù)圓臺(tái)體積公式求出圓臺(tái)高，再由高及底面半徑求圓臺(tái)母線.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，解得，故圓臺(tái)母線長．故選：A4．C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>的夾角為，，所以，所以．故選：C5．D【分析】先用余弦的二倍角公式解出，再用平方關(guān)系即可求出.【詳解】由得，即，所以，又，則，所以，所以．故選：D.6．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列方程求解.【詳解】設(shè)的公比為，則，解得，由，解得，所以，解得.故選：C7．B【分析】將中間白色三角形依規(guī)律分成4個(gè)小白色三角形，根據(jù)幾何概型分析計(jì)算即可．【詳解】將中間白色三角形依規(guī)律分成4個(gè)小白色三角形，如圖所示，則共可分為16個(gè)相同的小三角形，白色部分有7個(gè)小三角形，黑色部分有9個(gè)小三角形，故在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分的概率是，故選：B．8．C【分析】根據(jù)流程圖逐步代入數(shù)據(jù)檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】，輸出，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入“”．故選：C.9．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)遞減，再由零點(diǎn)存在性確定零點(diǎn)范圍，結(jié)合單調(diào)性判斷大小.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，因?yàn)?/span>，，由單調(diào)性知，即．故選：B10．D【分析】結(jié)合圓的垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，求出離心率即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以三角形為正三角形，所以到直線的距離為，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故選：D11．B【分析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出的取值范圍，在由在區(qū)間上既有最大值又有最小值求出的取值范圍，然后求交集即可.【詳解】1.因?yàn)?/span>，則，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即恒成立，則，解得；2.因?yàn)?/span>，則，①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)只有最大值，沒有最小值不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)只有最小值，沒有最大值不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以為最小值，若在上既有最大值，又有最小值，則且，解得：；綜上所述：．故選：B.12．D【分析】根據(jù)題意可證明重合，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及直線斜率求出，再由三角形面積公式得解.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，因?yàn)?/span>，并結(jié)合拋物線定義可得，又因?yàn)?/span>，所以，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合．設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立方程得，所以，又因?yàn)橹本€的斜率為，所以，即，所以的面積為．故選：D13．【分析】根據(jù)題意求出導(dǎo)函數(shù)，再令，確定極值點(diǎn)，再討論極值點(diǎn)兩端函數(shù)單調(diào)性，確定極大值．【詳解】根絕題意得：，令，解得，或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為極大值，為極小值．綜上，函數(shù)的極大值為．【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)極值，首先令導(dǎo)函數(shù)等于0，確定極值點(diǎn)，再分析極值點(diǎn)兩邊函數(shù)單調(diào)性，從而確定極大值或極小值，切記不等價(jià)于函數(shù)取極值．14．15【分析】根據(jù)題意，每節(jié)重量構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式得解.【詳解】由題意知每節(jié)的重量構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為2，則第5項(xiàng)為4，所以總重量為斤．故答案為：1515．【分析】先根據(jù)最大值點(diǎn)和對(duì)稱中心的最小距離求出周期，再求出函數(shù)解析式，代入解析式結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的函數(shù)值求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，所以，此時(shí)點(diǎn)A、B為函數(shù)上相鄰的最高點(diǎn)和對(duì)稱中心，所以，所以，解得，所以，所以.故答案為：16．/【分析】根據(jù)題意知球心在線段上，由直角三角中勾股定理列出方程求出半徑即可得解.【詳解】依題意知，既是的垂直平分線，又是的垂直平分線，所以球心在線段上，如圖，  設(shè)，球的半徑為，在中，，在中，則，所以．故答案為：17．(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得解；（2）由正弦定理化簡后再由兩角和正弦公式及輔助角公式化簡得解.【詳解】（1）由已知及正弦定理得，因?yàn)?/span>．所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以．（2）因?yàn)?/span>，由正弦定理化簡得，又，所以．所以．所以，因?yàn)?/span>，所以，所以．18．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直，再得線線垂直，由線面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)等體積法求出點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以．因?yàn)?/span>平面，所以平面．（2）如圖，取中點(diǎn)為，連接，由（1）知平面，所以，又，  所以且，由平面平面，平面平面平面，則平面，即點(diǎn)到平面的距離為1，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以．所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．19．(1)24.4小時(shí)(2) 【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式直接計(jì)算可得；（2）列舉出所有可能情況，然后由古典概型概率公式可得.【詳解】（1）甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)甲班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24小時(shí)；乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)乙班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24.4小時(shí)．（2）由題知，甲班“過度熬夜”的有3人，記為，乙班“過度熬夜”的有2人，記為，從中任取2人，有，共10種可能，其中都來自甲班的有，共3種可能，所以所求概率．20．(1)(2)不存在，理由見解析 【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解方程組即可；（2）分斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程消去y，利用韋達(dá)定理表示，再根據(jù)直線與圓相切列方程，聯(lián)立求解即可判斷.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為．因?yàn)檫^兩點(diǎn)，所以解得，所以橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在直線滿足題意．（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)的方程為．當(dāng)時(shí)，，同理可得，當(dāng)時(shí)，．（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，設(shè)，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即①，聯(lián)立方程組整理得，，由根與系數(shù)的關(guān)系，得因?yàn)?/span>，所以．所以，所以，整理得②，聯(lián)立①②，得，此時(shí)方程無解．由（ⅰ）（ⅱ）可知，不存在直線滿足題意．21．(1)(2)，證明見解析 【分析】（1）先求出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可求出切線方程；（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入，得出，結(jié)合即可證明結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為，即．（2）因?yàn)?/span>，所以，由題意知是方程在內(nèi)的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，又，且函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線，所以只需， 解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，由是方程的兩根，得，，故，又，所以．22．(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程(2) 【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求直角坐標(biāo)方程，消參可得直線普通方程；（2）根據(jù)拋物線方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式配方后求最值.【詳解】（1）因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，所以，所以．由消去得．故曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程．（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離為．所以當(dāng)時(shí)，．23．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）分情況去絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行求解；（2）用分析法證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，的解集為．（2）證明：由（1）知，所以，要證．只需證，即．只需證，即．由，得．故原不等式成立． 

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