2022-2023學(xué)年湖北省武漢市武珞路中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  若的三邊分別為，，，下列給出的條件不能構(gòu)成直角三角形的是(    )A.  B. ，，
C. ：：：： D. 4.  下列各命題的逆命題不成立的是(    )A. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 B. 如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等
C. 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 D. 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的立方相等5.  如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長(zhǎng)為尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是(    )A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺6.  已知，菱形的周長(zhǎng)為，一條對(duì)角長(zhǎng)為，則菱形的面積(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，點(diǎn)在矩形邊的延長(zhǎng)線上，連接，，，若，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 8.  如圖，中，平分，平分的外角，于，交于點(diǎn)，于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，則(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  已知，且，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在內(nèi)部，且是等邊三角形，，若，，則的長(zhǎng)是(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  ______ ．12.  在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：______．13.  勾股定理最早出現(xiàn)在商高的周髀算經(jīng)：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”觀察下列勾股數(shù)：，，；，，；，，；，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為的一類勾股數(shù)，如：，，；，，；，若此類勾股數(shù)的勾為為正整數(shù)，則其弦是______結(jié)果用含的式子表示．14.  在面積為的?中，，過(guò)點(diǎn)分別作邊、上的高、，垂足分別為、，則的值為______ ．15.  如圖，平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，平分，分別交、于點(diǎn)、，連接，，，則下列結(jié)論：，，，其中正確的有______ 只填序號(hào)
16.  如圖，在中，為上一點(diǎn)，連接，，，，則的面積是______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：
；
．18.  本小題分
已知，，求下列各式的值：
；
．19.  本小題分
已知：如圖，在?中，點(diǎn)、在對(duì)角線上，且，求證：四邊形是平行四邊形．
20.  本小題分
如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．
求證：四邊形是矩形；
連接，若，，求的長(zhǎng)．
21.  本小題分
如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過(guò)程用虛線表示．
在圖中，作平行四邊形；點(diǎn)是邊與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平分四邊形的周長(zhǎng)；
在圖中，是邊上一點(diǎn)，在邊上畫點(diǎn)，使；
在圖中，點(diǎn)在格點(diǎn)上，連接，，在上畫點(diǎn)，使平分四邊形的面積．
 22.  本小題分
點(diǎn)是矩形的邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，將、分別沿、翻折，得到、．
如圖，交于點(diǎn)，交于，在的右側(cè)，求證：；
如圖，當(dāng)、、共線時(shí)，稱點(diǎn)為邊上的“疊合點(diǎn)”．
在矩形中，，，點(diǎn)為邊上的“疊合點(diǎn)”，求的長(zhǎng)；
若在矩形中，，點(diǎn)是邊上的“疊合點(diǎn)”，則 ______ ．
 23.  本小題分
如圖，是異于，的一點(diǎn)，在和中，，，，，、、三點(diǎn)不在一條直線上．
如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

證明：≌；
求證：；
如圖，，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是______ ．24.  本小題分
將矩形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，并且實(shí)數(shù)，使式子成立．
求證：四邊形是正方形；
如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)向左側(cè)作，與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；
如圖，點(diǎn)、在對(duì)角線上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，直接寫出四邊形的周長(zhǎng)的最小值是______ ．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解即可．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
 2.【答案】 【解析】解：、與不是同類二次根式，無(wú)法合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、與不是同類二次根式，無(wú)法合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故本選項(xiàng)正確．
故選：．
根據(jù)二次根式的加減法法則判斷各選項(xiàng)即可．
本題考查二次根式的加減法，屬于基礎(chǔ)題，比較容易解答，要注意對(duì)同類二次根式這一概念的熟練掌握．
 3.【答案】 【解析】解：、，
能構(gòu)成直角三角形，
故A不符合題意；
B、
，
能構(gòu)成直角三角形，
故B不符合題意；
C、：：：：，，
，
不能構(gòu)成直角三角形，
故C符合題意；
D、，
，
能構(gòu)成直角三角形，
故D不符合題意．
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可．
本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，成立，不符合題意；
B、如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等，不成立，符合題意；
C、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的逆命題是對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等，成立，不符合題意；
D、如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的立方相等的逆命題是如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，成立，不符合題意；
故選：．
根據(jù)平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定定理、實(shí)數(shù)的立方的概念判斷即可．
本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，掌握平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定定理、實(shí)數(shù)的立方的概念是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，
根據(jù)勾股定理得：，
解得：，
蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度尺，
答：蘆葦長(zhǎng)尺．
故選：．
找到題中的直角三角形，設(shè)水深為尺，根據(jù)勾股定理解答．
本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，，
菱形的周長(zhǎng)為，
，
四邊形是菱形，
，
由勾股定理得，則，
所以菱形的面積．
故選B．
畫出圖形，可得邊長(zhǎng)，由于，由勾股定理可得及的值，再由菱形的面積等于兩對(duì)角線的積的一半求得．
本題考查了菱形的性質(zhì)，需要用到菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，及菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半．
 7.【答案】 【解析】解：連接，如圖所示，
四邊形是矩形，
．
，
．
是等腰三角形．
，
，
．
，
故選：．
連接，根據(jù)已知條件可知，，則是等腰三角形，再根據(jù)，可求得的度數(shù)．
本題考查了矩形的性質(zhì)，矩形的對(duì)角線相等且互相平分．
 8.【答案】 【解析】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
同理≌，
，，
，，
，
，
故選：．
證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求出，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)完全平方公式變形，計(jì)算即可．
本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，
是等邊三角形，
，，
，
，
又，
，
≌，
，，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
故選：．
在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，由≌得，，，設(shè)，則，，由得，，求出，最后利用勾股定理求出．
本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，合理添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：原式．
故答案為：
原式利用平方根的定義化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．
此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，
故答案為：
本題是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，把看成再利用平方差公式進(jìn)行因式分解．
本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，把看成再利用平方差公式進(jìn)行因式分解是解題關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：為正整數(shù)，
為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，
根據(jù)勾股定理得，，
解得，
弦為；
故答案為：．
根據(jù)題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】或 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，
如圖：

由平行四邊形面積公式得：，
，，
，
，，
，
，
在的延長(zhǎng)線上，
，，
即；
如圖：

，，
，
，，
，
由知：，，
，
故答案為：或．
根據(jù)平行四邊形面積求出和，有兩種情況，求出、的值，求出和的值，相加即可得出答案．
本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，，
，，
，
平分，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正確；
的中位線，
，
故正確；
作于，交延長(zhǎng)線于，
，
，
，，
，
，
故錯(cuò)誤；
作于，
，
，
，
的面積，
故正確，
故答案為：．
由平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定義推出是等邊三角形，得到，由，得到，因此，由三角形外角的性質(zhì)即可求出，得到，由三角形中位線定理即可證明，由直角三角形的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)，由勾股定理即可求出的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，即可求出的面積．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，角平分線的定義，綜合應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：延長(zhǎng)，作于點(diǎn)，

，
，
，
作于點(diǎn)，
，
作，
，，
：：，
：：，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
延長(zhǎng)，作于點(diǎn)，作，證出，根據(jù)角分線性質(zhì)證出，再根據(jù)三角形面積比，得出：：，設(shè)，表示出和，根據(jù)勾股定理求出，再求出三角形面積即可．
本題考查了三角形面積的求法，角平分線及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案；
直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．
本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，，
；
，




；
由知，；
，





． 【解析】先求出與的值，把原式化為的形式，再代入進(jìn)行計(jì)算即可；
先通分，再把中與的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟知二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：連接，交于點(diǎn)．
四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線、的交點(diǎn)．
．
又點(diǎn)、在對(duì)角線上，且，
，
即
四邊形是平行四邊形，
，
由得四邊形是平行四邊形． 【解析】首先連接，交于點(diǎn)，進(jìn)而得出，即可得出四邊形是平行四邊形．
此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，得出，是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：四邊形是菱形，
且，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形；
解：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，

，
，
． 【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
關(guān)鍵菱形的性質(zhì)得到，，，求得，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：如圖中，直線即為所求；
如圖中，點(diǎn)即為所求；
如圖中，點(diǎn)即為所求；
理由：由作圖可知，
的面積的面積，
的面積的面積的面積的面積的面積的面積的面積的面積的面積四邊形的面積．
 【解析】取的中點(diǎn)，作直線即可；
構(gòu)造等腰三角形，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；
取的中點(diǎn)，連接，，取格點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)即為所求．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
 22.【答案】 【解析】證明：如圖中，

四邊形是矩形，
，
，
由翻折的性質(zhì)可知，
，
，
同法可證，
；
四邊形是矩形，
，，，
設(shè)，則，
在中，，
在中，，
由折疊的性質(zhì)可知，，，
，
在中，，
，
解得或，
的長(zhǎng)為或，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述，的長(zhǎng)為或；
四邊形是矩形，，
，，，
設(shè)，則，
在中，，
在中，，
由得，，
在中，，
，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，
；
綜上所述，的值為．
故答案為：．
利用平行線的性質(zhì)翻折變換的性質(zhì)證明，，可得結(jié)論；
由矩形的性質(zhì)得出，，，設(shè)，則，由勾股定理得出，求得或，則可求出答案；
設(shè)，則，由矩形的性質(zhì)及勾股定理得出，求出或，則可求出答案．
本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
 23.【答案】 【解析】證明：如圖，

，
，
，
在和中，
，
≌；
如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
由同理可證，≌，≌，
，，，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
故答案為：．
利用“”即可證明≌；
過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用“”證明≌，即可證明結(jié)論；
過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，利用勾股定理求得，由同理可證，≌，≌，得到，，，然后證明是等邊三角形，得到，最后求出，即可求出的長(zhǎng)．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
 24.【答案】 【解析】證明：，
，
，，
，，
，
四邊形是矩形，
四邊形是正方形；

解：，
，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；

解：取，的中點(diǎn)，，連接，，交于點(diǎn)，在上截取，連接．

，，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，關(guān)于對(duì)稱，
，
，
的最小值為，
四邊形都是周長(zhǎng)的最小值為．
故答案為：．
利用二次根式的性質(zhì)判斷出，的值，可得結(jié)論；
利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得結(jié)論；
取，的中點(diǎn)，，連接，，交于點(diǎn)，在上截取，連接求出的最小值，可得結(jié)論．
本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
 

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