2022-2023學(xué)年下學(xué)期高三年級第四次模擬考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2．選擇題必須使用鉛筆填涂；非選擇題必須使用毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5．保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 復(fù)數(shù)的平方根是（    ）A. 或 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)的平方根為，則，化簡后根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組求解即可.【詳解】設(shè)的平方根為，則，即，從而解得或所以復(fù)數(shù)的平方根是或，故選：A2. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的定義域、值域，再利用并集的定義求解作答.【詳解】集合，即，，則，所以.故選：B3. 定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（    ）A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再結(jié)合即可求解的值．【詳解】依題意得，又，所以．故選：C．4. “”是“圓：與圓：有公切線”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定的取值范圍，即可判斷充分必要性.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，若兩圓有公切線，則，即，解得或，所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.故選：A.5. 中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則該幾何體的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式以及圓的面積公式即可求解每個面的面積,進(jìn)而可求表面積.【詳解】此幾何體為兩個半圓柱的組合體：一個大的半圓柱中間挖去一個小的同軸半圓柱，.故選：D6. 已知，分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的動點，，，點到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用雙曲線定義求得a、c的值，進(jìn)而求得兩條漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由，得．因為，所以．又因為，所以，故雙曲線的方程為，所以兩條漸近線的方程為．設(shè)，則，故．不妨設(shè)，則，所以，所以．故選：B．7. 已知，均為銳角，且，則的最大值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】將變形，配角利用兩角差的正弦公式展開化簡計算，可得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)列不等式求解的取值范圍，即可得最大值.【詳解】∵，∴，即，∴，即，又因為為銳角，所以該方程有解，即，解得．又為銳角，∴．所以最大值是.故選：C8. 已知，（），則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分別取，可判斷A，B，利用對數(shù)換底公式和基本不等式可判斷C，D.【詳解】若，則，∴，，，故A錯．若，則，∴，，故B錯．對于C，由得：，即.同理由得：，所以，故C正確；對于D，同上得：,故D錯誤.故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9. 已知函數(shù)，則（    ）A. 與均在單調(diào)遞增B. 的圖象可由的圖象平移得到C. 圖象的對稱軸均為圖象的對稱軸D. 函數(shù)的最大值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)二倍角正弦公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性、平移的性質(zhì)、對稱性、換元法逐一判斷即可.【詳解】，當(dāng)時，，，顯然、都是的子集，所以函數(shù)與均在單調(diào)遞增，因此選項A正確；函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，因為左右、上下平移不改變正弦型函數(shù)的最小正周期，故選項B不正確；由，所以函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)的對稱軸為，顯然當(dāng)為奇數(shù)時，圖象的對稱軸不為圖象的對稱軸，因此選項C不正確；令，所以，因為，所以當(dāng)時，該函數(shù)有最大值，因此選項D正確，故選：AD10. 現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動員連續(xù)5場籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球員得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：甲球員：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26，眾數(shù)是24；乙球員；5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29，平均數(shù)是26；丙球員：5個數(shù)據(jù)有1個是32，平均數(shù)是26，方差是9.6；根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計結(jié)論一定正確的是（    ）A. 甲球員連續(xù)5場比賽得分都不低于24分B. 乙球員連續(xù)5場比賽得分都不低于24分C. 丙球員連續(xù)5場比賽得分都不低于24分D. 丙球員連續(xù)5場比賽得分的第60百分位數(shù)大于24【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的定義判斷A，結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)的定義舉反例判斷B，根據(jù)平均數(shù)和方差的定義，百分位數(shù)的定義，分析丙球員的得分判斷CD.【詳解】設(shè)甲球員的5場籃球比賽得分按從小到大排列為，則，，且至少出現(xiàn)次，故，A正確；設(shè)乙球員的5場籃球比賽得分按從小到大排列為，則，，取，可得其滿足條件，但有2場得分低于24，B錯誤；設(shè)丙球員的5場籃球比賽得分按從小到大排列為，由已知，所以，若，則，所以，矛盾，所以，，因為的平均數(shù)為，所以，取，滿足要求，但有一場得分低于24分，C錯誤；因為，所以丙球員連續(xù)5場比賽得分的第60百分位數(shù)為，若，則，故，矛盾，所以，所以丙球員連續(xù)5場比賽得分的第60百分位數(shù)大于24，D 正確；故選：AD.11. 如圖，在矩形中，，，為中點，現(xiàn)分別沿、將、翻折，使點、重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（    ）A. B. 三棱錐的體積為C. 直線與平面所成角的大小為D. 三棱錐外接球的半徑為【答案】ACD【解析】【分析】證明平面，即可判斷A，再根據(jù)即可判斷B；先利用余弦利用等體積法求出點到平面的距離，再根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為即可判斷C；利用直角三角形可得的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D．【詳解】由題意可知由，，又，，平面，所以平面，平面,所以，故A正確，在中，，所以為直角三角形，所以，故B錯誤；設(shè)到平面的距離為，則 ，由于 ,所以，又,故直線與平面所成角為 ，則 ,故C正確，由B選項知，為直角三角形， 所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，又因為平面，則，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故D正確．故選：ACD12. 已知函數(shù)定義域為，滿足，當(dāng)時，.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點為，（其中表示不超過的最大整數(shù)），則（    ）A. 是偶函數(shù) B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】舉例說明判斷選項A；分析函數(shù)與的性質(zhì)，作出部分函數(shù)圖象，結(jié)合圖象與性質(zhì)推理、計算判斷選項B、C、D作答.【詳解】對于A，函數(shù)，顯然，而，即，因此不是偶函數(shù)，故A錯誤；函對于B，數(shù)定義域為R，滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因此當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，因此當(dāng)時，函數(shù)，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖，當(dāng)時，函數(shù)的圖象有唯一公共點，因為，因此，，而滿足的整數(shù)有個，即，故B正確；對于C，顯然，所以，故C正確；對于D，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛：求兩個分段函數(shù)的公共點的坐標(biāo)，自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該段的解析式求值是關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 如圖,在平行四邊形中,點E是CD的中點,點F為線段BD上的一個三等分點,且,若,則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知,,根據(jù)平面向量基本定理,將用線性表示,根據(jù)兩個向量相等即可得的值,進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解:由題知點F為線段BD上的一個三等分點,所以,所以,因為不共線,所以,故.故答案為:14. 與曲線和都相切的直線方程為__________.【答案】【解析】【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線相切的切點，然后表示出直線的方程，再根據(jù)切線是同一條直線建立方程求解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，設(shè)直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為，故答案為：.15. 設(shè)是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且，，，則______________，__________.【答案】    ①.     ②. ##0.75【解析】【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】由題知，，，，即，則.因，所以，則.故答案為：；.16. 設(shè)拋物線：（）焦點為，準(zhǔn)線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點作 的垂線，垂足為．設(shè)，與相交于．若，且的面積為，則拋物線的方程為________________.【答案】【解析】【分析】由拋物線定義可得四邊形為平行四邊形，故可得點 即得拋物線方程.【詳解】如圖所示，，．所以．軸，，， 所以四邊形為平行四邊形，，．，解得，代入可取，，解得．.故答案為：.四、解答題：本題共6個小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. 已知數(shù)列的前項的積（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，即可求出答案；（2），由此可求得答案.【小問1詳解】，當(dāng)時，.當(dāng)時，，滿足上式，.【小問2詳解】.18. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，C=.（1）當(dāng) 時，求的面積;（2）求周長的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得，分類討論可求出a，b的值，利用三角形面積公式即可計算得出結(jié)論；（2）由余弦定理及已知條件可得，利用基本不等式可得，解得，從而可求得周長的最大值.【小問1詳解】由，得 ，即，即，當(dāng) 時，，得;當(dāng)時，，由正弦定理得，由余弦定理及已知條件可得，聯(lián)立. 解得，故三角形的面積為.【小問2詳解】法一：由余弦定理可得:，由得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號.又，即.即周長的取值范圍是. 法二:，中，由正弦定理有，.即周長的取值范圍是.19. 如圖，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一點，且，.（1）求證：；（2）若，且點到底面的距離為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，結(jié)合題設(shè)易知、，由面面垂直的性質(zhì)有平面，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值.【小問1詳解】取的中點，連接，，為中點，中點，又為中點，，故；由，為中點，則，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，則；，平面，平面，平面，，又，故.【小問2詳解】由（1）知：平面，且為等邊三角形，則，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，又點到底面的距離等于點到底面的距離為，，，，，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，所以二面角的余弦值為.20. 某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日的微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：（1）從3月2日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；（2）從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）下圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名（按照從大到小排序）分別為第68和第142，請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（不用說明理由）．【答案】（1）    （2）分布列見解析，    （3）3月3日【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型公式求解即可.（2）根據(jù)題意得到，，，，再寫出分布列數(shù)學(xué)期望即可.（3）根據(jù)折線圖和頻率分布直方圖求解即可.小問1詳解】令時間A為“職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000”，從3月2日至3月7日這6天中，3月2日、5日、7日這3天中，甲乙微信記步數(shù)都不低于10000，故.【小問2詳解】由（1）知：，，，，的分布列為：【小問3詳解】根據(jù)頻率分步直方圖知：微信記步數(shù)落在，，，，（單位：千步）區(qū)間內(nèi)的人數(shù)依次為人，人，人，人，人，由甲微信記步數(shù)排名第68，可知當(dāng)天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬之間，根據(jù)折線圖知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信記步數(shù)排名第142，可知當(dāng)天乙微信記步數(shù)在5000到10000萬之間，根據(jù)折線圖知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.21. 已知離心率為橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為、，上頂點為，且的外接圓半徑大小為．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)斜率存在的直線交橢圓于，兩點（，位于軸的兩側(cè)），記直線、、、的斜率分別為、、、，若，則直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率確定橢圓中的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理的推論確定外接圓半徑與邊角關(guān)系即可得的值，從而求得橢圓方程；（2）由題可設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓即可得交點坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)斜率的計算式可得，，再由已知等式確定，由坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求得的值得出結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)橢圓C的離心率為知，所以，如圖，則則在中，可得，，由正弦定理得，解得，所以，，所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】由已知直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立，得，得于是，，因為，，代入橢圓方程得，所以， 同理，于是，，因為，所以，即．又直線l的斜率存在，所以，于是，所以，即，又，，所以，整理得，所以，化簡整理得，又P、Q位于x軸的兩側(cè)，所以，解得，所以，此時直線l與橢圓C有兩個不同的交點，于直線l恒過定點．22. 設(shè)函數(shù)，其中和是實數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點．求常數(shù)的值；當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；求證：．【答案】(1) ；(2) ；(3) 詳見解析【解析】【詳解】. 試題解析：(1) 對求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，所以. (2) 由(1)得，.①當(dāng)時，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；②當(dāng)時，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；③當(dāng)時，令，當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；綜上(3) 對要證明的不等式等價變形如下：所以可以考慮證明：對于任意的正整數(shù)，不等式恒成立. 并且繼續(xù)作如下等價變形對于相當(dāng)于（2）中，情形，有在上單調(diào)遞減，即而且僅有. 取，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，. 從而對于任意正整數(shù)都有成立.對于相當(dāng)于（2）中情形，對于任意，恒有而且僅有. 取，得：對于任意正整數(shù)都有成立.因此對于任意正整數(shù)，不等式恒成立.這樣依據(jù)不等式，再令利用左邊，令 利用右邊，即可得到成立. 考點：1.導(dǎo)數(shù)來描述原函數(shù)的單調(diào)性；2. 導(dǎo)數(shù)來描述原函數(shù)的極值；3.函數(shù)零點  
 
 

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