2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙一中教育集團(tuán)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  以下各數(shù)是最簡(jiǎn)二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  張華是初三的一名男生，今年三月，他參加了招飛體檢測(cè)評(píng)，他的身高、體重和視力等各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到了合格標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為他的身高和下面哪一個(gè)數(shù)值最接近？(    )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米4.  勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，大約有五百多種證明方法，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽也分別利用趙爽弦圖和青朱出入圖證明了勾股定理，下列四個(gè)圖形，哪一個(gè)是趙爽弦圖(    )A.  B.
C.  D. 5.  為了更好開(kāi)展勞動(dòng)教育，實(shí)現(xiàn)五育并舉，某校開(kāi)設(shè)了勞動(dòng)實(shí)踐課程該校的某勞動(dòng)實(shí)踐小組協(xié)助公園園區(qū)工人測(cè)量人工湖湖畔，兩點(diǎn)之間的距離，該實(shí)踐小組所畫的示意圖如圖，先在湖邊地面上確定點(diǎn)，再用卷之分別確定，的中點(diǎn)，，最后用卷尺量出，則，之間的距離是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，根據(jù)作圖的痕跡，則的長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線與的交點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是(    )
A.  B.  C.  D. 8.  近來(lái)，“圍爐煮茶”這一別具儀式感和氛圍感的喝茶方式成為時(shí)下新晉網(wǎng)紅，如圖為淘寶某商家從年月初到年春節(jié)共周的“圍爐”周銷量個(gè)隨時(shí)間周變化的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(    )
A. 第周銷量最高，是個(gè)
B. 第周到第周，周銷量個(gè)隨時(shí)間周的增大而增大
C. 第周和第周的銷量一樣
D. 在這周中，周銷量增長(zhǎng)速度最快的是第周到第周和第周到第周9.  為了方便體溫監(jiān)測(cè)，某學(xué)校在大門入口的正上方處裝有紅外線激光測(cè)溫儀如圖所示，測(cè)溫儀離地面的距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫，當(dāng)身高為米的小明正對(duì)門緩慢走到高門米處時(shí)即米，測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，此時(shí)小明頭頂?shù)綔y(cè)溫儀的距離等于(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米10.  在密碼學(xué)中、直接可以看到的內(nèi)容稱為明碼，對(duì)明碼進(jìn)行某種處理后得到的內(nèi)容稱為密碼有一種密碼，將英文個(gè)字母，，，，不分大小寫依次對(duì)應(yīng)，，，，這個(gè)自然數(shù)見(jiàn)表格當(dāng)明碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，密碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)；當(dāng)明碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，密碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)按上述規(guī)定，明碼和密碼相同的序號(hào)為(    ) 字母序號(hào)字母序號(hào) A.  B.  C. 和 D. 和二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  ______．12.  方程的解為______ ．13.  小雨是小學(xué)一年級(jí)的小朋友，在認(rèn)識(shí)直角三角形的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，需要完成一個(gè)剪直角三角形的剪紙活動(dòng)，上初二的姐姐知知?jiǎng)倢W(xué)完勾股定理的相關(guān)知識(shí)，她對(duì)妺妺說(shuō)，我不用直角三角尺或量角器也可以判斷你剪的卡片是否為直角三角形知知量出兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：圖形，，；圖形，，請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)判斷：圖形______ 是直角三角形．14.  點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上，則 ______ 填“”、“”或“”15.  在一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則的取值范圍為______ ．16.  如圖，在菱形中，對(duì)角線，的交點(diǎn)為，，若點(diǎn)在上，且，則的長(zhǎng)為______．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
如圖，在一條東四走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)、，道路因?yàn)槭┕ば枰忾]，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)在同一條直線上，并新修一條道路，已知千米，千米，千米．
是否為村莊到河邊最近的道路，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；
已知新的取水點(diǎn)與原取水點(diǎn)相距千米，求新路比原路少多少千米．
19.  本小題分
如圖，平行四邊形中，點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上，，，垂足為點(diǎn)，．
求證：四邊形是平行四邊形；
求的長(zhǎng)．
20.  本小題分
如圖，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于．
求證：是等腰三角形；
若，，求圖中的面積．
21.  本小題分
如圖，已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
求直線的解析式；
若直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)；
在的條件下，求的面積．
22.  本小題分
受疫情影響，全國(guó)中小學(xué)延遲開(kāi)學(xué)，很多學(xué)校都開(kāi)展起了“線上教學(xué)”，市場(chǎng)上對(duì)電腦的需求激增．某廠家準(zhǔn)備月份緊急生產(chǎn)，兩種型號(hào)的電腦，其中型號(hào)電腦每臺(tái)的利潤(rùn)為元，型號(hào)電腦每臺(tái)的利潤(rùn)為元．該廠家計(jì)劃生產(chǎn)兩種型號(hào)的電腦共臺(tái)，其中生產(chǎn)型號(hào)電腦的數(shù)量不少于型號(hào)電腦數(shù)量的倍，設(shè)生產(chǎn)了型號(hào)電腦臺(tái)，這臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為元．
求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
該廠家生產(chǎn)型號(hào)、型號(hào)電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？23.  本小題分
如圖，在正方形的外側(cè)，以為邊作等邊，線段與線段相交于點(diǎn)．
求，的度數(shù)；
求證：；
求的值．
24.  本小題分
如果直線與直線相交于點(diǎn)，且?jiàn)A角為，則稱為的芙蓉線，點(diǎn)為芙蓉點(diǎn)這個(gè)的角為芙蓉角．
若直線為軸，直線的解析式為，當(dāng)為的芙蓉線時(shí)，的值為______ ；
直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸上點(diǎn)右側(cè)的一點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，其橫坐標(biāo)為，判斷是否為芙蓉角，并說(shuō)明理由；
直線的解析式為，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線是直線的芙蓉線．
求點(diǎn)的坐標(biāo)；
點(diǎn)是直線上異于點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直線的芙蓉線時(shí)，直接寫出相應(yīng)的芙蓉點(diǎn)的坐標(biāo)．25.  本小題分
如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
求線段的長(zhǎng)度；
記點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，令，求的最大值；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到等邊．
在的條件下計(jì)算時(shí)，線段的長(zhǎng)度；
如圖，連接，判斷的面積是否為定值；若是，直接寫出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，計(jì)算正確，符合題意，選項(xiàng)正確；
C、和不是同類二次根式，不能合并，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：．
根據(jù)二次根式的加減乘除運(yùn)算法則求解判斷即可．
本題考查二次根式的加減乘除運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：．
根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，被開(kāi)方數(shù)中不含分母，即可解答．
本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：、，
，
，，
，
故A不符合題意；
B、，
，
，，
，
故B符合題意；
C、，
，
，，
，
故C不符合題意；
D、，
，
，，
，

故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)完全平方數(shù)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A中的圖形是趙爽弦圖．
故選：．
由圖形即可判斷．
本題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是掌握趙爽弦圖．
 5.【答案】 【解析】解：，分別為，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，
故選：．
根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．
本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：由作圖可知：平分，
是等邊三角形，邊長(zhǎng)為，
，，
由勾股定理得：．
故選：．
由作圖可知：是的角平分線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知：是高線和中線，由勾股定理可得結(jié)論．
此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的作圖，勾股定理，正確識(shí)別是角平分線是解題關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，，
，，
，，
，
．
故選：．
由四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可得的長(zhǎng)，然后由，，，根據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)，繼而求得答案．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分．
 8.【答案】 【解析】解：由圖象可知：
第周銷量最高，是個(gè)，故選項(xiàng)A不合題意；
第周到第周，周銷量個(gè)隨時(shí)間周的增大而增減小，故選項(xiàng)B合題意；
第周和第周的銷量一樣，故選項(xiàng)C不符合題意；
在這周中，周銷量增長(zhǎng)速度最快的是第周到第周和第周到第周，故選項(xiàng)D不符合題意．
故選：．
根據(jù)圖象逐項(xiàng)分析即可．
本題考查了函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)得出銷量，觀察函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)得出第幾周，利用數(shù)形結(jié)合的方法是解答本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

米，米，米，
米．
在中，由勾股定理得到：米，
故選：．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度即可．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段的長(zhǎng)度．
 10.【答案】 【解析】解：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，
，
解得，
，；
當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，
，
解得，
，，
明碼和密碼相同的序號(hào)為和．
故選：．
根據(jù)明碼和密碼序號(hào)序號(hào)相同時(shí)即為，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論即可．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用和數(shù)字的變化規(guī)律，關(guān)鍵是分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論．
 11.【答案】 【解析】解：原式，
故答案為：．
先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可得．
本題主要考查二次根式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的加減運(yùn)算法則．
 12.【答案】 【解析】解：，
方程兩邊平方得：，
解得：或，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，不是原方程的解，
即原方程的解是．
故答案為：．
方程兩邊平方得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
本題考查了解無(wú)理方程，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，，
是直角三角形，不是直角三角形，
故答案為：．
根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．
此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形解答．
 14.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)解析式為，，
對(duì)于一次函數(shù)而言，隨增大而增大，
，在一次函數(shù)的圖象上，，
，
故答案為：．
判斷出一次函數(shù)的增減性即可得到答案．
本題主要考查了比較一次函數(shù)函數(shù)值的大小，正確判斷出一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，
；
，
故答案是：．
根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限確定其圖象的增減性，然后確定的取值范圍即可．
本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象的位置確定其增減性．
 16.【答案】 【解析】解：四邊形是菱形，
，，，
．
，
，
，
，
，
故答案為：．
利用菱形的性質(zhì)即可計(jì)算得出的長(zhǎng)，再根據(jù)面積法即可得到的長(zhǎng)．
此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)面積法得到的長(zhǎng)．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】分別根據(jù)零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、數(shù)的開(kāi)方法則及絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算、數(shù)的開(kāi)方法則及絕對(duì)值的性質(zhì)，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：為村莊到河邊最近的道路．
理由如下：，，，
，
為直角三角形，，
，
為村莊到河邊最近的道路；
在中，千米，千米，
千米，
千米，
新路比原路少千米． 【解析】利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，然后根據(jù)垂線段最短可判斷為村莊到河邊最近的道路；
在中利用勾股定理計(jì)算出千米，然后計(jì)算即可．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用：在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往已知兩邊計(jì)算第三邊的長(zhǎng)．也考查了勾股定理的逆定理和垂線段最短．
 19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，且，
，
四邊形是平行四邊形；
解：由可知，四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得，且，再由，即可得出結(jié)論；
由平行四邊形的性質(zhì)得，再證，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，即可得出答案．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：四邊形是矩形，
，，
將矩形沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
，，
，，
在與中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
解：，，
，，
≌，
，，
，
即，
，
，
圖中陰影部分的面積． 【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
本題考查了翻折變換折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：把點(diǎn)，分別代入得，
解得，，
直線解析式為；

由解得，故，
點(diǎn)坐標(biāo)；
直線與軸交于點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
直線交軸于，點(diǎn)．
． 【解析】利用待定系數(shù)法把點(diǎn)，代入可得關(guān)于、得方程組，再解方程組即可求得直線的解析式；
聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，再解方程組即可求得的坐標(biāo)；求得直線、直線與軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．
此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，關(guān)鍵是正確求出直線的解析式．
 22.【答案】解：型電腦生產(chǎn)了臺(tái)，
型電腦生產(chǎn)了臺(tái)，
，
即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是．
由題意得：，
，
；
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，獲利最大，此時(shí)當(dāng)，，
最大利潤(rùn)為：．
答：當(dāng)型電腦生產(chǎn)臺(tái)、型電腦生產(chǎn)臺(tái)時(shí)，才能使銷售總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元． 【解析】根據(jù)題意，可以寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
根據(jù)型號(hào)電腦的數(shù)量不少于型號(hào)電腦數(shù)量的倍，可以求得型電腦數(shù)量的取值范圍，再根據(jù)中的函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到該商店購(gòu)進(jìn)型、型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大，求出最大利潤(rùn)．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 23.【答案】解：四邊形是正方形，
，，，
是等邊三角形，
，，
，，
，
，
，
；
證明：如圖，連接，同理可得，，

四邊形是正方形，
，
，，
，
；
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)，，可得的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)得的度數(shù)；
連接，同理可得，，通過(guò)計(jì)算和的度數(shù)，即可證明結(jié)論；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得，則，，進(jìn)而解決問(wèn)題．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，在上取一點(diǎn)，過(guò)作軸，交軸于點(diǎn)，

為的芙蓉線，
，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，
，，
，
，
同理，當(dāng)時(shí)，可得
故答案為；
過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，

點(diǎn)在上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，，
與軸和軸交于、兩點(diǎn)，
，，
，
，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
為芙蓉角；
過(guò)點(diǎn)，作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

交軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，
、，
，，
直線是直線的芙蓉線，
，
，
，
，
，
，，
，
≌，
，，
設(shè)，
，，
，
，
，
將，代入中，得
，
的函數(shù)表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
的坐標(biāo)為，
同理可證，
的函數(shù)表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
的坐標(biāo)為；

過(guò)作軸，過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，
時(shí)的芙蓉線，
，
，
，
，
，
，
，，
，
≌，
，，
，，
，，
，
的坐標(biāo)為，
同理可得的坐標(biāo)為．
根據(jù)芙蓉線的定義，可知和的夾角為，當(dāng)時(shí)，可畫圖，可得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則可得，同理，當(dāng)時(shí)，；
通過(guò)給出的點(diǎn)所在直線的表達(dá)式，和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸，可得到兩個(gè)直角三角形，通過(guò)計(jì)算，可得到對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，兩個(gè)直角三角形全等，通過(guò)全等，可得到為等腰直角三角形，然后得到為，為芙蓉角；
通過(guò)中的方法，利用一線三垂直模型，構(gòu)造一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形，并求出直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)點(diǎn)和直角頂點(diǎn)可以求出對(duì)應(yīng)的直線的函數(shù)表達(dá)式，然后求出與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；
通過(guò)點(diǎn)構(gòu)造等腰直角三角形，對(duì)應(yīng)的與的交點(diǎn)就是點(diǎn)，通過(guò)一線三垂直模型，可以得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，也就是芙蓉點(diǎn)坐標(biāo)．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，一線三垂直模型，三角形的全等，同角的余角相等，通過(guò)構(gòu)造一線三垂直模型，得到對(duì)應(yīng)的全等三角形，得到對(duì)應(yīng)邊相等，從而求出對(duì)應(yīng)的值．
 25.【答案】解：，
，
在中，，，
，
，
，；

，，
，
四邊形是菱形，
，，
，
直線的解析式為，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
，
時(shí)，的值最大，最大值為．
當(dāng)時(shí)，，
，
時(shí)，的值最大，最大值為．
綜上所述，的最大值為；

由可知，時(shí)，，
，
，，
點(diǎn)中的垂直平分線上，
，
，
，
，
，
，
；

結(jié)論：的面積是定值，面積為．
理由：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，．

，，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
垂直平分線段，
點(diǎn)在的垂直平分線上，
的面積不變，面積． 【解析】利用直角三角形度角的性質(zhì)以及勾股定理求解；
分兩種情形，構(gòu)建一次函數(shù)，求出最大值即可；
證明垂直平分線段，可得結(jié)論；
結(jié)論：的面積是定值，面積為過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，證明點(diǎn)在線段的垂直平分線上，可得結(jié)論．
本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
 

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