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數(shù)學(xué)是一個(gè)不斷思考，不斷發(fā)現(xiàn)，不斷歸納的過程，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯，約把么三等分的操作如下：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系；
在平面直角坐標(biāo)系中，繪制反比例函數(shù)的圖象，圖象與的邊交于點(diǎn)；
以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)；
分別過點(diǎn)和作軸和軸的平行線，兩線交于點(diǎn)，；
作射線，交于點(diǎn)，得到．判斷四邊形的形狀，并證明；
證明：、、三點(diǎn)共線；
證明：．
19. 本小題分
為加強(qiáng)疫情防控工作，某學(xué)校決定安裝紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫，無需人員停留和接觸，安裝說明書的部分內(nèi)容如表：名稱紅外線體溫檢測儀安裝示意圖技術(shù)參數(shù)最大探測角：安裝要求本設(shè)備需要安裝在垂直于水平地面的支架上，且問題解決：學(xué)校要求測溫區(qū)域的寬度為，師生身高設(shè)定為當(dāng)師生從走到時(shí)，即可測出人體溫度．請你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)，20. 本小題分
為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某中學(xué)以體育為突破口，準(zhǔn)備從體育用品商場一次性購買若干個(gè)足球和籃球，用于學(xué)校球類比賽活動每個(gè)足球的價(jià)格都相同，每個(gè)籃球的價(jià)格也相同已知籃球的單價(jià)比足球單價(jià)的倍少元，用元購買足球的數(shù)量是用元購買籃球數(shù)量的倍．
足球和籃球的單價(jià)各是多少元？
根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，需一次性購買足球和籃球共個(gè)，但要求足球和籃球的總費(fèi)用不超過元，學(xué)校最多可以購買多少個(gè)籃球？21. 本小題分
某游樂場的圓形噴水池中心有一噴水管，從點(diǎn)四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，如圖，以水平方向?yàn)?/span>軸，點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在軸上，水柱所在的拋物線第一象限部分的函數(shù)表達(dá)式為．
求噴水管高．
身高為的小明站在距離噴水管的地方，他會被水噴到嗎？
現(xiàn)重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點(diǎn)與噴水管距離，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點(diǎn)處達(dá)到最高，則噴水管要升高多少？
22. 本小題分
某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖，圖是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動，在滑動的過程中，連桿也隨之運(yùn)動，并且帶動連桿繞固定點(diǎn)擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點(diǎn)在以為半徑的上運(yùn)動．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并測得，，．
如圖，小明同學(xué)說：“當(dāng)點(diǎn)滑動到點(diǎn)的位置時(shí)，與是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對嗎？并說明理由；
求滑塊在平直滑到上可以左右滑動的最大距離．23. 本小題分
綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答．
問題情境：在?中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．將沿直線折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．
“興趣小組”提出的問題是：如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，連接，則四邊形是菱形．
數(shù)學(xué)思考：
請你證明“興趣小組”提出的問題；
拓展探究：
“智慧小組”提出的問題是：如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，延長交于點(diǎn)，連接試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
請你幫助他們解決此問題．
問題解決：
“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，，，則的長為______直接寫出結(jié)果
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒數(shù)是，
故選：．
根據(jù)倒數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2.【答案】 【解析】解：三棱柱的的主視圖與左視圖都是矩形；
圓錐主視圖與左視圖都是三角形
圓柱的主視圖和左視圖都是矩形；
長方體的主視圖和左視圖都是矩形；
所以主視圖和左視圖相同的有個(gè)．
故選：．
主視圖、左視圖是分別從物體正面、左面看，所得到的圖形．分別分析四種幾何體的主視圖與左視圖，即可求解．
本題考查了簡單幾何體的三視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．
3.【答案】 【解析】解：不能再合并計(jì)算，
選項(xiàng)A不符合題意；
，
選項(xiàng)B不符合題意；
，
選項(xiàng)C符合題意；
，
選項(xiàng)D不符合題意，
故選：．
運(yùn)用合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、積的乘方、冪的乘方進(jìn)行逐一計(jì)算辨別．
此題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、積的乘方、冪的乘方等運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識進(jìn)行準(zhǔn)確地計(jì)算．
4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故選：．
由平行線的性質(zhì)得到，由垂直的定義得到，即可求出的度數(shù)．
本題考查平行線的性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，垂直的定義．
5.【答案】 【解析】解：由于，，，
所以，
解得：．
所以的值可以是．
故選：．
關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即判別式即可得到關(guān)于的不等式，從而求得的范圍．
此題考查了根的判別式，用到的知識點(diǎn)是一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程沒有實(shí)數(shù)根．
6.【答案】 【解析】解：，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
故選：．
先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而可得是的中位線，最后利用三角形的中位線定理可得，即可解答．
本題考查了三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握三角形的中位線定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7.【答案】 【解析】解：、原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，添加數(shù)字后平均數(shù)為，故不符合題意；
B、原來數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，添加數(shù)字后眾數(shù)為和，故不符合題意；
C、原來數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，添加數(shù)字后中位數(shù)仍為，故符合題意；
D、原來數(shù)據(jù)的方差，
添加數(shù)字后的方差，故方差發(fā)生了變化，故不符合題意；
故選：．
依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義和公式求解即可．
本題主要考查的是統(tǒng)計(jì)量的選擇，眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關(guān)概念和公式是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】 【解析】解：由題意得：，
故選：．
由題意列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用和科學(xué)記數(shù)法，理解能量與震級的關(guān)系，掌握同底數(shù)冪的除法法則是解決問題的關(guān)鍵．
9.【答案】 【解析】解：在中，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，得，
解得，
，，
，，
，
，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，，
是等邊三角形，
，
，
又，
，，
，
旋轉(zhuǎn)第次點(diǎn)的坐標(biāo)為，
旋轉(zhuǎn)第次點(diǎn)的坐標(biāo)為，
旋轉(zhuǎn)第次點(diǎn)的坐標(biāo)為，
旋轉(zhuǎn)第次點(diǎn)的坐標(biāo)為，
旋轉(zhuǎn)第次點(diǎn)的坐標(biāo)為，
旋轉(zhuǎn)第次點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，次一個(gè)循環(huán)，
，
旋轉(zhuǎn)第次點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：．
先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得、，進(jìn)而可求得，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明和為等邊三角形得到，求出旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．
本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法．
10.【答案】 【解析】解：由圖可知，海拔越高，大氣壓越小，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
由圖可知，海拔為千米時(shí)，大氣壓約為千帕，故B錯(cuò)誤，不符合題意；
大氣壓為千帕?xí)r，海拔高度約為千米，
此時(shí)空氣中的含氧量約為，
，
此時(shí)含氧量屬于缺氧，故C正確，符合題意；
大氣壓為千帕?xí)r，海拔高度約為千米，
此時(shí)空氣中的含氧量約為，
由于，故D錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：．
根據(jù)圖可判斷、選項(xiàng)；先根據(jù)圖確定此時(shí)海拔的高度，再利用圖中含氧量與海拔的關(guān)系算出此時(shí)的含氧量，即可判斷、選項(xiàng)．
本題主要考查函數(shù)的圖象，讀懂題意，正確理解函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取相關(guān)信息并進(jìn)行正確地計(jì)算是解題關(guān)鍵．
11.【答案】 【解析】解：由題意得，，
解得，，
故答案為：．
根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．
本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案為：．
先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來說如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解因式，分解因式要徹底是解題關(guān)鍵．
13.【答案】 【解析】解：把阿根延、波蘭、墨西哥、沙特阿拉伯四支球隊(duì)分別記為、、、，
畫樹狀圖如下：
共有種等可能的結(jié)果，其中抽到的球隊(duì)是波蘭和墨西哥的結(jié)果有種，
抽到的球隊(duì)是波蘭和墨西哥的概率為，
故答案為：．
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中抽到的球隊(duì)是波蘭和墨西哥的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
本題考查了樹狀圖法求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
14.【答案】 【解析】解：連接，交于，
扇形紙片沿折疊，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，
，，，
，
是等邊三角形，
，
同理：，
，
，
，
，
，
，
的長．
圖中陰影部分的周長的長．
故答案為：．
由折疊的性質(zhì)得到，，，推出，是等邊三角形，得到，由垂徑定理得到的長，由銳角的正弦求出長，由弧長公式求出的長，即可求出陰影的周長．
本題考查弧長的計(jì)算，垂徑定理，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握弧長公式；由折疊的性質(zhì)得到，由垂徑定理，銳角的正弦求出的長．
15.【答案】或或 【解析】解：分三種情況：
當(dāng)，如圖所示：
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，，，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，與關(guān)于直線對稱，
；
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，如圖所示：
，
，
，與關(guān)于直線對稱，
；
當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，，如圖所示：
作于，則與重合，；
綜上所述，若是直角三角形，則的長為，或或；
故答案為：或或．
分三種情況：當(dāng)，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，證明∽，得出，求出，由軸對稱的性質(zhì)即可得出結(jié)果；
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，，作于，則與重合，．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】 【解析】解：中應(yīng)為：，
故選．
選第一種解法，
．
逐步分析兩位同學(xué)的做法，找出出錯(cuò)的式子．
任選其一，利用通分，化簡即可解出答案．
本題考查了分式的加減法運(yùn)算規(guī)則，關(guān)鍵在于對于能判斷并正確運(yùn)算．
17.【答案】 【解析】解：將這個(gè)省、自治區(qū)、直轄市人口數(shù)從小到大排列處在中間位置的數(shù)是百萬人，因此中位數(shù)是百萬人，
故答案為：；
全國大陸個(gè)省、自治區(qū)、直轄市中人口數(shù)大于等于百萬人的有個(gè)地區(qū)，故原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
相對于年，年全國大陸人口自然增長率降低，全國大陸人口增長緩慢，故原結(jié)論正確，符合題意；
年全國大陸人口自然增長率的情況是：，，年增長率持續(xù)上升；，，年增長率持續(xù)降低，
故原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意．
所以結(jié)論正確的是．
故答案為：；
年全國大陸人口數(shù)增長緩慢，全國大陸人口自然增長率持續(xù)降低．
看法：放開計(jì)劃生育，鼓勵(lì)多生優(yōu)生，以免人口自然增長率為負(fù)答案不唯一．
根據(jù)已知發(fā)現(xiàn)中位數(shù)在第二組內(nèi)，從小到大排列找出處在中間位置的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可求出中位數(shù)；
從頻數(shù)分布直方圖可知，比億元多的省份有個(gè)，因此處在第六名；
根據(jù)頻數(shù)分布直方圖進(jìn)行判斷即可；
根據(jù)條形圖與折線圖即可判斷；
根據(jù)折線圖即可判斷；
根據(jù)條形圖與折線圖可寫出年全國大陸人口數(shù)、全國大陸人口自然增長率的變化趨勢，根據(jù)變化趨勢寫出看法即可．
本題考查頻數(shù)分布直方圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，理解統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)量之間的關(guān)系是正確解答的前提．
18.【答案】證明：軸，軸，軸，軸，
，，
四邊形是平行四邊形，
軸軸，軸，軸，
，
四邊形是矩形；
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
點(diǎn)，點(diǎn)，
直線的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)在直線上，
即、、三點(diǎn)共線；
、、三點(diǎn)共線，
四邊形是矩形，
，
，
，
軸，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】通過矩形的判定可證四邊形是矩形；
根據(jù)函數(shù)的解析式得出直線的解析式，進(jìn)而解答即可；
由矩形的性質(zhì)可得，可得，由，可求，可得結(jié)論．
本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
設(shè)．
，，
，
在中，，
在中，，
，
解方程得，
安裝高度，
該設(shè)備的安裝高度為． 【解析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，解和，進(jìn)行求解即可．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用．正確的添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：設(shè)足球的單價(jià)是元，則籃球的單價(jià)是元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
．
答：足球的單價(jià)是元，籃球的單價(jià)是元．
設(shè)學(xué)?？梢再徺I個(gè)籃球，則可以購買個(gè)足球，
依題意得：，
解得：．
又為正整數(shù)，
可以取的最大值為．
答：學(xué)校最多可以購買個(gè)籃球． 【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
設(shè)足球的單價(jià)是元，則籃球的單價(jià)是元，根據(jù)數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用元購買足球的數(shù)量是用元購買籃球數(shù)量的倍，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
設(shè)學(xué)?？梢再徺I個(gè)籃球，則可以購買個(gè)足球，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合購買足球和籃球的總費(fèi)用不超過元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．
21.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
噴水管高高
解法一：對于，
令，則，
小明不會被水噴到；
解法二：令，
則，
解得：，，
，，
小明不會被水噴到；
設(shè)噴水管的高度要升高，
則拋物線的表達(dá)式為．
把代入得：，
解得：，
噴水管的高度要升高 【解析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出的值；
解法一：利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出當(dāng)時(shí)的值，由此即可得出結(jié)論；解法二：利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出當(dāng)時(shí)的值，由此即可得出結(jié)論；
設(shè)改建后拋物線的解析式為，然后根據(jù)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求解．
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
22.【答案】解：小明的判斷正確，理由如下：
，，，
，
，
，
，即，
為的半徑，
與是相切，
點(diǎn)與點(diǎn)重合，
與是相切的；
由題意知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)離點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，
如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，則，
，
故當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，點(diǎn)離點(diǎn)的最大距離為，
同理，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，點(diǎn)離的最大距離也為，
滑塊在平直滑到上可以左右滑動的最大距離． 【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理證明，再根據(jù)切線的判定定理得出結(jié)論便可；
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)離點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，由此根據(jù)勾股定理便可求得滑塊在平直滑到上可以左右滑動的最大距離．
本題考查了切線的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
23.【答案】 【解析】數(shù)學(xué)思考：
證明：如圖中，由折疊的性質(zhì)可知，，，，
，
，
，
，
，
四邊形是菱形；
解：結(jié)論：．
理由：連接由折疊的性質(zhì)可知，，，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
；
問題解決：
解：延長交的延長線于點(diǎn)設(shè)．
由折疊的性質(zhì)可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案為：．
數(shù)學(xué)思考：根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形證明即可；
證明≌，推出，可得結(jié)論；
問題解決：延長交的延長線于點(diǎn)設(shè)首先證明，再利用平行線分線段成比例定理，構(gòu)建方程求解．
本題屬于三角形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
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