2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷05一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可化簡求值.【解析】由得，故選：A2．已知集合，，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡集合M，N，根據(jù)集合的運(yùn)算判斷為兩集合交集即可得解.【解析】，，,由Venn圖知，A符合要求.故選：A3．已知拋物線的焦點(diǎn)在圓上，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解，由的幾何意義即可求解.【解析】由于拋物線的焦點(diǎn)為正半軸上，與正半軸的交點(diǎn)為，故拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選：C4．已知函數(shù)，則（    ）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】C【分析】判斷的關(guān)系即可得出函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)的單調(diào)性.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在R上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在R上是減函數(shù).故選：C.5．某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（    ）A． B． C．8 D．【答案】B【分析】首先分析數(shù)據(jù)的情況，再根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得.【解析】依題意這組數(shù)據(jù)一共有個(gè)數(shù)，中位數(shù)為，則從小到大排列的前面有個(gè)數(shù)，后面也有個(gè)數(shù)，又唯一的眾數(shù)為，則有兩個(gè)，其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次，則最大數(shù)字為，又極差為，所以最小數(shù)字為，所以這組數(shù)據(jù)為、、、、，所以平均數(shù)為.故選：B6．已知事件A、B滿足，，則（    ）A． B．C．事件相互獨(dú)立 D．事件互斥【答案】C【分析】利用對立事件概率求法得，結(jié)合已知即獨(dú)立事件的充要條件判斷C，由于未知其它選項(xiàng)無法判斷.【解析】由題設(shè)，所以，即相互獨(dú)立，同一試驗(yàn)中不互斥，而未知，無法確定、.故選：C7．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．則直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出以、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程．【解析】圓的圓心為，半徑為2，以、為直徑,則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)圓的兩條切線切點(diǎn)分別為A，B，所以是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程為：.故選：A．8．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)a、b、c使得對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則的值為（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】設(shè)，得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，由此得出方程組，分和，兩種情況討論，即可求解.【解析】設(shè)，可得，其中，且，因?yàn)閷?shí)數(shù)使得對任意的實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，即恒成立，所以由上式對任意恒成立，故必有，若，則由式①知，顯然不滿足式③，所以，所以，由式②知，則，當(dāng)時(shí)，則式①，③矛盾.所以，由式①，③知，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】知識方法：有關(guān)三角函數(shù)綜合問題的求解策略：1、根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而加深理解函數(shù)的性質(zhì).2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解. 二、多選題9．已知實(shí)數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)已知等式可確定，結(jié)合不等式性質(zhì)和作差法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解析】對于A，，，，A錯(cuò)誤；對于B，，，，，，，，即，B正確；對于C，，，，即，C正確；對于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．下列說法中正確的是（    ）A．若數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一B．已知一組數(shù)據(jù)2，3，5，7，8，9，9，11，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為6C．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的值越大D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高【答案】AD【分析】對于A，利用方差的公式及眾數(shù)的定義即可求解；對于B，利用第百分位數(shù)的定義即可求解；對于C，利用線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于，相關(guān)性越強(qiáng)即可求解；對于D，利用殘差圖中殘差點(diǎn)的分布情況與模型的擬合效果即可求解.【解析】對于A，由方差，得，即此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)2，3，5，7，8，9，9，11共有個(gè)，由可知，該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對于C，若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于，故C錯(cuò)誤；對于D，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明波動(dòng)越小，即模型的擬合精度越高,故D正確.故選：AD.11．函數(shù)f(x)＝b（x-a）2（x-b）的圖象可以是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先根據(jù)解析式確定零點(diǎn)類型，再結(jié)合圖象，判斷選項(xiàng).【解析】由函數(shù)解析式可知，是不變號零點(diǎn)，是變號零點(diǎn)，A.由圖可知，變號零點(diǎn)是0，則，則，不成立，故A錯(cuò)誤；B.由圖可知，變號零點(diǎn)小于0，不變號零點(diǎn)為0，則，此時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，滿足圖象，故B正確；C.由圖可知，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足圖象，故C正確；D.由圖可知，，，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，所以D錯(cuò)誤.故選：BC12．如圖所示，有一個(gè)棱長為4的正四面體容器，D是PB的中點(diǎn)，E是CD上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．若E是CD的中點(diǎn)，則直線AE與PB所成角為B．的周長最小值為C．如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個(gè)容器中放入10個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)：連接AD.證明出，即可求出直線AE與PB所成角為；B選項(xiàng)，把沿著CD展開與面BDC同一個(gè)平面內(nèi)，利用余弦定理求出，即可判斷；C選項(xiàng)，判斷出小球是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.利用等體積法求解；D選項(xiàng)，判斷出要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)面相切，設(shè)小球半徑為，利用幾何關(guān)系求出.【解析】A選項(xiàng)：連接AD.在正四面體中，D是PB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>平面，平面，,所以直線平面.因?yàn)?/span>平面.所以，所以直線AE與PB所成角為.故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，把沿著CD展開與面BDC同一個(gè)平面內(nèi)，由，，所以，所以，所以的周長最小值為不正確.故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.由等體積法可得：，所以半徑.故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，10個(gè)小球分三層（1個(gè)，3個(gè)，6個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)面相切，設(shè)小球半徑為，四個(gè)角小球球心連線是棱長為的正四面體，其高為，由正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故D選項(xiàng)正確.故選：ACD 三、填空題13．已知，則__________．【答案】【分析】利用向量的線性運(yùn)算及向量的模公式即可求解.【解析】由，得，即，解得，所以.故答案為：.14．?dāng)?shù)列滿足，若，，則＝____________．【答案】-6【分析】由遞推公式可得數(shù)列的周期為4，又因?yàn)?/span>，再由計(jì)算即可.【解析】解：因?yàn)?/span>，，所以，，，，所以數(shù)列的周期為4，又因?yàn)?/span>，所以.故答案為：-615．已知函數(shù)f(x)＝若f(x)在區(qū)間[m，4]上的值域?yàn)?/span>[－1，2]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【分析】作出函數(shù)f(x)的圖象，分別利用對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合已知條件分析出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象，當(dāng)x≤－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝單調(diào)遞減，且最小值為f(－1)＝－1，則令＝2，解得x＝－8；當(dāng)x＞－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝在(－1，2)上單調(diào)遞增，在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則最大值為f（2）＝2，又f(4)＝＜2，f(－1)＝－1，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．16．修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖，某水庫有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點(diǎn)A滿足，且AC長度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點(diǎn)A到小島建三段棧道AB、BD與BE，水面上的點(diǎn)B在線段AC上，且BD、BE均與圓C相切，切點(diǎn)分別為D、E，其中棧道AB、BD、BE和小島在同一個(gè)平面上.此外在半圓小島上再修建棧道、以及MN，則需要修建的棧道總長度的最小值為__________百米.【答案】【分析】連接CD，CE，設(shè)，建立出需要修建的棧道的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.【解析】連接CD，CE，由半圓半徑為1得：.由對稱性，設(shè)，又，，所以，，易知，所以的長為.又，故，故，令且，則，，所以.-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以棧道總長度最小值.故答案為：. 四、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，，求的面積.【答案】(1).(2). 【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變形得到，即可求出角A;（2）先由余弦定理求得，利用向量的運(yùn)算求出，直接代入面積公式即可求出的面積.【解析】（1）在中，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得：，即.因?yàn)?/span>,所以，即.因?yàn)?/span>,所以.（2）在中，因?yàn)?/span>，，所以.由余弦定理得：，即，解得：（舍去）.因?yàn)?/span>.所以，即.因?yàn)?/span>，所以，解得：，所以的面積 .即的面積為.18．移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域．截至2022年底，我國移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國家．右圖是2018-2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼t的散點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對應(yīng)的t分別為1~5．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)．計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷它們的相關(guān)程度；(2)(i)假設(shè)變量x與變量Y的n對觀測數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x，y)，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型  （隨機(jī)誤差）．請推導(dǎo)：當(dāng)隨機(jī)誤差平方和Q＝取得最小值時(shí)，參數(shù)b的最小二乘估計(jì)．(ii)令變量，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型利用(i)中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，【答案】(1),這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).(2)（i）；（ii）經(jīng)驗(yàn)回歸方程;預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶. 【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算，若兩個(gè)變量正相關(guān)，若兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，越接近于1說明線性相關(guān)越強(qiáng).（2）(i)整理得，根據(jù)二次函數(shù)求最小值時(shí)的取值；(ii) 根據(jù)計(jì)算公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程， 并代入可預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).【解析】（1）由散點(diǎn)圖可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷兩個(gè)變量線性相關(guān).因?yàn)?/span>,所以 ,所以 ,所以這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).（2）(i) ，要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng).(ii) 由(i)知 ，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，又，所以當(dāng) 時(shí)，則，所以預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由求出，由求得數(shù)列的遞推關(guān)系得其為等比數(shù)列并得出公比，從而易得通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和；（2）根據(jù)絕對值的定義按正負(fù)分類討論去絕對值符號，然后分組求和．【解析】（1）由得：，即，由得：，兩式相減得：，即，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，則；（2）由（1）知：，則，則當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則.20．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，A1D⊥BD1．(1)證明：四邊形ADD1A1為正方形；(2)若直線BD1與平面ABCD所成角的正弦值為，CD＝2AB，求平面ABD1與平面BCD1的夾角的大小．【答案】(1)詳見解析；(2) 【分析】（1）易證平面，從而得到，再由，得平面，從而得到，然后由正方形的定義證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)直線BD1與平面ABCD所成角的正弦值為求得a，b的關(guān)系，再分別求得平面ABD1的一個(gè)法向量為和平面BCD1的一個(gè)法向量為，由求解.【解析】（1）解：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知：，又，且，所以平面，又平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以是正方形；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：，設(shè)，則，所以，設(shè)ABCD的一個(gè)法向量為，直線BD1與平面ABCD所成的角為，則，即，解得，則，所以，設(shè)平面ABD1的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面BCD1的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，因?yàn)?/span>，則，所以平面ABD1與平面BCD1的夾角為.21．已知點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離為2，拋物線經(jīng)過點(diǎn)N，過點(diǎn)M的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，點(diǎn)E，F分別在直線，上，且，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求直線l的傾斜角的取值范圍；(2)求的值.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）由求出，將代入拋物線C的方程得，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立利用判別式得的范圍，再由向量共線得點(diǎn)E，F均在y軸上，可得k的取值范圍及直線l的傾斜角的取值范圍；（2）設(shè)，根據(jù)M，A，B三點(diǎn)共線得，再由，求出，，求出直線的方程令得，同理可得，代入可得答案.【解析】（1），，，，將代入，解得，拋物線C的方程為，直線l過點(diǎn)，且與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，由得，，且，即，且，，，，，點(diǎn)E，F均在y軸上，，均與y軸相交，直線l不過點(diǎn)，，k的取值范圍為且且，直線l的傾斜角的取值范圍為；（2）設(shè)，M，A，B三點(diǎn)共線，，，，，，，由（1）知，，且，直線的方程為，令得，同理可得，，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線的位置共線的常用方法，三點(diǎn)共線要利用斜率線段或向量共線，本題考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.22．已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且，求證：且.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）解法一：當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，即為，利用導(dǎo)數(shù)研究的最大值，即可得解；解法二：由題意得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值，即可得解；（2）解法一：根據(jù)的單調(diào)性可知．證，即證，即證，設(shè)，利用的單調(diào)性即可證明；證，即證．設(shè)，即證．設(shè)，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)可知，，使得，從而得出的單調(diào)性，證得，可得結(jié)論.解法二：證明的方法同解法一．在處的切線方程為，先證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)可知，，使得，從而得的單調(diào)性及，可得結(jié)論.【解析】（1）解法一：當(dāng)時(shí)，由，且時(shí)，故成立；當(dāng)時(shí)，即為.由，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即.綜上，.解法二：，由，且時(shí)，所以.設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即.（2）解法一：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故.先證，由，故即證，由，故即證，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.所以，從而.現(xiàn)證，即證.設(shè)，故即證，即證.設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，使得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，即，故.解法二：證明的方法同解法一.，，則在處的切線方程為，下面證.設(shè)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，使得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故，即，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)，一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). 
 

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