專題04  立體幾何 立體幾何一般作為全國卷第20題21題.重點題型主要是1 體積問題及表面積問題2 線面距離及線面角問題3 二面角問題4  空間幾何綜合問題 題型一：體積及表面積問題1．在如圖所示的多面體ABCDE中，平面ABC，，，，．(1)證明：平面平面BDE；(2)求多面體ABCDE的體積．  1．如圖①，在平面四邊形中，，，．將沿著折疊，使得點到達(dá)點的位置，且二面角為直二面角，如圖②．已知分別是的中點，是棱上的點，且與平面所成角的正切值為．(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積． 題型二：線面距離及線面角問題1 如圖，在多面體中，已知，，均為等邊三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，H為AB的中點．(1)判斷DE與平面ABC的位置關(guān)系，并加以證明；(2)求直線DH與平面ACE所成角的正弦值． 1 如圖，垂直于梯形所在平面，，為的中點，，，四邊形為矩形.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的大??；(3)求點到平面的距離. 題型三： 二面角問題1  如圖，四棱錐P-ABCD中，已知，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．(1)證明：PB⊥AB；(2)設(shè)E是PC的中點，直線AE與平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值． 1 如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，，，為正三角形，，.(1)求證：平面平面SBC；(2)求二面角的余弦值. 題型四：  空間幾何綜合問題1．如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，，，，.(1)證明：平面；(2)在線段CM（不含端點）上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 1 如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O?M分別為線段AD?DE的中點，四邊形BCDO是邊長為1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.(1)求證：CM平面ABE；(2)求直線CM與BD所成角的余弦值；(3)點N在直線AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求線段AN的長.  1．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點，，平面平面．(1)證明：平面平面；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值． 2．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值． 3．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面ABC，D為線段AB的中點，，，，三棱錐的體積為8．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值． 4．（2022·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為等邊三角形，為線段的中點，且平面平面，是線段上的點.(1)求證：；(2)若直線與平面的夾角的正弦值為，求四棱錐的體積. 5．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱中，，E是的中點，底面ABCD是平行四邊形，若平面.(1)若，證明：底面是正方形(2)若，求二面角的余弦值 6．（2022·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）直四棱柱被平面所截，所得的一部分如圖所示，．（1）證明：平面；（2）若，，平面與平面所成角的正切值為，求點到平面的距離．    1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值． 2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點． （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小? 3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積. 4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點F在上，當(dāng)的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值． 5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）． 6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值． 7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值． 8．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分． 9．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．  
 

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