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2023年中考數(shù)學考前信息必刷卷01
數(shù) 學（深圳專用）

2023年廣東深圳中考數(shù)學試卷結(jié)構(gòu)和內(nèi)容發(fā)生變化！2023年數(shù)學試卷共25題：10（選擇題）+5（填空題）+7（解答題），根據(jù)2023年廣東深圳最新考試信息以及模擬考試可以發(fā)現(xiàn)：在知識結(jié)構(gòu)方面，會增加最值問題難度（例如隱圓問題），大概率壓軸類型是二次函數(shù)和幾何動點問題，實際應用題可能會增加分值；在試卷難度方面，難度中等以上，比去年的難度增加。

通過對考試信息的梳理以及教學研究成果，預測：第9-10題壓軸為三角形和平行四邊形綜合為考查性質(zhì)；第214題將會重點考查函數(shù)的和圓問題，難度中等；第21題和第22題極大可能分別會考查幾何中的動點探究和二次函數(shù)綜合問題，運算能力和分析能力要求比較高。
另外，在平時學習中要特別關(guān)注基礎(chǔ)性（一般試卷的前1-7題直接考查基礎(chǔ)知識，容易拿分）、綜合性（選填14-15壓軸題）、應用行（如本卷中的第17-19題的結(jié)合當下熱門材料問題來考查）和創(chuàng)新性（一般會以數(shù)學文化為背景或在新情景下命制對概念的理解以及問題的梳理），同時掌握整體思想、數(shù)形結(jié)合、特殊值等數(shù)學思想，這些思想會蘊含于每道試題之中。

注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。






一、 選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）
1．的值為（????）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由特殊角的三角函數(shù)值直接可得答案．
【詳解】解：，
故選：C．
【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．
2．下列運算錯誤的是(???)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用積的乘方運算可判斷A，利用單項式乘以單項式可判斷B，由同底數(shù)冪的除法可判斷C，由合并同類項可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：故A符合題意；
，運算正確，故B不符合題意；
，運算正確，故C不符合題意；
，運算正確，故D不符合題意；
故選：A.
【點睛】本題考查的是積的乘方運算，單項式乘以單項式，同底數(shù)冪的除法運算，合并同類項，掌握以上基礎(chǔ)運算是解本題的關(guān)鍵．
3．在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有(???)
A．6個 B．15個 C．13個 D．12個
【答案】D
【詳解】解：設白球個數(shù)為：x個，
∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右，∴口袋中得到紅色球的概率為25%．
∴，解得：x=12．
經(jīng)檢驗：x=12是原方程的解
∴白球的個數(shù)為12個．
故選D．
4．如圖，是的直徑，點、在上，，則的度數(shù)為（???）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，根據(jù)圓周角定理求出和，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出即可．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴．
故選：D．

【點睛】本題考查圓周角定理，直角三角形兩銳角互余．能熟記圓周角定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，函數(shù)和的圖象相交于點，則不等式的解集為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出點A的坐標，再觀察圖象可得當時，函數(shù)的圖象位于的圖象的下方，即可求解．
【詳解】解：∵函數(shù)和的圖象相交于點，
∴，
解得，
∴點A坐標為，
根據(jù)圖象可知，不等式的解集為，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
6．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”設走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，先令在相同時間內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根據(jù)題意設未知數(shù)，列方程即可
【詳解】解：令在相同時間內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，
設走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可得，
根據(jù)題意可列出的方程是，
故選：B．
【點睛】本題考查應用一元一次方程解決數(shù)學史問題，讀懂題意，找準等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．
7．如圖，是的直徑，將弦繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點的對應點落在上，延長，交于點，若，則圖中陰影部分的面積為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，連接OE，OC，過點O作OF⊥CE于點F，由旋轉(zhuǎn)得AD=AC，可求出 ,由圓周角定理得得 ，由三角形外角的性質(zhì)得 由垂徑定理得EF=2，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)求解即可．
【詳解】解：如圖，連接OE，OC，過點O作OF⊥CE于點F，

則，
由旋轉(zhuǎn)得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵．
8．二次函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論正確的個數(shù)為（????）
①；②；③；④（為任意實數(shù)）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】由拋物線開口方向得到，利用拋物線的對稱軸方程得到，由拋物線與y軸的交點在x軸的下方得到，則可對①進行判斷；利用，得到，則，于是可對②進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為，則可對③進行判斷；由于時，y有最小值，則可對④進行判斷．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∵拋物線與y軸的交點在x軸的下方，
∴，
∴，所以①正確；
∵時，，
∴，
∴，
∴，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點坐標為，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，
∴當時，，
即，所以③正確；
∵時，y有最小值，
∴（m為任意實數(shù)），
∴，所以④錯誤；
綜上，①②③正確，
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識，涉及的知識點有拋物線的對稱軸、拋物線與y軸的交點、二次函數(shù)的最值等，是重要考點，難度較易，掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9．如圖，等邊內(nèi)有一點E， ，，當時，則的長為（????）

A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】以點B為旋轉(zhuǎn)中心把順時針旋轉(zhuǎn)至，可證是等邊三角形，，利用勾股定理求出的長即可求解．
【詳解】以點B為旋轉(zhuǎn)中心把順時針旋轉(zhuǎn)至，
則．
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
，
∴．
故選B．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
10．如圖，MN是正方形ABCD的對稱軸，沿折痕DF，DE折疊，使頂點A，C落在MN上的點G．給出4個結(jié)論：①∠BFE＝30°；②△FGM∽△DEG；③；④．其中正確的是（????）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】設，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，即可判斷①，從而得出,，繼而判斷②，設，則，解,即可判斷③，分別求得即可判斷④．
【詳解】解：設，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，
四邊形是正方形，則，
，
設正方形的邊長為，則，
MN是正方形ABCD的對稱軸，
，
，
，
，
，
，故①正確，
，
,，
，，
△FGM∽△DEG；故②正確，
設，則，
在中，，
，
解得，
即，
，
故③不正確；
，
，
，
，
，
，
故④正確
故①②④正確，
故選D．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角，相似三角形的判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．

二、 填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．已知x﹣y=2，則x2﹣y2﹣4y=_____．
【答案】4
【詳解】解：∵x﹣y=2
∴x2﹣y2﹣4y=（x+y）(x-y)-4y=2(x+y)-4y=2x-2y=2(x-y)=4
12．有4張背面相同，正面分別印有的卡片，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，從中隨機抽取1張，恰好抽到正面印有整數(shù)的卡片的概率為 _____．
【答案】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【詳解】解：一共有4張卡片，其中整數(shù)有2個，故從中隨機抽取1張，恰好抽到正面印有整數(shù)的卡片的概率為．
故答案為：．
【點睛】此題考查的是概率公式．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
13．“幻方”最早源于我國，古人稱之為縱橫圖．如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對角線上的三個數(shù)字之和均相等，則圖中a的值為______．

【答案】
【分析】先計算出行的和，得各行各列以及對角線上的三個數(shù)字之和均為，則，即可得．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減，解題的關(guān)鍵是理解題意和掌握有理數(shù)加減運算的法則．
14．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點在以為圓心，半徑為的上，是線段的中點，已知長的最大值為，則的值是______．

【答案】
【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可以得到與關(guān)于原點對稱，所以是線段的中點，又是線段的中點，所以是的中位線，當取最大值時，也取得最大值，由于在上運動，所以當，，三點共線時，最大，此時，根據(jù)列出方程求解即可．
【詳解】解：聯(lián)立，
，
，
，，
與關(guān)于原點對稱，
是線段的中點，
是線段的中點，
連接，則，且，

的最大值為，
的最大值為，
在上運動，
當，，三點共線時，最大，
此時，
，
或，
，
，
【點睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角形的中位線、圓，研究動點問題中線段最大值問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)中位線的性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化思想，研究取最大值時的值．
15．如圖，在矩形中，點E為上一點，，，連接，將沿所在的直線翻折，得到，交于點F，將沿所在的直線翻折，得到，交于點G，的值為______．

【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得，設，則，在中，利用勾股定理可得，，從而得到，過點G作于點H，則，可得，，從而得到，可設，在中，可得，從而得到，再由，可得，，即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
設，則，
在中，，
∴，解得：，
即，，
∴，
如圖，過點G作于點H，則，

∴，，
∴，
可設，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形和折疊問題，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，靈活做輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（本大題共7小題，共55分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．計算：．
【答案】4
【分析】首先計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．
【詳解】解：


．
【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，絕對值的化簡，掌握特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則是解題關(guān)鍵．
17．如圖，BD是矩形ABCD的對角線．

(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，設BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求的值．
【答案】(1)作圖見解析
(2)

【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；
（2）根據(jù)題意，作出圖形，設，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解，再判定，根據(jù)，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值為．
【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：

（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：

設，⊙A的半徑為r，
∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四邊形AEFG是矩形，
又，
∴四邊形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值為．
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵．
18．為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時40海里的速度向正東方向航行，在處測得燈塔在北偏東方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達處，此時測得燈塔在北偏東方向上．

（1）求的度數(shù)；
（2）已知在燈塔的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？(參考數(shù)據(jù)：，)
【答案】（1）15°；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全．
【分析】（1）作交的延長線于點，根據(jù)題意可得∠PBH=45°、∠PAB=60°,然后利用三角形外角的性質(zhì)即可解答；
（2）設海里，則海里，然后行程關(guān)系求得AB，再利用正切函數(shù)求得x，最后與25海里比較即可解答．
【詳解】解：（1）作交的延長線于點
∵，
∴；
（2）設海里，則海里，海里
∵在中，
∴
解得：．
∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全．

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及運用正切函數(shù)解三角形，解答本題的關(guān)鍵在于利用正切函數(shù)列方程求出BH的長．
19．某電商在抖音平臺上對紅富士蘋果進行直播銷售．已知蘋果的成本價為6元/千克，如果按10元/千克銷售，每天可賣出160千克．通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每千克蘋果售價增加1元，日銷售量減少20千克．
(1)為保證每天利潤為700元，商家想盡快銷售完庫存，每千克售價應為多少元？
(2)售價為多少元時，每天的銷售利潤最大，最大是多少？
【答案】(1)11元
(2)售價為12元時，每天的銷售利潤最大，最大是720元

【分析】（1）設每千克售價應為x元，根據(jù)“如果按10元/千克銷售，每天可賣出160千克，每千克蘋果售價增加1元，日銷售量減少20千克”列出方程，即可求解；
（2）設每千克售價應為m元，每天的銷售利潤為W元，根據(jù)題意，列出函數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：設每千克售價應為x元，根據(jù)題意得：
，
解得：，
∵商家想盡快銷售完庫存，
∴，
答：每千克售價應為11元；
（2）解：設每千克售價應為m元，每天的銷售利潤為W元，根據(jù)題意得：
，
∵，
∴當時，W的值最大，最大值為720，
答：售價為12元時，每天的銷售利潤最大，最大是720元．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程和二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
20．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦BC＝，點P是⊙O上的一動點（不與點A、B重合，且與點C分別位于直徑AB的異側(cè)），連接PA，PC，過點C作PC的垂線交PB的延長線于點D．

（1）求tan∠BPC的值；
（2）隨著點P的運動，的值是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的值；
（3）運動過程中，AP+2BP的最大值是多少？請你直接寫出它來．
【答案】（1）tan∠BPC＝；（2）的值不會發(fā)生變化，；（3）AP+2BP的最大值為10．
【分析】（1）連接AC，可得△ACB是直角三角形，即可得出AB，BC和AC的值，由圓的性質(zhì)可得∠BPC＝∠BAC，即可求出tan∠BPC；
（2）由已知可推出△CBD∽△CAP，可得＝，因為是固定值，所以也是固定值；
（3）由（2）知BD＝AP，可將AP+2BP化成，所以可推出AP+2BP＝PC≤AB＝10，即得出AP+2BP的最大值．
【詳解】（1）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝2，
∴AC＝＝4，
∴tan∠BPC＝tan∠BAC＝＝；
（2）的值不會發(fā)生變化，理由如下：
∵∠PCD＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠PCB＝∠2+∠PCB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3是圓內(nèi)接四邊形APBC的一個外角，
∴∠3＝∠PAC，
∴△CBD∽△CAP，
∴＝，
在Rt△PCD中，＝tan∠BPC＝，
∴＝＝；
（3）由（2）知BD＝AP，
∴AP+2BP
＝2（AP+BP）
＝2（BD+BP）
＝2PD
＝，
由tan∠BPC＝，得：cos∠BPC＝，
∴AP+2BP＝PC≤AB＝10，
∴AP+2BP的最大值為10．
【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握知識點是解題關(guān)鍵．
21．在平面直角坐標系中，若兩點的橫坐標不相等，縱坐標互為相反數(shù)，則稱這兩點關(guān)于x軸斜對稱，其中一點叫做另一點關(guān)于x軸的斜對稱點．如：點，關(guān)于x軸斜對稱，在平面直角坐標系中，點A的坐標為．

(1)下列各點中，與點A關(guān)于x軸斜對稱的點是________（只填序號）；
①，②，③，④．
(2)若點A關(guān)于x軸的斜對稱點B恰好落在直線上，的面積為3，求k的值；
(3)拋物線上恰有兩個點M、N與點A關(guān)于x軸斜對稱，拋物線的頂點為D，且為等腰直角三角形，則b的值為________．
【答案】(1)①④
(2)或
(3)

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸斜對稱的定義進行逐一判斷即可；
（2）根據(jù)關(guān)于x軸縱對稱的點的定義，設，如圖所示，設與x軸相交于點C，根據(jù)三角形面積公式求出，再分點C在x軸正半軸和在x軸負半軸兩種情況求出直線的解析式，進而求出點B的坐標，再把點B的坐標代入到直線中進行求解即可；
（3）根據(jù)成縱對稱的點的定義，可知這兩個點的縱坐標為，再令，則，可得點M的坐標為，點，然后根據(jù)為等腰直角三角形，可得，可得到關(guān)于b的方程，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意得，與點關(guān)于x軸斜對稱的點是，，
故答案為：①④；
（2）解：由斜對稱的定義可設，且，
如圖所示，設與x軸相交于點C，
∴，
；

①當C在x軸正半軸時：，，
設直線的函數(shù)解析式為：，
∴，
∴，
∴直線的函數(shù)解析式為：，
把代入中得，
∴，
把代入中得；
②當C在x軸負半軸時：，
同理可得的函數(shù)解析式為：
把代入中得得，
∴，
把代入中得；
綜上所述，或；

（3）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線的對稱軸為直線，拋物線的頂點D的坐標為，
∵點M，N與點A關(guān)于x軸斜對稱，
∴點M，N的縱坐標為，
令，則，
解得：，
∴點M的坐標為，點，
∵為等腰直角三角形，
∴，且，
∴，
解得：或0（舍去），
∵當時，N不是A關(guān)于x軸的斜對稱，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題屬于新定義題，是一次函數(shù)與幾何圖形，二次函數(shù)與一元二次方程的綜合，難度較大，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并能靈活運用所學知識進行解答．
22．平行四邊形中，點E在邊上，連，點F在線段上，連，連．

(1)如圖1，已知，點E為中點，．若，求的長度；
(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點C作交于點G．若，求證：；
(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)

【分析】（1）根據(jù)“直角三角形的中線等于斜邊長一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，則，即可求解；
（2）由題意可得，是的角平分線，且，故延長交于點M，可證，要證，而，即證明即可，延長交于N，過E作于P，先證明，可以得到，再證明四邊形是正方形，得到，接著證明即可解決；
（3）如圖3，分別以和為邊構(gòu)造等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”模型，即可得到，所以，則，當B，F(xiàn)，M，N四點共線時，所求線段和的值最小，利用，解即可解決．
【詳解】（1）解：∵，如圖1，

∴，
E為的中點，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（2）證明：如圖2，設射線與射線交于點M，

由題可設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
延長交于N，
∴，
過E作于P，
則，
在與中，??
，
∴，
∴，
過E作于Q，
∴，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴，
∴，
∴矩形為正方形，
∴，
∴，
在與中，
，??
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如圖3，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，得到等邊，同理以為邊構(gòu)造等邊，

∴，，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
當B，F(xiàn)，M，N四點共線時，最小，
即為線段BN的長度，如圖4，

過N作交其延長線于T，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為 ．

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