信息必刷卷03（乙卷理科）-2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷03
全國乙卷地區(qū)專用
理科數(shù)學(xué)

新課標(biāo)全國卷乙卷試題結(jié)構(gòu)為12道單選題，4道填空題，6道解答題，其中一道解答題是“二選一”型。2022年數(shù)學(xué)試卷，穩(wěn)重求新，重點(diǎn)在想“新”上，試卷落腳數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，更加注重基礎(chǔ)考察，突出數(shù)學(xué)學(xué)科能力考察，強(qiáng)調(diào)教學(xué)與考試的銜接。
1.突出對基礎(chǔ)概念，基本原理的本質(zhì)認(rèn)識與解，強(qiáng)調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與應(yīng)用，要求學(xué)生通過學(xué)習(xí)形成學(xué)科知識體系，注重本源性的方法。強(qiáng)調(diào)通性通法的深入理解與綜合運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為自身的知識結(jié)構(gòu)體系。
2.試卷在各種題型都突出了對主干知識的考察，例如理科卷第12題，文科卷第16題，突出重點(diǎn)知識，要求學(xué)生在抽象數(shù)學(xué)（或更復(fù)雜的函數(shù)）的背景下，理解函數(shù)的奇偶性，對稱型，單調(diào)性，以及它們之間的聯(lián)系，對數(shù)學(xué)的抽象性，直觀性，邏輯內(nèi)在聯(lián)系等核心素養(yǎng)都有更高的要求和應(yīng)用能力。
3.關(guān)注創(chuàng)新題，開放性題，鼓勵學(xué)生通過學(xué)習(xí)，運(yùn)用發(fā)散性思維，創(chuàng)造性思維來分析問題和解決問題。

結(jié)合2022年新課標(biāo)全國卷乙卷試卷試題，在針對2023年高考復(fù)習(xí)教學(xué)備考，建議從以下幾方面加強(qiáng)教學(xué)與訓(xùn)練。
1.在教學(xué)和考練中，要加強(qiáng)和提高學(xué)生的運(yùn)算能力。特別是常考不衰的立體幾何大題的坐標(biāo)計(jì)算，以及圓錐曲線的邏輯推導(dǎo)。如本卷的18,20題。
2.注重基礎(chǔ)知識與基礎(chǔ)能進(jìn)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，培養(yǎng)和增加對問題本質(zhì)的學(xué)習(xí)認(rèn)識與理解，通過復(fù)習(xí)備考，讓學(xué)生的知識系統(tǒng)化、機(jī)構(gòu)化，提高理解運(yùn)用能力，加強(qiáng)通法通解的學(xué)習(xí)，更要加強(qiáng)靈活應(yīng)用能力。
3.針對新高考以及全國卷乙卷處于新高考的過渡期，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的靈活性，解決問題題的思維發(fā)現(xiàn)性，還要做到一題多思維，擴(kuò)展數(shù)學(xué)文化背景的積蓄，以適應(yīng)新教材體系下的數(shù)學(xué)思維考察，如本卷第2,11,13,19等題

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合或，，則集合（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡集合，再結(jié)合交集的運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題知，，
又或，
則，即.
故選：B
2．歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（?????）
A．=0 B．為實(shí)數(shù)
C． D．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
【答案】C
【分析】根據(jù)所給定義及特殊角的三角函數(shù)值判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】解：對于A：，故A錯誤；
對于B：，所以為純虛數(shù)，故B錯誤；
對于C：，故C正確；
對于D：，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以，，所以點(diǎn)位于第二象限，
即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故D錯誤；
故選：C
3．已知變量具有相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，則它們分別對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系是（????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用給定的散點(diǎn)圖判斷正負(fù)相關(guān)，再由點(diǎn)的集中程度判斷大小作答.
【詳解】觀察散點(diǎn)圖知，第一、三圖是正相關(guān)，且第一圖中點(diǎn)的集中程度高于第三圖，接近于1，即，
第二、四圖是負(fù)相關(guān)，且第二圖中點(diǎn)的集中程度高于第四圖，接近于-1，即，
所以有.
故選：A
4．設(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，公比為，則“”是“對任意，”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到與公比的關(guān)系式，分別以與為條件進(jìn)行推理判斷，從而得解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，公比為，則，
當(dāng)時，，
因?yàn)?，，所以，?br /> 所以，所以；
當(dāng)時，有，
因?yàn)?，所以，所以，故?br /> 則“”是“對任意的，”的充分必要條件，選項(xiàng)C正確.
故選：C.
5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)A位于第一象限，F(xiàn)恰好為AM的中點(diǎn)，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N，E，根據(jù)拋物線的定義，又F恰好為AM的中點(diǎn)，可得到比例，進(jìn)一步推導(dǎo)得到的值.
【詳解】如圖，

過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N，E，根據(jù)拋物線的定義得，，因?yàn)镕為AM的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.
故選：A
6．如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯誤的是（????）

A．平面平面 B．
C． D．平面
【答案】C
【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】解：對于A選項(xiàng)，由分別為所在棱的中點(diǎn)得，由正方體的性質(zhì)易知，平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，為下底面的中心，故為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，所以，故B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，若，由B選項(xiàng)知，則有，
令一方面，由正方體的性質(zhì)知為直角三角形，，
所以，不滿足，故C選項(xiàng)錯誤；
對于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，由正方體的性質(zhì)易知，
所以，平面，平面，
所以平面，故D選項(xiàng)正確.
故選：C

7．在中，已知，，，則的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式和正弦定理，由可得，再在和中分別利用余弦定理列式，結(jié)合長度關(guān)系解得和，代入面積公式即可求解.
【詳解】由可得，

因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)椋?br /> 所以在中由正弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即①，
在中，由余弦定理可得，
即②，
①②聯(lián)立解得，，
所以，，
所以，
故選：D
8．甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，
再計(jì)算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，
5人被分為或
當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為;
當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為；
所以共有.
由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，
當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則
共計(jì)種，
當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計(jì)種，
所以甲不在小區(qū)的概率為
故選：B.
9．已知函數(shù)的最小正周期為，，且的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，若將的圖像向右平移個單位長度后圖像關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)周期范圍得出范圍，根據(jù)對稱中心得出的值，并結(jié)合范圍得出的值，即可得出的解析式，根據(jù)函數(shù)圖像平移后的解析式變化得出，即可根據(jù)圖像關(guān)于軸對稱，得出，再根據(jù)的范圍得出實(shí)數(shù)的最小值.
【詳解】，，且，
，即，
的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
，且，即，解得，
，
取，，，
將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像，
的圖像關(guān)于軸對稱，，解得，
，的最小值，令，得，故選：B.
10．在直三棱柱中，是邊長為6的等邊三角形，是的中點(diǎn)，與平面所成角的正切值為1，則三棱柱的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題知為與平面所成的角，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系得，設(shè)直三棱柱上、下底面的中心分別為，，故三棱柱的外接球的球心為的中點(diǎn)，設(shè)為，則為球的半徑，再根據(jù)勾股定理求解得，再計(jì)算求得表面積即可.
【詳解】解：如圖所示，在直三棱柱中，底面ABC，
所以為與平面所成的角，因?yàn)槭沁呴L為6的等邊三角形，是的中點(diǎn)，
所以，所以，解得．設(shè)直三棱柱上、下底面的中心分別為，，所以在CD上，且，
由對稱性可知，三棱柱的外接球的球心為的中點(diǎn)，設(shè)為，則為球的半徑，
因?yàn)?，所以?br /> 所以直三棱柱的外接球的表面積．故選：A．

11．下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用作差法、對數(shù)運(yùn)算公式及基本不等式可比較與，再運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可比較與.
【詳解】∵，
，
∴，所以.
∵
∴比較與的大小，即比較與的大小.
令，則.
令，則.
所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)椋?br /> 所以，即.所以，即.
綜上所述，.故選：B.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.
12．在中，，，點(diǎn)與點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，且，，則的長度的最大值是（????）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件可以判斷是直角三角形，且隨著的變化三條邊的長度也會隨著發(fā)生改變，因此先根據(jù)余弦定理和正弦定理確定與邊的變化關(guān)系，再構(gòu)造一個關(guān)于邊的三角形，根據(jù)與邊的關(guān)系在新構(gòu)造的三角形中解出的表達(dá)式，找出最大值.
【詳解】由可知，是，的直角三角形，如圖所示：

設(shè)，，，則由余弦定理
得，即
由正弦定理得，所以.
連接，在中，由余弦定理，得

當(dāng)時，的長度取得最大值，為
故選:B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
可變動圖形與某一變量的變化關(guān)系引出的求邊求角類問題（以本題為例）：
①確定變動圖形的變化規(guī)律：如上題的變化是角度不變，邊長可等比例變化
②確定圖形變化與某個變量的聯(lián)系：變化發(fā)生變化整體變化
③找到有直接聯(lián)系的兩個變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后推廣到整體變化上：此處最為困難，需要學(xué)生根據(jù)已知條件活用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.
【答案】15625
【分析】根據(jù)題意，令y的指數(shù)為0，得，再令，得的展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為，解得n，再求展開式中的常數(shù)項(xiàng).
【詳解】展開式中不含y的項(xiàng)，即展開式中y的指數(shù)為0，即的展開式，
再令，得展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為=64，∴，
求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，由，
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：15625
14．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線外，若，且，，則的最小值為______.
【答案】
【分析】根據(jù)條件可得出從而得出，進(jìn)而得出BC，根據(jù)題意知，當(dāng)時，最小，從而得出可得出的最小值．
【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，最??；由，，∴ ，即，
∴ ，

∴當(dāng)時，由面積法得，，
所以的最小值為.故答案為：
15．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，若雙曲線的離心率為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)離心率和雙曲線關(guān)系可用表示出，并得到漸近線方程；在和中，結(jié)合余弦定理可用表示出，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】雙曲線的離心率，，，
雙曲線漸近線為：，
不妨設(shè)在上，如下圖所示，

，，則，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
，.故答案為：.
16．方程有解，則的取值范圍為______．
【答案】
【分析】利用同構(gòu)思想把方程化為，令，則在上有解，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】，
令，則在上有解，
令，，
當(dāng)直線與曲線相切時，取最大值，為切線的斜率.
對求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，
∴切線方程為，即，
令，∴，∴，∴，
因?yàn)殛P(guān)于b單調(diào)遞減，∴．
所以的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
利用同構(gòu)思想把，從而令，則，簡化了結(jié)構(gòu).

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
17.（12分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記的前n項(xiàng)和為，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列公差，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得，，利用裂項(xiàng)相消法求和
【詳解】（1）由題意可得：，
整理得，則
可得或，故或.
（2）∵，由（1）可得，
則，
故
所以.
18．如圖，在三棱柱中，底面為等腰直角三角形，側(cè)面底面為中點(diǎn)，.

(1)求證：；
(2)再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.
條件①：；條件②：.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）選①，取的中點(diǎn)，連接，證明，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
選②，取的中點(diǎn)，連接，利用勾股定理證明，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槊婷?，面面，面?br /> 所以平面，
又平面，所以；
（2）選①，取的中點(diǎn)，連接，
則且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面，
所以平面，又，所以平面，又平面，所以，
因?yàn)?，所以，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
由，得，則，
則，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以即為平面的一條法向量，設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，則，
由圖可知，二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.

選②，取的中點(diǎn)，連接，則且，
所以四邊形為平行四邊形，所以且，
因?yàn)榍遥?br /> 所以四邊形為平行四邊形，所以且，
又因?yàn)?，所以?br /> 又，，
所以，則，
在中，因?yàn)椋?br /> 所以，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
下同選①的答案.

19．強(qiáng)基計(jì)劃?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為；該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．
(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；
(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時，求m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布概率的計(jì)算公式，以及獨(dú)立事件求概率的方法，即可求解恰好通過一門科目的概率；
（2）考生報(bào)考甲大學(xué)通過的科目數(shù)X服從二項(xiàng)分布，期望可直接利用公式求解，而考生報(bào)考甲大學(xué)通過的科目數(shù)Y需求出分布列，再求期望，根據(jù)即可求出m的取值范圍
【詳解】（1）解：設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件，該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件，
根據(jù)題意可得，.
（2）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為X，報(bào)考乙大學(xué)通過的科目數(shù)為，
根據(jù)題意可知，，則，
，
，
，
，
則隨機(jī)變量的分布列為
Y
0
1
2
3
P

，
若，則，故，即的取值范圍是.
20．已知橢圓，離心率，左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)圍成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)M，N，A，B為橢圓上不同的四點(diǎn)，且均與橢圓右頂點(diǎn)P不重合，，，，證明：直線MN和直線AB的交點(diǎn)在一個定圓上．
【答案】(1)
(2)證明見詳解

【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程可得，由此可得橢圓方程；
（2）方法一：設(shè)直線，，聯(lián)立方程組利用設(shè)而不求法證明直線和直線過定點(diǎn)，結(jié)合條件證明結(jié)論.
方法二：直線，，通過齊次化變形，證明，，由此證明直線和直線過定點(diǎn)，結(jié)合條件證明結(jié)論.
【詳解】（1）由，，
三角形面積，
解得，，
所以橢圓C的方程為．
（2）由（1）得，設(shè)，，，，
直線，．
聯(lián)立
消去y整理得，
方程的判別式，
則，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
所以，
整理得．若，則，
則直線MN過定點(diǎn)，與題意矛盾；
若，則，則直線MN過定點(diǎn)．
同理可得
又因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
所以，
整理得．
若，則，則直線AB過定點(diǎn)，與題意矛盾；
若，則，則直線AB過定點(diǎn)．
又因?yàn)?，所以?br /> 所以直線AB與MN的交點(diǎn)在以和所連線段為直徑的定圓上．
方法二：設(shè)，，，，
直線，．
橢圓方程變形為，
直線變形為，
代入橢圓方程得，
即，
左右兩邊同時除以得，，
則，為方程的兩個根，則，
所以，直線MN過定點(diǎn)．
同理可得，
則，為方程的兩個根，則，
所以，
直線AB過定點(diǎn)．
又因?yàn)?，所以?br /> 所以直線AB與MN的交點(diǎn)在以和所連線段為直徑的定圓上．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
21．已知函數(shù)．
(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)有三個不同的極值點(diǎn)，，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.
（2）首先根據(jù)有個不同的極值點(diǎn)求得的一個范圍，然后化簡不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式恒成立?br /> 即在上恒成立，
記，則，
得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
則，即在區(qū)間上恒成立，
分離變量知：在上恒成立，則，

，
由前面可知，當(dāng)時，恒成立，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以．
（2），
設(shè)曲線圖象上任意一點(diǎn)，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
將代入得，故切點(diǎn)為，
過的切線方程為，
所以直線和曲線相切，并且切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)根，，并且，
從而當(dāng)時，有三個極值點(diǎn)，，，并且，，，
取對數(shù)知：，，即，，
則
．
構(gòu)造，
在時恒成立，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，
從而的解為，
綜上所述．
【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問題，可考慮利用分離常數(shù)法，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而求得參數(shù)的取值范圍.當(dāng)一次求導(dǎo)無法求得單調(diào)區(qū)間時，可考慮二次求導(dǎo)等方法來進(jìn)行求解.

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．
(1)說明是什么曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；
(2)直線的極坐標(biāo)方程為，是否存在實(shí)數(shù)b，使與的公共點(diǎn)都在上，若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)曲線是以為圓心，b為半徑的圓，；
(2)存在，.

【分析】（1）將的參數(shù)方程化為普通方程即可得曲線形狀，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化關(guān)系求出極坐標(biāo)方程作答.
（2）聯(lián)立曲線與的極坐標(biāo)方程消去，聯(lián)立曲線與直線的極坐標(biāo)方程消去，求出b值作答.
【詳解】（1）由消去參數(shù)t得到的普通方程為，因此曲線是以為圓心，b為半徑的圓；
將代入的普通方程中，得的極坐標(biāo)方程為，
所以曲線是以為圓心，b為半徑的圓，其極坐標(biāo)方程為.
（2）曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組，
消去整理得，
把代入的方程中，得，
把代入，得，而，解得，
所以存在實(shí)數(shù)，使與的公共點(diǎn)都在上．

23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)，．

(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)作圖見解析
(2)．

【分析】（1）根據(jù)絕對值函數(shù)分區(qū)間去絕對值后，寫成分段函數(shù)，即可作出圖像；
（2）設(shè)，由關(guān)于的不等式恒成立，則且，得出，畫出的大致圖像，則滿足即可，解得不等式即可求得答案．
【詳解】（1）由題得，，
畫出的圖像如圖所示：

（2）設(shè)，，，且，
，畫出的大致圖像，

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