2022-2023學(xué)年河南省鄭州市中牟縣楓楊外國語八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  下列關(guān)系式中，哪些是一元一次不等式(    )
，，，，，．A.  B.  C.  D. 3.  已知，下列式子不一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，把一個含角的直角三角板放在一個直尺上，直角邊，，斜邊與直尺的兩邊分別交于點(diǎn)，，和已知是等邊三角形，，若，則的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  如圖，在邊長為的小正方形網(wǎng)格中，為上任一點(diǎn)，的值為(    )
A.  B.  C.  D. 6.  下列命題：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；若，則；銳角與鈍角互為補(bǔ)角；相等的角是對頂角．它們的逆命題是真命題的個數(shù)是(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個7.  小明同學(xué)只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點(diǎn)，小明說：“射線就是的角平分線”他這樣做的依據(jù)是(    )
A. 在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上
B. 角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等
C. 三角形的三條高交于一點(diǎn)
D. 三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)8.  若不等式組的解是，則下列各式正確的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如圖，在中，，，和的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、于、，則的周長為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，在中，，是上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接，，則下列結(jié)論正確的是(    )
；；是等邊三角形；若，．
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  將點(diǎn)向上平移個單位到點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)坐標(biāo)為______ ．12.  若多項式分解因式的結(jié)果為，則的值為______．13.  在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為______ ．
 14.  若關(guān)于的不等式組有四個整數(shù)解，則的取值范圍是______ ．15.  如圖，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，分別在線段和射線上運(yùn)動，且，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到 ______ ，與全等．
 三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
因式分解：；
解不等式：．17.  本小題分
解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
 18.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，請解答下列問題：
若經(jīng)過平移后得到，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，作出并寫出其余兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，作出．
19.  本小題分
如圖，點(diǎn)是中一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，．
求證：平分；
若，，求的面積．
20.  本小題分
在學(xué)習(xí)對復(fù)雜多項式進(jìn)行因式分解時，老師示范了如下例題： 例：因式分解：
解：設(shè)
原式第一步第二步第三步
第四步完成下列任務(wù)：
例題中第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______ ；填序號
提取公因式；
平方差公式；
兩數(shù)和的完全平方公式；
兩數(shù)差的完全平方公式；
請你模仿以上例題分解因式：．21.  本小題分
為了響應(yīng)習(xí)主席提出的“足球進(jìn)校園”的號召，某中學(xué)開設(shè)了“足球大課間活動”，該中學(xué)購買種品牌的足球個，種品牌的足球個，共花費(fèi)元，已知種品牌足球的單價比種品牌足球的單價高元．
求、兩種品牌足球的單價各多少元？
根據(jù)需要，學(xué)校決定再次購進(jìn)、兩種品牌的足球個，正逢體育用品商店“優(yōu)惠促銷”活動，種品牌的足球單價優(yōu)惠元，種品牌的足球單價打折如果此次學(xué)校購買、兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過元，且購買種品牌的足球不少于個，則有幾種購買方案？為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇哪種方案？22.  本小題分
定義運(yùn)算：當(dāng)時，；當(dāng)時，如：；；根據(jù)該定義運(yùn)算完成下列問題：
______ ，當(dāng)時， ______ ．
若，求的取值范圍；
如圖，已知直線與相交于點(diǎn)，若，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍．
23.  本小題分
【問題探究】
如圖，銳角中，分別以、為邊向外作等腰直角和等腰直角，使，，，連接，，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．
【深入探究】
如圖，銳角中分別以、為邊向外作等腰和等腰，使，，，連接、，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【拓展應(yīng)用】
如圖，在中，，以為直角邊，為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角，連接，若，，求的長；
【解決問題】
如圖，在四邊形中，，，，，求的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：．
根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解．
本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：是一元一次不等式；
是一元一次不等式；
中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式；
是等式，不是一元一次不等式；
中不是整式，因此不是一元一次不等式；
中未知數(shù)的指數(shù)是，不是，所以不是一元一次不等式；
綜上分析可知，一元一次不等式有，故B正確．
故選：．
根據(jù)一元一次不等式的定義逐項判斷即可．
本題主要考查了一元一次不等式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式的定義，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是，未知數(shù)的系數(shù)不為，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．
 3.【答案】 【解析】解：、不等式兩邊同時減去一個相同的數(shù)，不等號的方向不變，故A成立，不符合題意；
B、不等式兩邊同時乘以一個相同的負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，故B成立，不符合題意；
C、，
，
；故C成立，不符合題意；
D、，，
，故D不成立，符合題意；
故選：．
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可進(jìn)行解答．
本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的基本性質(zhì)．不等式性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變．不等式性質(zhì)：不等式的兩邊同時乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變．不等式性質(zhì)：不等式的兩邊同時乘或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
 4.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作于，
，

是等邊三角形，，
，
又，，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)是等邊三角形和，可推出，過點(diǎn)作，從而求得．
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直接三角形，熟練掌握有關(guān)的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：與是直角三角形，，，
，，
．
故選：．
先根據(jù)勾股定理用，表示出，用，表示出，再把，代入進(jìn)行計算即可．
本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了命題與定理，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)所學(xué)的公理定理對各小題進(jìn)行分析判斷，然后再計算真命題的個數(shù)．
【解答】
解：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是真命題；
若，則的逆命題是若，則是真命題；
銳角與鈍角互為補(bǔ)角的逆命題是互補(bǔ)的角是銳角與鈍角，是假命題；
相等的角是對頂角的逆命題是對頂角相等，是真命題；
故選：．  7.【答案】 【解析】解：由題意可知，點(diǎn)到射線的距離是直尺的寬度，點(diǎn)到射線的距離也是直尺的寬度，
點(diǎn)到射線，的距離相等，
點(diǎn)在的平分線上在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
故選：．
由題意可知，點(diǎn)到射線，的距離相等，則點(diǎn)在的平分線上，即可得出答案．
本題考查角平分線的性質(zhì)，理解題意，掌握角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解答本題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：不等式組的解集為，
．
故選：．
根據(jù)不等式組取解集的方法確定出所求即可．
此題考查了不等式的解集，不等式組取解集的方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．
 9.【答案】 【解析】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周長




，
故選：．
利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證和是等腰三角形，從而可得，，然后利用等量代換可得的周長，進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：，
，，
，
，
符合題意；
，，
，，
，
符合題意；
，，但不能判定是等邊三角形，
不符合題意；
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
不符合題意；
故選：．
由，，得出，可判斷；由可證明，可判斷；可證明是等腰三角形但不能證明是等邊三角形，可判定；由，可求出，進(jìn)而得出，繼而證出，可判斷；即可得出答案．
本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：將點(diǎn)向上平移個單位長度得到點(diǎn)，
，即，
點(diǎn)在軸上，
，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：．
根據(jù)上下平移時橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上移加、下移減，可得點(diǎn)，再根據(jù)軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為可得，算出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題主要考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移，解題的關(guān)鍵是掌握平移時點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律“橫坐標(biāo)右移加、左移減，縱坐標(biāo)上移加、下移減”．
 12.【答案】 【解析】解：


所以，，
則．
故答案為：．
利用整式的乘法計算，按二次項、一次項、常數(shù)項整理，與多項式對應(yīng)，得出、的值代入即可．
此題考查利用整式的計算方法，計算出的代數(shù)式與因式分解前代數(shù)式比較，得出結(jié)論，進(jìn)一步解決問題．
 13.【答案】 【解析】解：由圖象可知，關(guān)于的不等式的解集為，
故答案為：．
根據(jù)兩個一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，進(jìn)一步可得不等式的解集．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握一次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：
由得：，
由得：，
不等式組的解集為：，
又不等式組有四個整數(shù)解，即，，，，
，
解得：．
故答案為：．
先解不等式組，求得不等式組的解集含字母，然后根據(jù)不等式組有個整數(shù)解得到，從而可求得的范圍．
本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是掌握解不等式組的方法，屬于中考?？碱}型．
 15.【答案】或 【解析】本題考查了直角三角形全等的判定方法；熟練掌握直角三角形全等的判定方法，本題需要分類討論，難度適中．
分兩種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；由“”證明和全等即可得出結(jié)果．
解：，
，
．
分兩種情況：
當(dāng)時，
在和中，

≌；
當(dāng)時，
在和中，

≌；
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到或時，與全等．
故答案為：或．
 16.【答案】解：

；
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并，得，
系數(shù)化，得． 【解析】先提，然后利用完全平方公式分解因式即可；
先去分母，再去括號、移項，然后合并后把的系數(shù)化為即可．
本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用：靈活運(yùn)用因式分解得方法是解決問題的關(guān)鍵．也考查了解一元一次不等式．
 17.【答案】解：，
由得，，
由得，，
故不等式組的解集為，
在數(shù)軸上表示為：
 【解析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在數(shù)軸上表示出來即可．
本題考查的是解一元一次不等式組及在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到的原則是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：由和可知其平移規(guī)律為向右平移個單位長度，向下平移個單位長度，如圖所示即為所求，點(diǎn)，；
如圖：即為所求．
 【解析】根據(jù)平移前后點(diǎn)坐標(biāo)和的坐標(biāo)可畫出圖形，進(jìn)而得到坐標(biāo)即可；
將三角形三個頂點(diǎn)分別繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)點(diǎn)，連接即可．
本題考查了旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性求出旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：，
．
，，
平分．
即是的平分線．
解：，，，
．
，
是等邊三角形，
的面積，
，
，
的面積，
的面積的面積的面積． 【解析】根據(jù)等角對等邊得，再由角平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；
由含角的直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積可得答案．
此題考查角平分線的定義，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答．
 20.【答案】 【解析】解：例題中第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的兩數(shù)差的完全平方公式，
故答案為：；

設(shè)，
原式



．
根據(jù)因式分解的公式法，即可求解；
設(shè)，將原式轉(zhuǎn)化為，得到；再將代入，即可求解．
本題考查因式分解的知識，解題的關(guān)鍵是能夠讀懂題目給出的例子，并結(jié)合所學(xué)知識進(jìn)行解決問題．
 21.【答案】解：設(shè)種品牌足球的單價是元，種品牌足球的單價是元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：種品牌足球的單價是元，種品牌足球的單價是元；
設(shè)購買個種品牌的足球，則購買個種品牌的足球，
根據(jù)題意得：，
解得：，
又為正整數(shù)，
可以為，，
共有種購買方案，
方案：購買個種品牌的足球，個種品牌的足球，總費(fèi)用為元；
方案：購買個種品牌的足球，個種品牌的足球，總費(fèi)用為元．
，
為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇購買方案，即購買個種品牌的足球，個種品牌的足球． 【解析】設(shè)種品牌足球的單價是元，種品牌足球的單價是元，根據(jù)“購買種品牌的足球個，種品牌的足球個，共需元，種品牌足球的單價比種品牌足球的單價高元”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)購買個種品牌的足球，則購買個種品牌的足球，根據(jù)“此次學(xué)校購買、兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過元，且購買種品牌的足球不少于個”，可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，可得出共有種購買方案，再分別求出各方案所需總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
 22.【答案】   【解析】解：根據(jù)定義，得，
當(dāng)時，，
故答案為：，；

，
，
解得；

，
根據(jù)圖象，可得的取值范圍：．
根據(jù)的定義，即可求解；
根據(jù)圖象，結(jié)合的定義即可．
本題是兩直線相交問題，考查了新定義，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠求得交點(diǎn)坐標(biāo)并理解新定義的含義是解決本題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：結(jié)論：，
理由如下：，
，即，
在和中，
，
≌，
；

結(jié)論：．
理由是：，
，即，
在和中，
，
≌，
；

在的上方作等腰直角，使得，，連接．

，

是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，，
≌，
，
；

如圖中，在是上方作等邊，

，，
是等邊三角形，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
的最大值為． 【解析】首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明，則根據(jù)即可證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．
首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明，則根據(jù)即可證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；
在的上方作等腰直角，使得，，連接，由勾股定理可求的長，由“”可證≌，得出；
如圖中，在是上方作等邊，證明，求出的取值范圍，可得結(jié)論．
本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
 

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