廣東省廣州市六區(qū)部分普通高中2023屆高三下學(xué)期綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題1、若a為實(shí)數(shù)，且，則(   )A.2 B.1 C. D.2、已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為(   )A.1 B.2 C.3 D.43、已知兩個(gè)非零向量，滿足，，則(   )A. B. C. D.4、已知，，，則(   )A. B.C. D.5、木升在古代多用來(lái)盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學(xué)制作了一個(gè)高為40cm的正四棱臺(tái)木升模型，已知該正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為50cm的球O的球面上，且一個(gè)底而的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為(   )A. B. C. D.6、已知橢圓C：()，過(guò)點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過(guò)C的右焦點(diǎn)，則C的離心率為(   )A. B. C. D.7、已知函數(shù)，若恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為(   )A.() B.()C.() D.()8、已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且也是偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(   )A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題9、有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，則下列結(jié)論正確的是(   )A.該零件是第1臺(tái)車床加工出來(lái)的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為10、已知函數(shù)定義域是，值域?yàn)?/span>，則滿足條件的整數(shù)對(duì)可以是(   )A. B. C. D.11、已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線l與雙曲線的右支交于點(diǎn)B、C，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A、D(A、B在第一象限，C、D在第四象限)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(   )A.若軸，則的周長(zhǎng)為B.若直線交雙曲線的左支于點(diǎn)E，則C.面積的最小值為D.的取值范圍為12、已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別為和的重心，P為線段上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(   )A.若取得最小值，則B.若，則平面C.若平面，則三棱錐外接球的表面積為D.直線到平面的距離為三、填空題13、某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位：分)服從正態(tài)分布，且成績(jī)?cè)?/span>上的學(xué)生人數(shù)為16，則成績(jī)?cè)?/span>90分以上的學(xué)生人數(shù)為____________.14、已知，的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，寫出n的一個(gè)值為____________.15、在數(shù)列中，，，若，則正整數(shù)____________.16、在平面直角坐標(biāo)系中，定義為，兩點(diǎn)之間的“折線距離”.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，點(diǎn)M是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為___________，的最小值為___________四、解答題17、設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.(1)求，；(2)令，求.18、一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過(guò)加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入x (單位：千萬(wàn)元)對(duì)每件產(chǎn)品成本y (單位：元)的影響，對(duì)近10年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下散點(diǎn)圖，并計(jì)算得：，，，，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，試建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額m (單位：千萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品成本y的關(guān)系為.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本千萬(wàn)元，根據(jù)(1)的結(jié)果回答：當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？(注：年利潤(rùn)=年銷售額一年投入成本)參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、……、，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計(jì)分別為：，.19、記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知.(1)求A；(2)若點(diǎn)D在邊上，且，，求.20、如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，平面.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.21、已知點(diǎn)，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與y軸相切，點(diǎn)P的軌跡記為C.(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且垂直于l的直線交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B且垂直于l的直線交x軸于點(diǎn)N.當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求l的方程.22、已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)已知，證明：.
參考答案1、答案：C解析：由題意得，，故選：C.2、答案：B解析：因?yàn)?/span>，，則，故集合的元素個(gè)數(shù)為2.故選：B.3、答案：D解析：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，，故選:D.4、答案：D解析：由，，，則，，又，，則，即，所以.故選：D.5、答案：A解析：如圖：正四棱臺(tái)，由題意可知：O是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以,進(jìn)而可得取的中點(diǎn)為N，過(guò)的中點(diǎn)P作，連接,所以,,故,在直角三角形PMN中，故，由于,所以即為正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角，故正弦值為，故選：A6、答案：A解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為C.因?yàn)榉较蛳蛄?/span>的直線斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且B到AC的距離為b，又，故，，則，故，離心率.故選：A7、答案：D解析：因?yàn)?/span>恒成立，所以，即，所以或，,所以或，,當(dāng),時(shí)，，,則，與題意矛盾，當(dāng),時(shí)，,,符合題意，所以，所以，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選：D8、答案：B解析：因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，①因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，②聯(lián)立①②可得，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在R上為增函數(shù)，即函數(shù)在R上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，整理可得，解得.故選：B.9、答案：BC解析：記事件A：車床加工的零件為次品，記事件：第臺(tái)車床加工的零件，則，，，，，，對(duì)于A，任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，任取一個(gè)零件是次品的概率為，故B正確；對(duì)于C，如果該零件是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為，故C正確；對(duì)于D，如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10、答案：ACD解析：顯然是偶函數(shù)，其圖像如下圖所示：要使值域?yàn)?/span>，且a，,則，；，；，.故選：ACD.11、答案：BD解析：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，易知點(diǎn)、，雙曲線的漸近線方程為.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)軸，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時(shí)，，則，此時(shí)，的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)也在雙曲線上，因?yàn)槿糁本€交雙曲線的左支于點(diǎn)E，則點(diǎn)B、E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即、的中點(diǎn)均為原點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，所以，，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，易知的方程為，的方程為，所以，，因?yàn)橹本€l與雙曲線的右支交于點(diǎn)B、C，則直線l不與x軸重合，設(shè)直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，解得，由韋達(dá)定理可得，，可得，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，聯(lián)立可得，，即點(diǎn)，所以，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述，的取值范圍是，D對(duì).故選：BD.12、答案：BCD解析：將正四面體放入正方體中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DE，DF，DG所在直線為x軸，y軸，z軸，如圖所示，因?yàn)檎拿骟w的長(zhǎng)為2，所以正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為和重心，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為所以設(shè)，則，所以，所以，，對(duì)于A：因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)時(shí)，即，，取得最小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則，所以，因?yàn)?/span>，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，因?yàn)?/span>，所以平面，即平面，故B正確；對(duì)于C：若平面，則，即，，即，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>，，則，取，則，因?yàn)?/span>，所以平面，則三棱錐外接球的球心在直線上，又因?yàn)辄c(diǎn)N為等邊三角形的重心，所以點(diǎn)N為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，則，即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的表面積為，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：因?yàn)辄c(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>，，所以，取，則，因?yàn)?/span>，且直線平面，所以直線平面，所以點(diǎn)N到平面的距離就是直線到平面的距離，則點(diǎn)N到平面的距離，即直線到平面的距離為，故D正確，故選：BCD.13、答案：8解析：由X(單位：分)服從正態(tài)分布，知正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為，成績(jī)?cè)?/span>上的學(xué)生人數(shù)為16，由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?/span>80分上的學(xué)生人數(shù)為24人，所以90分以上的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：814、答案：3(答案不唯一)解析：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，所以有解，即，可得n的一個(gè)值為3.故答案為：3(答案不唯一)15、答案：10解析：由，，令，則，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，又為正整數(shù)，所以，即，解得或(舍去).故答案為：10.16、答案：①.;0.5②.解析：設(shè)，，當(dāng),時(shí)，則，即，當(dāng),時(shí)，則，即，當(dāng),時(shí)，則，即當(dāng),時(shí)，則，即，故點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形如下圖陰影部分四邊形的面積：則.如下圖，設(shè)，，顯然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，又，下面求的最小值，令，，即，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，y有最小值，且，所以.故答案為：；.17、答案：(1)(2)解析：（1）由得即，即，又，所以，，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加可得，得，由于，所以18、答案：(1)(2)當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為千萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值取最大值解析：（1）令，則y關(guān)于u的線性回歸方程為，由題意可得，，則，所以，y關(guān)于x的回歸方程為.（2）解：由可得，年利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)M取得最大值，此時(shí)，所以，當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為20千萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值取最大值.19、答案：(1)(2)解析：（1）解：因?yàn)?/span>，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)可得，由余弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以，.（2）解：因?yàn)?/span>，則B為銳角，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，所以，，設(shè)，則，在和中，由正弦定理得，，因?yàn)?/span>，上面兩個(gè)等式相除可得，得，即，所以，.20、答案：(1)證明見解析(2)解析：（1）取中點(diǎn)M，連接、，如圖所示：，點(diǎn)D是中點(diǎn)，，又是的中點(diǎn)，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由(1)知平面，則，設(shè)，則，，，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即三棱錐的體積最大，此時(shí)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則有，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，取，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.21、答案：(1)(2)或解析：(1)設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，根據(jù)圓與y軸相切，可得，化簡(jiǎn)得，所以C的方程為(2)由題意可知：直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：，，聯(lián)立，所以，設(shè)直線l的傾斜角為，則所以，所以，由題意可知四邊形為梯形，所以，設(shè)，則，所以，當(dāng),,單調(diào)遞增，當(dāng),,單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，面積最小，此時(shí)，故直線的方程為：，即或22、答案：(1)(2)證明見解析解析：（1）解：令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，取，由于，而，得，故，不合乎題意.綜上所述，.（2）證明：當(dāng)時(shí)，由(1)可得，則，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)上單調(diào)遞增，故，則，所以，，，所以，.
 

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