2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  習(xí)近平主席在年新年賀詞中提到“人不負(fù)青山，青山定不負(fù)人”一語道出“人與自然和諧共生”的至簡(jiǎn)大道．下列有關(guān)環(huán)保的四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  已知，則下列不等式中不正確的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  把多項(xiàng)式分解因式，應(yīng)提的公因式是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如果把分式中的和都擴(kuò)大倍，那么原分式的值是(    )A. 擴(kuò)大倍 B. 縮小倍 C. 不變 D. 縮小倍6.  不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是(    )A.  B.
C.  D. 7.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，將線段平移到線段，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.
B.
C.
D.
 8.  數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法如圖，直線與直線相交于點(diǎn)根據(jù)圖象可知，關(guān)于的不等式的解集是(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，將繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在位置，點(diǎn)落在位置，連接，若，，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，在中，將邊，分別繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，連接，與交于點(diǎn)，連接，，，，下列結(jié)論：；；平分；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  分解因式：______．12.  若分式的值為則______．13.  已知，則的值是______．14.  如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為______ ．
 15.  如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，交于點(diǎn)，則 ______ ．
16.  如圖，在中，，分別以點(diǎn)、為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于，，作直線，為的中點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)若，面積為，則長(zhǎng)度的最小值等于______ ．
 三、解答題（本大題共10小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
分解因式：
；
．18.  本小題分
解不等式組：
解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來；

解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．19.  本小題分
計(jì)算：
；
．20.  本小題分
先化簡(jiǎn)，再求值：，并從，，中選一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．21.  本小題分
已知：如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，且求證：．
22.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，．
把向左平移個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的，請(qǐng)畫出平移后的；
把繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到對(duì)應(yīng)的，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的；
觀察圖形可知，與關(guān)于點(diǎn)______，______中心對(duì)稱．
23.  本小題分
某中學(xué)為打造書香校園，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購(gòu)進(jìn)的圖書調(diào)查發(fā)現(xiàn)，兩種書柜的購(gòu)買信息如表： 甲書柜個(gè)乙書柜個(gè)總費(fèi)用元甲、乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？
若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共個(gè)，學(xué)校至多能夠提供資金元，請(qǐng)寫出所有購(gòu)買方案供這個(gè)學(xué)校選擇兩種規(guī)格的書柜都必須購(gòu)買．24.  本小題分
閱讀下列材料：
整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法；
下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．
解：設(shè)
原式第一步
第二步
第三步
第四步
回答下列問題：
該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的方法是______ ．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.完全平方公式
請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
根據(jù)材料，請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：25.  本小題分
如圖，在中，，，，、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒；兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
斜邊上的高為______ ；
當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為______ ；
當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，是等腰三角形？
當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出所有能使成為等腰三角形的的值．
 26.  本小題分
綜合與實(shí)踐
八年級(jí)同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：
如圖，為等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則 ______ 若是的中點(diǎn)，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______ ．
遷移探究：
如圖，中的其他條件不變，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，求出此時(shí)的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系．
拓展應(yīng)用：
如圖，在中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，連接，是的中點(diǎn)，連接在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A、、的圖形都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)D的圖形能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形，
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形互為中心對(duì)稱圖形逐項(xiàng)判斷即可得．
本題考查的是中心對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：、該等式的右邊不是幾個(gè)整式積的形式，沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，不是因式分解，故A不合題意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故B不合題意；
C、，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故C符合題意；
D、，等式的右邊不是幾個(gè)整式積的形式，沒把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，不是因式分解，故D不合題意；
故選：．
根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案．
本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了不等式的性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：兩邊都乘，不等號(hào)的方向不變，故A正確；
B.兩邊都減，不等號(hào)的方向不變，故B正確；
C.兩邊都乘，不等號(hào)的方向改變，故C錯(cuò)誤；
D.兩邊都除以，不等號(hào)的方向不變，故D正確．
故選C．
   4.【答案】 【解析】解：多項(xiàng)式分解因式，應(yīng)提的公因式是，
故選：．
找多項(xiàng)式的公因式時(shí)，系數(shù)找各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母找最低次冪，根據(jù)以上內(nèi)容得出答案即可．
本題考查了因式分解提取公因式法，能掌握找多項(xiàng)式公因式的規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：由題意得：
，
如果把分式中的和都擴(kuò)大倍，那么原分式的值是擴(kuò)大倍，
故選：．
利用分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：移項(xiàng)，得：，
合并同類項(xiàng)，得：，
故選：．
根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為可得．
本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
點(diǎn)向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，
，
點(diǎn)向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，
，
故選：．
利用平移變換的規(guī)律解決問題．
本題考查坐標(biāo)與圖形變化平移，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
 8.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖象可得：不等式的解集為：，
故選：．
以兩函數(shù)圖象交點(diǎn)為分界，直線在直線的下方時(shí)，．
此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是能從圖象中得到正確信息．
 9.【答案】 【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
．
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，由等腰三角形的性質(zhì)得，易得到，由平行線的性質(zhì)得，設(shè)，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程求解即可．
本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：過作于，于，設(shè)交于，如圖：

將邊，分別繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，
，，，
，
≌，
，故正確；
，
，
，
，故正確；
≌，，，
，
平分，故正確；
，
，，
，故正確；
正確的有，共個(gè)，
故選：．
過作于，于，設(shè)交于，根據(jù)將邊，分別繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，可證≌，得，判斷正確；且有，而，即得，，判斷正確；由≌，，，可得，故AF平分，判斷正確；，根據(jù)勾股定理可判斷正確．
本題考查三角形中的旋轉(zhuǎn)問題，涉及全等三角形的判定與旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是證明≌．
 11.【答案】 【解析】解：原式
故答案為：
原式利用完全平方公式分解即可．
此題考查了因式分解運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：分式的值為，
，
解得．
故答案為：．
根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，可得，據(jù)此求出的值是多少即可．
此題主要考查了分式值為零的條件，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故答案為：．
由可得，進(jìn)而得出．
本題考查了分式的加減法，掌握分式加減法的法則是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．由角平分線的性質(zhì)可知，根據(jù)解答即可．
【解答】
解：平分，，，
，
，
，
．  15.【答案】 【解析】解：在中，，，，
，，，
將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
≌，，
，，
．
故答案為：．
先在含銳角的直角三角形中計(jì)算出兩條直角邊，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等得到，，即可解答．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
 16.【答案】 【解析】解：連接，，如圖，

，為的中點(diǎn)，
，
的面積為，
，解得，
由作法得垂直平分，
，
，
而當(dāng)且僅當(dāng)、、共線，即點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為，
的最小值是．
故答案為：．
連接，，如圖，先利用等腰三角形的性質(zhì)得到，則可根據(jù)三角形面積公式求出，利用基本作圖得到垂直平分，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)、、共線，即點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，從而得到的最小值．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線也考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和最短路徑問題．
 17.【答案】解：

；


． 【解析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．
本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．
 18.【答案】解：，
，
，
，
則，
將解集表示在數(shù)軸上如下：

由得：，
由得：，
則不等式組的解集為，
所以不等式組的整數(shù)解為、、． 【解析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為可得；
分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：

；



． 【解析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分即可；
先通分，然后將分子分母分解因式，再約分即可．
本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：


，
或時(shí)，原分式無意義，
，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】先算括號(hào)內(nèi)的式子，然后計(jì)算括號(hào)外的除法，再?gòu)?/span>，，中選一個(gè)使得原分式有意義的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．
本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 【解析】根據(jù)可證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】   【解析】解：如圖所示，即為所求；
如圖所示，即為所求；

由圖可得，與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．
故答案為：，．
依據(jù)平移的方向和距離，即可得到平移后的；
依據(jù)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，即可畫出旋轉(zhuǎn)后的；
依據(jù)對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)的位置，即可得到對(duì)稱中心的坐標(biāo)．
此題主要考查了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，正確根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)甲種書柜單價(jià)為元，乙種書柜的單價(jià)為元，由題意得：
，
解之得：，
答：甲種書柜單價(jià)為元，乙種書柜的單價(jià)為元．
解：設(shè)甲種書柜購(gòu)買個(gè)，則乙種書柜購(gòu)買個(gè)；
由題意得：．
解之得：，
因?yàn)?/span>取整數(shù)，所以可以取值為：，．
即：學(xué)校的購(gòu)買方案有以下二種：
方案一：甲種書柜個(gè)，乙種書柜個(gè)，
方案二：甲種書柜個(gè)，乙種書柜個(gè)． 【解析】設(shè)甲種書柜單價(jià)為元，乙種書柜的單價(jià)為元，根據(jù)：購(gòu)買甲種書柜個(gè)、乙種書柜個(gè)，共需資金元；若購(gòu)買甲種書柜個(gè)，乙種書柜個(gè)，共需資金元列出方程組求解即可；
設(shè)甲種書柜購(gòu)買個(gè)，則乙種書柜購(gòu)買個(gè)．根據(jù)：購(gòu)買的乙種書柜的數(shù)量甲種書柜數(shù)量且所需資金列出不等式組，解不等式組即可得不等式組的解集，從而確定方案．
本題主要考查二元一次方程組、不等式組的綜合應(yīng)用能力，根據(jù)題意準(zhǔn)確抓住相等關(guān)系或不等關(guān)系是解題的根本和關(guān)鍵．
 24.【答案】 【解析】解：從第二步到第三步運(yùn)用的是完全平方公式，故只有選項(xiàng)C符合題意，
故選：；
設(shè)，
原式




；
設(shè)，
原式


．
根據(jù)題中可得出是運(yùn)用了完全平方公式；
根據(jù)例題可設(shè)，即可進(jìn)行因式分解；
根據(jù)題意可設(shè)，代入即可得出原式，再進(jìn)行運(yùn)算即可得出答案．
本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵：一是設(shè)，二是．
 25.【答案】   【解析】解：在中，由勾股定理可得，
斜邊上的高為；
當(dāng)時(shí)，則，，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即的長(zhǎng)為，
故答案為：；；
由題意可知，，
，
，
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則有，即，
解得，
出發(fā)秒后能形成等腰三角形；
在中，，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，
為等腰三角形，
有、和三種情況，
當(dāng)時(shí)，如圖，過作于，

則，
由知，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或舍去；
當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，則，
，
，
，
，即，解得；
綜上可知當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒或秒時(shí)，為等腰三角形．
利用勾股定理可求解的長(zhǎng)，利用面積法進(jìn)而可求解斜邊上的高；
可求得和，則可求得，在中，由勾股定理可求得的長(zhǎng)；
用可分別表示出和，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于的方程，可求得；
用分別表示出和，利用等腰三角形的性質(zhì)可分、和三種情況，分別得到關(guān)于的方程，可求得的值．
本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】   【解析】解：為等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，
，
，，
，
；
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
，
故答案為：；；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
；

分以下兩種情況進(jìn)行討論：
如圖當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，

根據(jù)題意，得為等腰直角三角形，
．
，
，
，是的中點(diǎn)，
，
；

如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，

同理，可得，．
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
由等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形中位線定理即可解決問題；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題；
分以下兩種情況進(jìn)行討論：如圖當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．
此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，利用分類討論思想是解本題的關(guān)鍵．
 

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