2022-2023學(xué)年湖南師大附中教育集團(tuán)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  函數(shù)的自變量的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列各圖中，能表示是的函數(shù)的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如圖，在中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為(    )A.
B.
C.
D. 6.  一次函數(shù)的圖象(    )A. 經(jīng)過(guò)一、二、三象限 B. 經(jīng)過(guò)一、三、四象限
C. 經(jīng)過(guò)一、二、四象限 D. 經(jīng)過(guò)二、三、四象限7.  下列命題中正確的是(    )A. 對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 B. 對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D. 四個(gè)角相等的四邊形是矩形8.  如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，直線和直線相交于點(diǎn)，則方程組的解是(    )A.
B.
C.
D. 10.  一次函數(shù)、是常數(shù)與是常數(shù)的圖象交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的序號(hào)是(    )
關(guān)于的方程的解為；一次函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)和滿足：；若，則；若，且，則當(dāng)時(shí)，．A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為______ ．12.  已知，，則______．13.  已知一次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)、，若，則 ______ 填“”“”或“”．14.  如圖，圓柱的高為，底面周長(zhǎng)為，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程是______．
 15.  一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始的分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)．容器內(nèi)的水量單位：升與時(shí)間單位：分鐘之間的關(guān)系如圖所示，則每分鐘出水______
 16.  如圖，在，，以的三邊為邊向外作正方形，正方形，正方形，是上一點(diǎn)，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則四邊形的面積等于______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
求這個(gè)正比例的解析式；
將該正比例函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值．19.  本小題分
如圖，將一張矩形紙片的一端沿折疊，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)．
這樣折出來(lái)的四邊形是______ ；
證明你在中得到的結(jié)論．
20.  本小題分
如圖，在中，，．
求證：；
若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
21.  本小題分
如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，．
求證：；
若點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，求平行四邊形的周長(zhǎng)．
22.  本小題分
某農(nóng)戶準(zhǔn)備種植甲、乙兩種水果經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，甲種水果的種植費(fèi)用元與種植面積有關(guān)，如果種植面積不超過(guò)，種植費(fèi)用為每平方米元；種植面積超過(guò)，超過(guò)的面積種植費(fèi)用為每平方米元；乙種水果的種植費(fèi)用為每平方米元．
當(dāng)甲種水果種植面積超過(guò)時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式；
甲、乙兩種水果種植面積共，種植總費(fèi)用為，其中甲種水果的種植面積超過(guò)，不超過(guò)乙種水果的種植面積的倍請(qǐng)問(wèn)怎樣分配甲、乙兩種水果種植面積才能使種植總費(fèi)用最少？最少的種植費(fèi)用是多少？23.  本小題分
如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，連接，，平分．
求證：；
作于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．
24.  本小題分
定義：對(duì)于給定的一次函數(shù)、為常數(shù)，把形如、為常數(shù)的函數(shù)稱為一次函數(shù)、為常數(shù)的衍生函數(shù)已知平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．
點(diǎn)在一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象上，則 ______ ；
如圖，一次函數(shù)、為常數(shù)的衍生函數(shù)圖象與平行四邊形交于、、、四點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)是，并且，求該一次函數(shù)的解析式．
一次函數(shù)、為常數(shù)，其中、滿足．
請(qǐng)問(wèn)一次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
一次函數(shù)、為常數(shù)的衍生函數(shù)圖象與平行四邊形恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．
 25.  本小題分
如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，．
如圖，若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：四邊形為平行四邊形；
如圖，若點(diǎn)使得，求四邊形的面積；
如圖，連接，若點(diǎn)使得，求的長(zhǎng)．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件成立不等式，解不等式得到答案．
本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．如果沒(méi)有這種關(guān)系，這個(gè)就不是直角三角形，逐一判定即可．
本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
 3.【答案】 【解析】解：、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：．
根據(jù)實(shí)數(shù)的加減法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算即可．
本題考查了實(shí)數(shù)的加減法，掌握實(shí)數(shù)的加減法法則是關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，
只有圖，取一個(gè)確定的值，都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，其它都不符合，
故選：．
根據(jù)函數(shù)的定義，在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量與，對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)是的函數(shù)，是自變量，即一一對(duì)應(yīng)，即可求解．
本題考查的是函數(shù)的定義，其核心是：函數(shù)和自變量是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．
 5.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，
故選：．
根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)，，，
該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，
故選：．
根據(jù)函數(shù)解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限．
本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 7.【答案】 【解析】解：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A不符合題意；
對(duì)角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，故B不符合題意；
對(duì)角線垂直且平分的四邊形是菱形，故C不符合題意．
四個(gè)角相等的四邊形是矩形，故D符合題意．
故選：．
根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理進(jìn)行選擇即可．
本題考查了平行四邊形、正方形、菱形和矩形，掌握平行四邊形、正方形、菱形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：在中，，
，
，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
故選：．
根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．
本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么．
 9.【答案】 【解析】解：直線和直線相交于點(diǎn)，
則方程組的解是，
故選：．
利用方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)解決問(wèn)題．
本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組：方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
 10.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)、是常數(shù)與是常數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
關(guān)于的方程的解為，
故是正確的；
是常數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
，
隨的增大而減小，
，
故是正確的；
，
或，
故是錯(cuò)誤的；
，且，
當(dāng)時(shí)，
故是正確；
故選：．
根據(jù)一次函數(shù)與方程的關(guān)系求解；
根據(jù)一次函數(shù)的增減性求解；
根據(jù)一次函數(shù)與方程的關(guān)系求解；
根據(jù)一次函數(shù)與不等式的關(guān)系求解．
本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，及與方程，不等式的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
當(dāng)時(shí)，，得，
即直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，
故答案為：
令，可以求得直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
故答案為：
將與的值代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
此題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)中，，
隨的增大而增大，
，
．
故答案為：．
由一次函數(shù)時(shí)，隨的增大而增大可求解．
本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)的符號(hào)判定函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：如圖所示：沿過(guò)點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接，
則的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程，
，，，
由勾股定理得：．
故答案為：．
過(guò)點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)的母線剪開，展成平面，連接，則的長(zhǎng)是螞蟻在圓柱表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程，求出和的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出斜邊即可．
本題考查了平面展開最短路線問(wèn)題和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是知道求出的長(zhǎng)就是螞蟻在圓柱表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程．
 15.【答案】升 【解析】【分析】
此題這樣考查了一次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)首先正確理解題意，接著利用函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．根據(jù)圖象和已知條件可以求出每分鐘出水各多少升．
【解答】
解：根據(jù)圖象知道：每分鐘出水升；
故答案為：升  16.【答案】 【解析】解：正方形和正方形的面積分別為，，，，
，，
，
，
四邊形的面積的面積的面積



，
故答案為：．
根據(jù)正方形的面積公式可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)二次根式后合并即可．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：設(shè)這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為為常數(shù)，
將點(diǎn)代入，
得，
解得，
正比例函數(shù)的解析式為；
正比例函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位可得，
將點(diǎn)代入解析式，
得，
解得． 【解析】利用待定系數(shù)法求解析式即可；
正比例函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位得到函數(shù)解析式，將點(diǎn)代入求解即可．
本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：“上加下減”是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】正方形 【解析】解：這樣折出來(lái)的四邊形是正方形，
故答案為：正方形；
證明：在矩形中，，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，
四邊形是矩形，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，
四邊形是正方形．
根據(jù)折疊可知四邊形是正方形；
根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，可知四邊形是矩形，再根據(jù)，即可得證．
本題考查了翻折變換折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：，
，
，
，
，
；
解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
根據(jù)勾股定理，得． 【解析】根據(jù)勾股定理逆定理證明即可；
根據(jù)勾股定理求解即可．
本題考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，，
四邊形為菱形，
；
解：點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，
，
，
，
，
，
平行四邊形的周長(zhǎng)為． 【解析】根據(jù)兩對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出；
根據(jù)中位線定理得出的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出的長(zhǎng)即可得出結(jié)果．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：根據(jù)題意得，時(shí)，，
甲種水果種植面積超過(guò)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式為：；
根據(jù)題意得：，
，
隨的增大而減小，
甲種水果的種植面積超過(guò)，不超過(guò)乙種水果的種植面積的倍，
，
解得，
當(dāng)時(shí)，甲、乙兩種水果種植總費(fèi)用最少，最小值為：元，
答：甲分配種植面積，乙分配種植面積時(shí)，甲、乙兩種水果種植總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元． 【解析】根據(jù)題意直接得出結(jié)論；
根據(jù)總費(fèi)用甲、乙兩種水果種植的費(fèi)用之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)甲種水果的種植面積超過(guò)，不超過(guò)乙種水果的種植面積的倍求出自變量的取值范圍，由函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組應(yīng)用等知識(shí)，正確地掌握這些知識(shí)，是解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)．
 23.【答案】證明：四邊形是矩形，
，
，
平分，
，
，
．
解：于點(diǎn)，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
解得，
的長(zhǎng)是． 【解析】由矩形的性質(zhì)得，則，而，所以，則；
由于點(diǎn)，得，可證明≌，得，所以，而，，由勾股定理得，則，所以的長(zhǎng)是．
此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明及≌是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】或 【解析】解：點(diǎn)在一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象上，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
的值為或，
故答案為：或；
根據(jù)題意得，時(shí)，一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，
代入得：，
即；
衍生函數(shù)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
解得，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
解得，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
解得，
的坐標(biāo)分別為，
，
，
，
，
解得：；
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
將代入，
解得，
該一次函數(shù)的解析式為；
經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；
，
，
代入得，
當(dāng)時(shí)，；
過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和；
由可知：一次函數(shù)的衍生函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和，
即，
且點(diǎn)在?內(nèi)，
設(shè)衍生函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)沿軸向上平移過(guò)程中，當(dāng)衍生函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與?有三個(gè)交點(diǎn)，
將代入，
解得：，，
時(shí)，衍生函數(shù)圖象恰好與?有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，
點(diǎn)沿軸繼續(xù)向上平移，當(dāng)衍生函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與?有三個(gè)交點(diǎn)，
且時(shí)，衍生函數(shù)圖象恰好與?有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)或且時(shí)，衍生函數(shù)圖象恰好與?有兩個(gè)交點(diǎn)．
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入衍生函數(shù)求值即可；
根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出；根據(jù)衍生函數(shù)分別求出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)面積的關(guān)系求出的值，然后求出一次函數(shù)的解析式即可；
根據(jù)和的關(guān)系得出，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo)；
根據(jù)題意得出當(dāng)衍生函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與?有三個(gè)交點(diǎn)，求出此時(shí)的和的值，然后分情況討論符合條件的的取值范圍即可．
本題主要考查一次函數(shù)的綜合題型，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，
，，
矩形，
，，
，，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
四邊形為平行四邊形；
解：如圖，連接，

矩形，
，，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
≌，
，
設(shè)，
則，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，，
，，
，
矩形的面積，
，
，
，
四邊形的面積；
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

，
，
，
，
，
≌，
由可知，，
，
，
，
．
． 【解析】根據(jù)三角形的中位線定理和矩形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
如圖，連接，首先證明≌，得，證明，再利用勾股定理和三角形的面積即可解決問(wèn)題；
如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明≌，然后結(jié)合利用三角形的面積即可解決問(wèn)題．
本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．
 

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