四川省成都市蓉城名校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題1、下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(   )A.  B.C.  D.2、已知向量，，是兩兩垂直的單位向量，且，，則(   )A.-4 B.-2 C.2 D.43、已知，，則向量與的夾角為(   )A.90° B.60° C.30° D.0°4、四邊形ABCD為矩形，平面ABCD，連接AC，BD，SB，SC，SD，下列各組運(yùn)算中，不一定為零是(   )A. B. C. D.5、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，與x軸所圍成的封閉區(qū)域的面積為(   )A.2 B.3 C. D.6、函數(shù)在上的最大值為(   )A. B. C.2 D.57、曲線在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程為(   )A. B. C. D.8、如果函數(shù)的圖象如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是(   )A. B.C. D.9、已知正四面體ABCD的棱長為1，點(diǎn)E，F分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為(   )A.1 B. C. D.10、若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為(   )A. B. C. D.11、在直三棱柱中，底面是以B為直角項(xiàng)點(diǎn)，邊長為1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一點(diǎn)E使得，那么(   )A.1 B.2 C. D.12、定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集是(   )A. B. C. D.二、填空題13、若直線l一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是______．14、直線l、m的方向向量分別為、，則直線l、m的夾角為______．15、圓柱內(nèi)接于半徑為3的球，當(dāng)圓柱體積最大時(shí)其底面半徑為______．16、1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有______．三、解答題17、計(jì)算:（1）定積分的值；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．18、已知函數(shù)在處有極值．（1）求a，b的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間．19、已知曲線．（1）若，過點(diǎn)作的切線，求切線的方程；（2）當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．20、如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且，，，M，N，P，D分別為，BC，，的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求平面PMN與平面夾角的余弦值．21、某商場(chǎng)銷售某種商品，該商品每日的銷售量y（單位：件）與銷售價(jià)格x（單位：百元/件）滿足關(guān)系式，其中，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為6百元/件時(shí)，每日可售出該商品11件．（1）求a的值；（2）若該商品的成本為4百元/件，當(dāng)銷售價(jià)格x為多少百元時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大利潤．22、已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，求a的取值范圍．
參考答案1、答案：B解析：，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤故選：B2、答案： A解析：因?yàn)橄蛄?/span>，，是兩兩垂直的單位向量，，，所以，故選：A3、答案： A解析：因?yàn)?/span>，，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?/span>，所以，故向量與的夾角為，故選：A.4、答案：A解析：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A：若SC與BD垂直，又SA與BD垂直，則平面SAC與BD垂直，則AC與BD垂直，與AC與BD不一定垂直矛盾，所以SC與BD不一定垂直，即向量、不一定垂直，則向量、的數(shù)量積不一定為0；對(duì)于B：根據(jù)題意，有平面ABCD，則，又由，則有平面SAB，進(jìn)而有，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0；對(duì)于C：根據(jù)題意，有平面，則，又由，則有平面，進(jìn)而有，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0；對(duì)于D：根據(jù)題意，有平面ABCD，則，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積一定為0.故選：A．5、答案：C解析：，的函數(shù)圖象如圖記，因?yàn)?/span>所以.所以所求面積為故選：C6、答案：D解析：由題意得，令，則 ，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)遞增，故 是函數(shù)在的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；故函數(shù)在上的最大值為5，故選：D7、答案：D解析：因?yàn)?/span>，所以，所以切線的斜率，又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，即，故選：D.8、答案：A解析：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的單調(diào)性為：增—減—增—減，故導(dǎo)函數(shù)的情況為：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是選項(xiàng)A.故選：A9、答案：C解析：因?yàn)?/span>E，F分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)檎拿骟wABCD棱長都為1，所以，故故選：C．10、答案：D解析：，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，，k的取值范圍是：，故選：D．11、答案： B解析：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則,，，，則，則，因?yàn)樵诶?/span>上有唯一的一點(diǎn)E使得，所以在上有唯一的解，令，可知，故要想在上有唯一的解，只需，因?yàn)?/span>，所以解得：故選：B12、答案： B解析：為奇函數(shù)，所以考慮函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞減，，的解集等價(jià)于的解集，即的解集為.故選：B.13、答案：垂直或解析：因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，且，所以與共線，，所以直線l與平面的位置關(guān)系為垂直，故答案為：垂直或14、答案：60°解析： ，，又兩直線夾角范圍是，直線l、m的夾角為．故答案為：．15、答案：解析：設(shè)圓柱底面半徑為r，圓柱高為h，球的半徑為R，則，即，所以圓柱的體積為，，由，可得，，,，所以當(dāng)，即時(shí)，圓柱體積最大.故答案為：.16、答案： 答案：2解析：由題意可得：,故答案為：2.17、答案：（1）4（2）解析：（1）（2）18、答案： （1），    （2）單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是解析：（1），又在處有極值，．即，解得，．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)滿足題意（2）由（1）可知，，令，得或；令，得；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是．19、答案：（1）和    （2）解析：（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，設(shè)所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，則所求切線方程為．因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，解得：或-1．所以或-1．即所求的切線有兩條，方程分別是和．即和．（2），令，解得，．令，得或，在上為增函數(shù)，令，得，在上為減函數(shù)，所以的極大值為，極小值為．因?yàn)?/span>有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得：．所以a的取值范圍是20、答案：（1）證明見解析；    （2）.解析：（1）解法一：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．取向量為平面的一個(gè)法向量，，，．又，平面．解法二P，D分別為，的中點(diǎn)，，且平面，平面，平面，D，N分別為，BC的中點(diǎn)，，且平面，平面，平面，又，平面平面，又平面PDN，平面．（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．，．取向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，則．．由圖示可知平面PMN與平面的夾角為銳角，平面PMN與平面夾角的余弦值為．21、答案：（1）    （2）銷售價(jià)格為5百元或8百元時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大為42百元解析：（1）由題意得，，解得．（2）由（1）得，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得利潤為，∴，令，解得或7，列表得x，，的變化情況如下：x57＋0－0＋↗極大值↘極小值↗，，故銷售價(jià)格為5百元或8百元時(shí)商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大利潤為42百元．22、答案： （1）證明見解析    （2）解析：（1）由題意得，則，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，∴，設(shè)，在上是增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，．（2），且，令，得或a，①當(dāng)時(shí)，則，單調(diào)遞減，函數(shù)沒有極值；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在取得極大值，在取得極小值，則；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在取得極大值，在取得極小值，由得：，綜上，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值時(shí)，a的取值范圍為．
 

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