四川省2023屆高三數(shù)學(xué)三診模擬理科試題含解析

這是一份四川省2023屆高三數(shù)學(xué)三診模擬理科試題含解析，共23頁(yè)。試卷主要包含了 設(shè)全集為，集合，，則， 若，則， 已知命題， 在中，點(diǎn)滿(mǎn)足與交于點(diǎn)，若，則， 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，， 函數(shù)的圖象大致是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A中元素范圍，再求即可.
【詳解】，
又，
.
故選：C.
2. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：A
3. 已知命題：“”；命題：“函數(shù)單調(diào)遞增”，則是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不必要又不充分條件
【答案】A
【解析】
【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，以此判斷命題p與的關(guān)系即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，因，，
則，得單調(diào)遞增，有，即p是的充分條件.
當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增，有恒成立，
得，有不能推出p（a可以等于1）.即p不是的必要條件.
綜上：p是的充分不必要條件.
故選：A
4. 2月國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布中華人民共和國(guó)2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)．下圖1是2018-2022年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長(zhǎng)速度，圖2是2018-2022年三次產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比重（三次產(chǎn)業(yè)包括第一產(chǎn)業(yè)，第二產(chǎn)業(yè)，第三產(chǎn)業(yè)）．根據(jù)圖1，圖2，以下描述不正確的是（）
A. 2018-2022年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)
B. 2020年與2022年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)速度較上一年有明顯回落
C. 2018-2022年第三產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比重的極差為1.7%
D. 2020年第二產(chǎn)業(yè)增加值較2019年有所減少
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給出的圖形逐一分析判斷即可.
【詳解】依題意，
對(duì)于A：由圖1可以看出直方圖逐年增高，所以2018-2022年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)，故A正確；
對(duì)于B：由圖1可以看出折線(xiàn)在2020年與2022年時(shí)與上一年連線(xiàn)的斜率小于0，故B正確；
對(duì)于C：由圖2可以得出2018-2022年第三產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比重最大值為：54.5%，
最小值為：52.8%，所以極差，故C正確；
對(duì)于D：結(jié)合圖1圖2可知，2019年第二產(chǎn)業(yè)的增加值為：億元；
2020年第二產(chǎn)業(yè)的增加值為：億元.
因?yàn)椋?020年第二產(chǎn)業(yè)增加值較2019年有所增加，
故D錯(cuò)誤.
故選：D.
5. 在中，點(diǎn)滿(mǎn)足與交于點(diǎn)，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一，根據(jù)向量共線(xiàn)可得，再得，又，再表示出，利用向量相等解出，即可得解；法二，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出即可.
【詳解】法一: 因?yàn)樵谏?，故，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，又，故為的中點(diǎn)，
所以，所以; 同理存在，使得，
又，
所以，所以，所以，所以，所以.
故選： C.
法二: 不妨設(shè)為等腰直角三角形，其中，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
，
則直線(xiàn)的方程分別為，
聯(lián)立解得，由，
得，解得，則.
故選： C.
6. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，（），則等于（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式（），可得（），推出，（），結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以（）?br>兩式相減得，（），
由（），得，故可知，
而，所以，（），
故從第二項(xiàng)開(kāi)始，為公比為4的等比數(shù)列，
故，
故選：A
7. 函數(shù)的圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用時(shí)，值為正即可判斷作答.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，A，B不滿(mǎn)足；
當(dāng)時(shí)，即，則，而，因此，D不滿(mǎn)足，C滿(mǎn)足.
故選：C
8. 設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合條件即得.
詳解】，
由，，可得，
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：，又，
所以，即.
故選：D.
9. 已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且傾斜角為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，則（）
A. 32B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得，由韋達(dá)定理可得，再根據(jù)拋線(xiàn)的定義即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)，
所以，，
所以直線(xiàn)的方程為，
由，得，
顯然，
設(shè)
則有，
所以，
由拋物線(xiàn)定義可知.
故選：A.
10. 已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，正視圖為正方形，側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積是（）
A. ?B. ?C. ?D. ?
【答案】B
【解析】
【分析】利用三視圖作出立體圖，計(jì)算出外接球的半徑，即可得出該幾何體外接球的表面積.
【詳解】由題意及圖得，
該幾何體為圖中三棱錐,
其外接球與它所在長(zhǎng)方體外接球是同一個(gè), 設(shè)其外接球的半徑為，
則有,
∴外接球的表面積為：.
故選：B.
11. 智慧的人們?cè)谶M(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線(xiàn)，探照燈利用拋物線(xiàn)鏡面反射出平行光線(xiàn)．如圖，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)通過(guò)雙曲線(xiàn)鏡面反射，且反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．已知入射光線(xiàn)斜率為，且和反射光線(xiàn)PE互相垂直（其中P為入射點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率為（）
AB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由入射光線(xiàn)的斜率得出，進(jìn)而得出，再由雙曲線(xiàn)的定義得出雙曲線(xiàn)的離心率.
【詳解】因?yàn)槿肷涔饩€(xiàn)斜率為，所以，又，，
所以，又，
所以.
故選：D
12. 已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，再根據(jù)轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合的單調(diào)性求解即可.
【詳解】設(shè)，則.
因?yàn)?，所以，即?br>所以在上單調(diào)遞減.
不等式等價(jià)于不等式，即.
因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得
故選：A
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）
13. 已知?，則?__________．
【答案】##0.28
【解析】
【分析】求出的值，即可計(jì)算出.
詳解】由題意，，
，
解得：，
∴，
，
故答案為：.
14. 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求，再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)即可.
【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，得，即．
所以．
令，得，
所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：
15. 《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由在同一直線(xiàn)上同側(cè)的三個(gè)半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱(chēng)為鞋匠刀形.如圖所示，三個(gè)半圓的圓心分別為，，，半徑分別為，，（其中），在半圓О內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，則___________.
【答案】##
【解析】
【分析】通過(guò)計(jì)算三個(gè)半圓的面積，表示陰影部分的面積，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.
【詳解】解：陰影部分面積為：
由圖可知：，所以
則，
因?yàn)樵诎雸AО內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，
所以，
，即，則
解得：，因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
16. 如圖,在正方體中,點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng),有下列判斷:①平面平面;②平面;③異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是;④三棱錐的體積不變.其中,正確的是________(把所有正確判斷的序號(hào)都填上).
【答案】①②④
【解析】
【分析】
根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系,逐項(xiàng)判斷,即可求得答案.
【詳解】對(duì)于①,在正方體中,平面,平面,
平面平面,故①正確;
對(duì)于②,連接,如圖:
容易證明平面//平面,
又平面,
∥平面故②正確;
對(duì)于③,∥,
異面直線(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成的角,
在中,易知所求角的范圍是,故③錯(cuò)誤;
對(duì)于④,
點(diǎn)到平面的距離不變,且的面積不變,
三棱錐的體積不變,故④正確.
綜上所述,正確的是①②④.
故答案為:①②④.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行與垂直關(guān)系,異面直線(xiàn)所成的角,三棱錐的體積等知識(shí),解題關(guān)鍵是掌握正方體的特征和數(shù)形結(jié)合,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.
三、解答題：（共70分，第17-21題是必考題，每題12分，每個(gè)試題考生必須作答，第22-23題為選考題，考生根據(jù)要求作答，10分）
17. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求角；
（2）若角的平分線(xiàn)與交于點(diǎn)，，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理角化邊或利用正弦定理邊化角即可求解；
（2）在和中用兩次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解法一：由余弦定理可得，
即，整理可得，
所以，
因?yàn)椋?
解法二：由正弦定理可得，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
【小問(wèn)2詳解】
如圖所示
由題意可得是角的平分線(xiàn)，，，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
所以，由正弦定理邊角互化得，
在中由余弦定理解得，
所以，
在由余弦定理得，
解得.
18. 2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》（也稱(chēng)“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見(jiàn)》宣布：2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲?乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為，其中.
（1）若，分別求出該考生報(bào)考甲?乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率；
（2）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；
（2）該考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，報(bào)考乙大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，進(jìn)而結(jié)合二項(xiàng)分布求解，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，進(jìn)而結(jié)合題意求解.
小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)“該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過(guò)一門(mén)筆試科目”為事件，“該考生報(bào)考乙
大學(xué)恰好通過(guò)一門(mén)筆試科目”為事件，
根據(jù)題意可得，
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，報(bào)考乙大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，
根據(jù)題意可知，，所以，，
，
，
.
則隨機(jī)變量的分布列為：
，
若該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，有，
所以，又因?yàn)?，所以?br>所以，的取值范圍是.
19. 圓柱中，四邊形為過(guò)軸的截面，，，為底面圓的內(nèi)接正三角形，．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，證明三條直線(xiàn)兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量垂直的性質(zhì)即可證明，再由線(xiàn)面垂直判定定理即可證明；
（2）由（1）知是平面的一個(gè)法向量，根據(jù)求法向量的步驟求出平面的法向量，求出兩個(gè)平面法向量的夾角即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈酌鎴A的內(nèi)接正三角形，
所以既是的外心也是重心，所以為的中點(diǎn)，
因此，又，
所以，，
又底面，，底面，所以，，
所以三條直線(xiàn)兩兩垂直，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，
分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
因?yàn)樗倪呅螢檫^(guò)軸的截面，，，
所以是圓的直徑，所以，
所以，，，由此可得：
，，，，
，，，
所以，，，
所以，
所以，即，
又，平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，平面，
所以是平面的一個(gè)法向量，，，
設(shè)平面的法向量為，則有：
即，
令，則有：，
所以平面的一個(gè)法向量可以是：，
所以，
設(shè)平面與平面所成角為，則與相等或者互補(bǔ)，
因?yàn)?，所?br>所以.
20. 如圖，已知橢圓C：（）的上頂點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)A作圓（圓在橢圓C內(nèi)）的兩條切線(xiàn)分別與橢圓C相交于B，D兩點(diǎn)(B，D不同于點(diǎn)A)，當(dāng)r變化時(shí)，試問(wèn)直線(xiàn)BD是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)和離心率建立方程組求解橢圓方程；
（2）圓M過(guò)A的切線(xiàn)方程可設(shè)為l：，代入橢圓，解出B，D坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切結(jié)合韋達(dá)定理得斜率的關(guān)系，表示出直線(xiàn)BD的方程即可求得過(guò)定點(diǎn).
【詳解】解：（1）依題意可得：）
（2）圓M過(guò)A的切線(xiàn)方程可設(shè)為l：，代入橢圓C的方程得：
，
可得；同理可得
由圓M與l相切得：
由韋達(dá)定理得：
所以直線(xiàn)BD的斜率……
直線(xiàn)BD的方程為：
化簡(jiǎn)為：，即
所以，當(dāng)變化時(shí)，直線(xiàn)BD總過(guò)定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓的方程，根據(jù)直線(xiàn)與橢圓，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系討論直線(xiàn)的定點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化計(jì)算求解.
21. 已知函數(shù)．
（1）若單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1），因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，即，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；
（2）由題意可知，且，要證明，只需證明．由得，所以．令，，則需證明．令，則，令，可求得，從而在時(shí)單調(diào)遞減，所以，原不等式即可得證．
【小問(wèn)1詳解】
由得，
因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，
即，令，則，
可知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，
則時(shí)取最大值，所以，
所以，的取值范圍是．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不合題意；
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不合題意，
可知，且，
要證明，只需證明．
由得則，
所以，.
令，則，要證明，需證明．
令，且，則，
令，且，則，
則在時(shí)單調(diào)遞增，故，
故，則在時(shí)單調(diào)遞減，
所以，，即，則有，
所以，即原不等式成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．
22. 在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標(biāo)方程為．
（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓與直線(xiàn)交于點(diǎn)，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（2）把直線(xiàn)參數(shù)方程代入圓的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義求解：即，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算（可先判斷的符號(hào)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值）．
【詳解】（1）由題意得圓的直角坐標(biāo)方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，
將，代入整理，
得，則，
又點(diǎn)在直線(xiàn)上，
所以．
23. 已知、為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)．
（1）當(dāng)，時(shí)，解不等式；
（2）若函數(shù)的最小值為，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)，時(shí)，可得出，分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集；
（2）利用絕對(duì)值三角不等式可得出，再利用柯西不等式可求得的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)，時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)原不等式無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)．
綜上，不等式的解集為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由，
因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
．
所以，，即，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，
綜上，的最大值為．
0
1
2
3