2023屆江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A．（－2,3） B．（－2,2） C．（－1,2） D．（0,3）【答案】C【分析】先解一元二次不等式及對數(shù)不等式求解集合，再利用交集的定義求解結(jié)果.【詳解】由得：，即；由得，即，則；∴.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)運(yùn)算得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，則，所以.故選：B.3．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,則公差A． B． C．1 D．-1【答案】D【分析】由題得到的方程組，解方程組即得d的值.【詳解】由題得故答案為D【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（    ）A．－ B．2 C．5 D．8【答案】C【分析】作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，平移目標(biāo)函數(shù)即可求解.【詳解】畫出可行域如圖所示，由解得，設(shè)A(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)在y軸上的截距最大，所以在點(diǎn)A(1,2)處取得最大值最大值為.故選：C.5．設(shè)，則“”是“為奇函數(shù)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得，即可求得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】若為奇函數(shù)，則，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，“”是“為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A．6．雙曲線的離心率最小時(shí)，雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出，然后利用基本不等式研究最值及等號(hào)成立的條件即可求出m的值進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題，，∴，設(shè)離心率為，則，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”.此時(shí)雙曲線方程是，漸近線方程是.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率、漸近線的概念及基本不等式的應(yīng)用，屬中等難度題.7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和兩角差的公式得到，利用平移變換得到，再根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值求解.【詳解】由，化簡得，所以．又是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值，所以，解得．因?yàn)?/span>，所以．故選：A．8．設(shè)函數(shù)，在區(qū)間隨機(jī)抽取兩個(gè)實(shí)數(shù)分別記為，則恒成立的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡得到，得到，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為成立，得到，利用面積比的幾何概型，即可求解.【詳解】由函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”，所以，又由恒成立就轉(zhuǎn)化為成立，因?yàn)槿?/span>，所以等價(jià)于，如圖所示，由面積比幾何概型，其概率為.故選：D.9．如圖，一個(gè)棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案.【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少的臨界情況為，水面為面，水最多的臨界情況為多面體，水面為，因?yàn)?/span>，，所以，即.故選：A.10．已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，則（    ）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】先求出拋物線的方程，得到焦點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)直線：，用點(diǎn)差法表示出的中點(diǎn)為，利用半徑相等得到：,解出k，即可求出.【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，得，所以拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為.因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為.因?yàn)?/span>，所以在以為直徑的圓上.設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，兩式相減可得，設(shè)的中點(diǎn)為，則.因?yàn)辄c(diǎn)在直線l上，所以，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心.由拋物線的定義知，圓的半徑，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以弦長.故選：C.【點(diǎn)睛】處理直線與二次曲線相交的問題：（1）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決大部分直線與二次曲線相交的問題；（2）“中點(diǎn)弦”問題通常用“點(diǎn)差法”處理.11．若，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及最值，得出，即，再進(jìn)一步計(jì)算和放縮得到結(jié)果.【詳解】令，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即.令，則，則，即，所以.由，得，所以，綜上.故選：.12．伯努利雙紐線（簡稱雙紐線）是瑞土數(shù)學(xué)家伯努利（1654~1705）在1694年提出的.伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積的點(diǎn)的軌跡是雙紐線；曲線的形狀類似打橫的阿拉伯?dāng)?shù)字8，或者無窮大的符號(hào).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)的距離之積為的點(diǎn)的軌跡C就是伯努利雙紐線，若點(diǎn)是軌跡C上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；②；③直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)；④曲線C上不存在點(diǎn)P，使得.A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)題意求得曲線的方程為，結(jié)合對稱性的判定方法，聯(lián)立方程組，以及特殊點(diǎn)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)到定點(diǎn)的距離之積為，可得，整理得，即曲線的方程為，圖象如圖所示，在曲線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，則點(diǎn)滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以①.由原點(diǎn)滿足曲線的方程，即原點(diǎn)在曲線上，則，即曲線上存在點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，滿足，所以④錯(cuò)誤；令，解得或，可得，所以②錯(cuò)誤； 聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以③正確.故選：B. 二、填空題13．已知向量的夾角為，且，則_________.【答案】【解析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算法則直接計(jì)算即可【詳解】依題有.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)量積的計(jì)算，較簡單.14．已知函數(shù)則當(dāng)時(shí)，的展開式中的系數(shù)為_________．【答案】270【分析】由分段函數(shù)解析式可得，應(yīng)用二項(xiàng)式定理求出的系數(shù)即可.【詳解】時(shí)，，，展開式第項(xiàng)，故時(shí)，，∴的系數(shù)270．故答案為：27015．某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是2，且，，則__________．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而依次求解出.【詳解】的第項(xiàng)為，故，即因?yàn)?/span>，，所以，，.故答案為：16．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)E，F分別是棱，AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為___.【答案】10π【分析】把平面沿展開到與平面共面的的位置，確定當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，的長度最小，求出此時(shí)的線段的長度，的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即可得外接球的球心與半徑，由球的表面積公式求解即可．【詳解】把平面沿展開到與平面共面的的位置，延長到，使得，連結(jié)，如圖1所示，則，要使得的長度最小，則需，，，四點(diǎn)共線，此時(shí)，因?yàn)?/span>，，，所以，所以，，故，，所以，，，，所以的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓如圖2，連接，由于，所以，又所以，所以的外接圓是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓所以三棱錐外接球的球心為，半徑為，故外接球的表面積為．故答案為：． 三、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，.(1)求cosC；(2)若，，求b.【答案】(1)(2)3 【分析】（1）由余弦定理及面積公式可求得；（2）由正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和正弦公式變形可求得，然后由正弦定理求得邊b．【詳解】（1）由已知，由余弦定理，得， 得，所以，所以.（2）由正弦定理得，則，又所以，又，所以，即又，所以，由，得， 所以，由正弦定理：.18．如圖，四棱錐中，除EC以外的其余各棱長均為2(1)證明：平面平面；(2)若平面ADE⊥平面ABE，求直線DE與平面BCE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而，由四邊形是菱形，得，從而平面，由面面垂直的判定定理即可證明；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：由已知四邊形ABCD為菱形，所以，設(shè)AE的中點(diǎn)為O，連結(jié)OB，OD，因?yàn)?/span>，所以，平面OBD，所以AE⊥平面OBD， 又BD平面OBD，所以，又，平面ACE，所以BD⊥平面ACE，又BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACE；（2）因?yàn)槠矫?/span>ADE⊥平面ABE，平面ADE∩平面，，所以DO⊥平面ABE，且， 以O為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，， 所以，設(shè)直線DE與平面BCE所成角為，平面BCE的法向量，則，取，得，則為所求.19．文具盒里裝有7支規(guī)格一致的圓珠筆，其中4支黑筆，3支紅筆.某學(xué)校甲、乙、丙三位教師共需取出3支紅筆批閱試卷，每次從文具盒中隨機(jī)取出一支筆，若取出的是紅筆，則不放回；若取出的是黑筆，則放回文具盒，繼續(xù)抽取，直至將3支紅筆全部抽出.(1)在第2次取出黑筆的前提下，求第1次取出紅筆的概率；(2)抽取3次后，記取出紅筆的數(shù)量為，求隨機(jī)變量的分布列；(3)因?qū)W校臨時(shí)工作安排，甲教師不再參與閱卷，記恰好在第n次抽取中抽出第2支紅筆的概率為，求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)分布列見解析(3) 【分析】（1）記事件A：第1次取出紅筆；事件B：第2次取出黑筆，分別求得，，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意得到隨機(jī)變量可能取值為，求得相應(yīng)的概率，進(jìn)而得出隨機(jī)變量分布列；（3）由前n－1次取了1次紅筆，第n次取紅筆，得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，記事件A：第1次取出紅筆；事件B：第2次取出黑筆，則，所以在第2次取出黑筆的前提下，第1次取出紅筆的概率為.（2）解：由題意，隨機(jī)變量可能取值為，可得，，，，所以隨機(jī)變量分布列為：0123（3）解：由題意知：前n－1次取了1次紅筆，第n次取紅筆，則.20．設(shè)為橢圓E：上的三點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，.(1)求橢圓E的方程；(2)若點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為D，且，證明：四邊形ABCD的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法表示，進(jìn)一步計(jì)算得出結(jié)果；（2）由對稱性，四邊形ABCD為平行四邊形，所以，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，表示四邊形ABCD的面積并證明定值.【詳解】（1）設(shè)，，，則，兩式相減，得，則，即，又因?yàn)?/span>，所以，所以橢圓E的方程為.（2）由對稱性，四邊形為平行四邊形，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，則，且， 由得，則，即整理得，即..原點(diǎn)到直線的距離，所以為定值.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若存在最小值m，且，求a的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）分、、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，求出在上的最大值，可得出關(guān)于的等式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，解之即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以曲線在處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在遞增，無最小值，不符題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，且所以，有，此時(shí)f（x）在遞增，在遞減，f（x）無最小值，不符題意； 當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，令得，所以在遞減，在遞增，. （i）若，則，即，在遞增，即在遞增.又，所以有，即，且f（x）在遞減，在遞增，此時(shí)，設(shè)，則，所以在遞增.由于，此時(shí)，不成立；（ii）當(dāng)時(shí)，由上分析易知：f（x）在遞減，在遞增，，此時(shí)符合題意； （iii） 當(dāng)時(shí)，由于，，所以存在有.所以在遞增，在遞減，在遞增.又因?yàn)?/span>，設(shè)，求導(dǎo)易知.由于，故存在，有.則在遞減，在遞增.此時(shí)，由于，此時(shí)成立.綜上，a的取值范圍是（0，1].【點(diǎn)睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)是．（1）求直線的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)到直線的距離；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由消去，得到，再利用，求得極坐標(biāo)方程.然后利用直線的極坐標(biāo)方程求點(diǎn)到直線的距離.（2）由曲線的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得到，再將韋達(dá)定理代入，求得，再由求解.【詳解】（1）由消去，得到，則，∴，，所以直線的極坐標(biāo)方程為．所以點(diǎn)到直線的距離為．（2）由，得，所以，，所以，所以的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離以及三角形的面積，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.23．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，且對任意恒成立，求m的最小值.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）通過討論的范圍，得到各個(gè)區(qū)間上的的范圍，取并集即可；（2）恒成立等價(jià)于恒成立，根據(jù)絕對值的意義將函數(shù)表示成分段函數(shù)進(jìn)而求得，再解關(guān)于的不等式即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，原不等式等價(jià)于或或，解得：或無解或，所以的解集為.（2）∵.則所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在[－，]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以. 因?yàn)閷θ我?/span>恒成立，所以.又因?yàn)?/span>，所以，解得（不合題意）.所以m的最小值為1. 

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