? 高三理數(shù)第二次聯(lián)考試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為 ．假設(shè) ，那么 〔??? 〕
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
3.為虛數(shù)單位， ， ，那么 〔??? 〕
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4. 是兩條不同的直線， ， 是兩個(gè)不同的平面，且 ， ，那么“ 〞是“ 〞的〔??? 〕
A.?充要條件?????????????B.?充分不必要條件?????????????C.?必要不充分條件?????????????D.?既不充分也不必要條件
5.設(shè) ， 是兩個(gè)不共線的平面向量，假設(shè) ， ，且 與 共線，那么實(shí)數(shù) 的值為〔??? 〕
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.設(shè) ， ， ，那么〔??? 〕
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
7.在 的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，那么展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為〔??? 〕
A.?15????????????????????????????????????????B.?-15????????????????????????????????????????C.?20????????????????????????????????????????D.?-20
8.如以下圖的程序框圖，假設(shè)輸入正整數(shù) ，那么輸出的結(jié)果 〔??? 〕

A.?13?????????????????????????????????????????B.?25?????????????????????????????????????????C.?46?????????????????????????????????????????D.?84
9.雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為 ， ，過(guò)點(diǎn) 作斜率為 的直線 交雙曲線右支于點(diǎn) ，假設(shè)線段 的長(zhǎng)度正好等于雙曲線的焦距，那么該雙曲線的離心率為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
10.“一三五七八十臘，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月會(huì)變化.〞月是歷法中的一種時(shí)間單位，傳統(tǒng)上都是以月相變化的周期作為一個(gè)月的長(zhǎng)度．在舊石器時(shí)代的早期，人類就已經(jīng)會(huì)依據(jù)月相來(lái)計(jì)算日子．而星期的概念起源于巴比倫，羅馬皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天為一周，這個(gè)制度一直沿用至今．假設(shè)某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一樣多，那么該月3日可能是星期〔??? 〕
A.?一或三????????????????????????????????B.?二或三????????????????????????????????C.?二或五????????????????????????????????D.?四或六
11.函數(shù) ，那么 在 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔??? 〕
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
12.在四面體 中， ， ， ．那么四面體 的外接球的外表積為〔??? 〕
A.?84π????????????????????????????????????B.?96π????????????????????????????????????C.?100π????????????????????????????????????D.?112π
二、填空題
13.假設(shè) ， 滿足約束條件 ，那么 的最大值為_(kāi)_______．
14.正項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，假設(shè) ， ，那么 ________．
15.函數(shù) ，假設(shè) 在 上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，那么 的取值范圍為_(kāi)_______．
16.拋物線 ，斜率小于0的直線 交拋物線于 、 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作與 軸垂直的直線 ，交拋物線于點(diǎn) ，假設(shè)點(diǎn) 滿足 ，那么直線 的斜率的最大值為_(kāi)_______．
三、解答題
17. 的三個(gè)內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，滿足 ．
〔1〕求 ；
〔2〕假設(shè) ， ，角 的角平分線交邊 于點(diǎn) ，求 的長(zhǎng)．
18.如圖①，在 中， ， ， ， 為 上一點(diǎn)， ．現(xiàn)將 沿 翻折至圖②所示，使得平面 平面 ．

〔1〕假設(shè)點(diǎn) 在 上，滿足 ．求證： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19.2021年中國(guó)共產(chǎn)黨迎來(lái)了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某校組織了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有200名同學(xué)參賽．為了解競(jìng)賽成績(jī)的分布情況，將200名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)按 、 、 、 、 、 、 分成7組，繪制成了如以下圖的頻率分布直方圖．

〔1〕求這200名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)及競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)人數(shù)；
〔2〕現(xiàn)從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中，采用分層抽樣的方法抽取9人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的同學(xué)人數(shù)為 ，求 ；
〔3〕學(xué)校決定對(duì)競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中以抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，其中競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)時(shí)機(jī)，低于90分不低于80分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)時(shí)機(jī)，獎(jiǎng)品為黨史書(shū)籍，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品數(shù)量〔單位：本〕及對(duì)應(yīng)的概率如下表：現(xiàn)在從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎(jiǎng)書(shū)籍的數(shù)量為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
獎(jiǎng)品數(shù)量〔單位：本〕
2
4
概率


20.設(shè)橢圓 ： ， 為原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為 、 ，點(diǎn) ，橢圓 的離心率為 ，且 ．
〔1〕求橢圓 的方程；
〔2〕不與 軸平行的直線 與橢圓 交于不同點(diǎn) 、 ，點(diǎn) 關(guān)于 軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) ，點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) ，且 、 、 三點(diǎn)共線，求證：直線 過(guò)定點(diǎn)．
21.設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線為 ．
〔1〕求 ， 的值，并證明： ；
〔2〕假設(shè) ， ，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
22.在平面直角坐標(biāo)系 中，曲線 的參數(shù)方程為 〔 為參數(shù)〕．以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 的極坐標(biāo)方程為 ．
〔1〕求曲線 的普通方程和 的直角坐標(biāo)方程；
〔2〕設(shè) ，直線 交曲線 于 ， 兩點(diǎn)，求 的值．
23.函數(shù) ，函數(shù) ， ．
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕假設(shè)函數(shù) 的最小值為-1，且正實(shí)數(shù) ， 滿足 ，求 的最大值．

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】解： ， ，所以 ．
故答案為：B．
【分析】先分別求出集合M，N，再求出，由此能求出 。
2.【解析】【解答】由題意得 ， ， ，可得 ，解得 .
故答案為：C．

【分析】由題意得 ， 可得，可求出q。
3.【解析】【解答】解： ．
故答案為：A．

【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案。
4.【解析】【解答】解：假設(shè) ，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得 ，反之不一定成立．
所以“ 〞是“ 〞的充分不必要條件，
故答案為：B．

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷即可。
5.【解析】【解答】由 與 共線，即 ，
所以有 = ，
所以 ，消去
可得 ，那么 ．
故答案為：C．

【分析】由 與 共線，即 ，可得= ，解方程即可求出實(shí)數(shù)??的值。
6.【解析】【解答】解： ， ，所以 ，
故 ， ．
故答案為：A．

【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出。
7.【解析】【解答】由展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為0, 令 ,可得 ，解得
所以
那么 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為
當(dāng) 時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 ．
故答案為：D．

【分析】由展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為0, 令 ,可得 ， 然后求出通項(xiàng)公式，結(jié)合常數(shù)項(xiàng)的條件進(jìn)行求解即可。
8.【解析】【解答】模擬運(yùn)行程序框圖：由 ，輸入n=5，得
， ，不滿足 ；
， ，不滿足 ；
， ，不滿足 ；
， ，不滿足 ；
， ，滿足 ．
即輸出 為46.
故答案為：C．

【分析】討論k從1開(kāi)始取，分別求出p的值，直到滿足 即可得出答案。
9.【解析】【解答】解： ，所以 為銳角，那么
，那么
線段 的長(zhǎng)度正好等于雙曲線的焦距，即 ，
由雙曲線的定義可得 ，所以
，化簡(jiǎn)可得
即 ，解得 ．

故答案為：D．

【分析】由題意知，?，， 由余弦定理求得， 再由雙曲線的定義和e，即可得解。
10.【解析】【解答】解：設(shè)這個(gè)月有31天或30天，
因?yàn)?，所以這個(gè)月最多可能有4個(gè)完整的周，
假設(shè)設(shè)該月3號(hào)為星期二，那么該月1號(hào)為星期天，2號(hào)為星期一，所以從2 號(hào)開(kāi)始到該月29號(hào)，一共28天，為4個(gè)完整的周，
所以這時(shí)，2號(hào)到29號(hào)中星期一有4天，星期二有4天，星期三有4天，星期天有4天，
假設(shè)該月有31 天，那么該月30號(hào)為星期一，31號(hào)為星期二，
所以該月1號(hào)到30號(hào)，共有5天星期一，4天星期三，5天星期二，5天星期天，
所以該月3號(hào)可能為星期三，故排除CD，
設(shè)該月3號(hào)為星期三，那么1號(hào)為星期一，那么該月1號(hào)到28號(hào)共28天為4個(gè)完整的周，其中含有4個(gè)星期一、星期二、星期三、星期天，即該月29號(hào)為星期一，30號(hào)為星期二，
所以當(dāng)該月有29天時(shí)，且該月3號(hào)為星期三時(shí)，一共有5個(gè)星期一，4個(gè)星期三，4個(gè)星期二和4個(gè)星期天，符合題意，故該月3號(hào)可能為星期二，所以排除A，
故答案為：B

【分析】利用排除法分析求解，即可得出答案。
11.【解析】【解答】由題意，當(dāng) 時(shí)，作出函數(shù) 與 的圖像.

由圖可知，函數(shù) 與 在 和 內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)，
所以 在 上有2個(gè)零點(diǎn).
由當(dāng) 時(shí)， ，由函數(shù)周期性的性質(zhì)可得
當(dāng) 時(shí)， 上有2個(gè)零點(diǎn),
當(dāng) 時(shí)， 上有2個(gè)零點(diǎn),
當(dāng) 時(shí)， 上有1個(gè)零點(diǎn),
所以 在 上有7零點(diǎn)個(gè)數(shù)
故答案為：B．

【分析】作出函數(shù) 與 的圖像，根據(jù)函數(shù)的周期性以及圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
12.【解析】【解答】解：如圖，取 的中點(diǎn) ，分別延長(zhǎng) 、 至 、 ，使得 ， ．分別過(guò) 、 作平面 、平面 的垂線，交于點(diǎn) ，

那么 為該四面體的外接球球心．可求得 ， ，故可得 ，那么外接球半徑 ，所以該四面體的外接球的外表積為 ．
故答案為：D．

【分析】，取 的中點(diǎn) ，分別延長(zhǎng) 、 至 、 ，使得 ， ．分別過(guò) 、 作平面 、平面 的垂線，交于點(diǎn) ，并計(jì)算出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)作為外接球的直徑，再利用球體外表積公式可得出答案。
二、填空題
13.【解析】【解答】解： ， 滿足約束條件表示的可行域如以下圖，

由 ，得 ，作出直線 ，向上平移過(guò)點(diǎn) 時(shí)，目標(biāo)函數(shù) 取得最大值，
由 ，得 ，即 ，
所以 的最大值為
故答案為： ．

【分析】先畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，求出A的坐標(biāo)，結(jié)合圖像求出最的最大值即可。
14.【解析】【解答】解：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，相減得 ，即 ， 時(shí)也滿足．
故 是首項(xiàng)為2公差d=1的等差數(shù)列，所以 ， ，那么 ．
故答案為： ．

【分析】先利用求通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)相消法求和。
15.【解析】【解答】 ，
令 ，解得
所以 的極值點(diǎn)為
當(dāng) 時(shí)，由 ，那么 ，不滿足條件.
所以當(dāng) 時(shí)， 在 軸右側(cè)第一個(gè)極值點(diǎn)為
當(dāng) 時(shí)， 在 軸右側(cè)第二個(gè)極值點(diǎn)為
當(dāng) 時(shí)， 在 軸右側(cè)第三個(gè)極值點(diǎn)為
要使得 在 上恰有2個(gè)極值點(diǎn)，那么 ， ，
所以 ，即 ．
故答案為： ．

【分析】先將函數(shù) 化簡(jiǎn)為，然后求出的極值點(diǎn)的一般表達(dá)式，根據(jù)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，得出不等式，解出答案。
16.【解析】【解答】解：設(shè) ： ，代入
得 ，
由韋達(dá)定理知： ， ，
由 知， ， ， ， ，
.
當(dāng)且僅當(dāng)“ 〞即 時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為： .

【分析】設(shè) ： ，代入 ， 得 ，由韋達(dá)定理知： ， ， ， 由 知， ， ， ， ，即可得出， 根據(jù)根本不等式即可求出直線??的斜率的最大值 ?.
三、解答題
17.【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理將邊化為角，即可化簡(jiǎn)得出答案；
〔2〕利用角A的余弦定理求出邊b，根據(jù)BD為角B的平分線可求出 ,再在 中利用一個(gè)正弦定理即可求出答案。
?
18.【解析】【分析】〔1〕 在平面??內(nèi)作??，垂足為點(diǎn)?，利用面面垂直的性質(zhì)定理得出 ?平面?，可得 ， 再由 結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
〔2〕 以點(diǎn)??為坐標(biāo)原點(diǎn)，??、??所在直線分別為??、??軸建立如以下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 利用空間向量法可求得二面角??的余弦值。
19.【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖首先判斷中位數(shù)位于之間，再列出方程求出中位數(shù)，求出成績(jī)不低于80分的頻率，即可計(jì)算出人數(shù)；
(2)由題意可知，抽取的9人中，競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)為3，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；
(3)設(shè)這名同學(xué)獲得書(shū)籍的數(shù)量為，那么的可能取值為2，4，6，8．求出所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可。
20.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)橢圓C的離心率和 ? ，求出b,a，進(jìn)而得到橢圓的方程；
〔2〕設(shè)直線 ?：??，聯(lián)立方程 ?，并根據(jù) ??、??、?三點(diǎn)共線，從而求出直線過(guò)定點(diǎn)。
?
21.【解析】【分析】〔1〕 由??，得?， 由切線方程可知?， 解得?，令??，那么??，令??，求導(dǎo)得??，可得 ?， ?的單調(diào)性，即可證得 ；
〔2〕先求導(dǎo)再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)恒成立的問(wèn)題即可求出實(shí)數(shù)??的取值范圍 。
?
22.【解析】【分析】〔1〕直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系式把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程；
〔2〕先寫(xiě)出直線的參數(shù)方程，利用直線和曲線的位置關(guān)系，及根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出 ?的值 。
23.【解析】【分析】〔1〕 不等式??可化為??， 分 ?， ?， ?三種情況求出每個(gè)不等式的解集，再取并集即可；
〔2〕 當(dāng)??時(shí)，?不滿足條件?當(dāng)??時(shí)，?,求出 ?的最小值為?? ，即可求出a， 當(dāng)??時(shí)，?? ,求出 ?的最小值為 ? ，即可求出a，由 ，即可求出 ?的最大值 。

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