?2022-2023學(xué)年湛江市霞山區(qū)啟明學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）下列四個實數(shù)中，最大的數(shù)是（　?。?br /> A． B．0 C．﹣4 D．π
2．（3分）黨的十八大以來，以習(xí)近平同志為核心的黨中央重視技能人才的培育與發(fā)展．據(jù)報道，截至2021年底，我國高技能人才超過65000000人，將數(shù)據(jù)65000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．6.5×106 B．65×106 C．0.65×108 D．6.5×107
3．（3分）下列圖形是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
4．（3分）下列計算正確的是（　　）
A．3x2﹣x2＝3 B．﹣3a2﹣2a2＝﹣a2
C．3（a﹣1）＝3a﹣1 D．﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2
5．（3分）一組數(shù)據(jù)x、0、1、﹣2、3的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　?。?br /> A．0 B．1 C．2.5 D．3
6．（3分）把二次函數(shù)y＝x2+2x﹣4配方成頂點式為（　?。?br /> A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
7．（3分）已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，則AC的值是（　?。?br />
A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6
8．（3分）如圖是用紙板制作了一個圓錐模型，它的底面半徑為1，高為，則這個圓錐的側(cè)面積是（　?。?br />
A．4π B．3π C．π D．2π
9．（3分）如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＞0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1沒有實數(shù)根．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE，下列結(jié)論：①AQ⊥DP；②OA2＝OE?OP；③S△AOD＝S四邊形OECF；④當(dāng)BP＝1時，tan∠OAE＝，其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二．填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）
11．（4分）計算：cos245°﹣tan60°?cos30°＝　 　．
12．（4分）已知，則＝　 　．
13．（4分）將二次函數(shù)y＝2（x+2）2﹣3的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，得到的新圖象函數(shù)的表達式為 　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，在△ABC中，M、N分別為AC，BC的中點．若S△CMN＝1，則S四邊形ABNM＝　 ?。?br />
15．（4分）如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，使點B′落在射線AC上，則cos∠B′CB的值為　 ?。?br />
16．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 　 ?。?br /> 17．（4分）如圖，菱形OABC的一OA在x軸的正半軸上，O是坐標(biāo)原點，tan∠AOC＝，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，與AB交于點D，則△COD的面積為　 ?。?br />
三．解答題（共8小題，滿分62分）
18．（6分）計算：|﹣2|+tan60°﹣（）﹣1﹣（+2023）0．
19．（6分）先化簡再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
20．（6分）為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校組織了一次八年級350名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽，賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分．為了更好地了解本次大賽的成績分布情況，隨機抽取了其中若干名學(xué)生的成績作為樣本進行整理，得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：
成績x/分
頻數(shù)
頻率
50≤x＜60
2
0.04
60≤x＜70
6
0.12
70≤x＜80
9
b
80≤x＜90
a
0.36
90≤x≤100
15
0.30
請根據(jù)所給信息，解答下列問題：
（1）a＝　 　，b＝　 ?。?br /> （2）請補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）這次比賽成績的中位數(shù)會落在　 　分數(shù)段；
（4）若成績在90分以上（包括90分）的為“優(yōu)”等，則該年級參加這次比賽的350名學(xué)生中成績“優(yōu)”等的約有多少人？

21．（8分）某中學(xué)開學(xué)初在商場購進A，B兩種品牌的足球，購買A品牌足球花費了2500元，購買B品牌足球花費了2000元，且購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍．已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元．
（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元？
（2）該中學(xué)響應(yīng)習(xí)總書記“足球進校園”的號召，決定再次購進A、B兩種品牌足球共50個，恰逢商場對兩種品牌足球的售價進行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌足球按第一次購買時售價的九折出售．如果該中學(xué)此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元，那么該中學(xué)此次最多可購買多少個B品牌足球？
22．（8分）某地震救援隊探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探測點A，B相距3米，探測線與地面的夾角分別是30°和60°（如圖），試確定生命所在點C的深度．（結(jié)果保留根號）

23．（8分）直線y＝x+b與x軸交于點C（4，0），與y軸交于點B，并與雙曲線（x＜0）交于點A（﹣1，n）．
（1）求直線與雙曲線的解析式．
（2）連接OA，求∠OAB的正弦值．
（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在求出D點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D．
（1）動手操作：利用尺規(guī)作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A、D，且圓心O在AB上；并標(biāo)出⊙O與AB的另一個交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圖中，
①判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
②若AB＝6，BD＝2，求線段BD、BE與劣弧所圍成的圖形面積（結(jié)果保留根號和π）．

25．（10分）已知，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，點P是拋物線上一點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點P位于第四象限時，連接AC，BC，PC，若∠PCB＝∠ACO，求直線PC的解析式；
（3）如圖2，當(dāng)點P位于第二象限時，過P點作直線AP，BP分別交y軸于E，F(xiàn)兩點，請問的值是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．


2022-2023學(xué)年湛江市霞山區(qū)啟明學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1． 解：∵﹣4＜0＜＜π，
∴最大的數(shù)是π，
故選：D．
2． 解：65000000＝6.5×107．
故選：D．
3． 解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：C．
4． 解：A、原式＝2x2，不符合題意；
B、原式＝﹣5a2，不符合題意；
C、原式＝3a﹣3，不符合題意；
D、原式＝﹣2x﹣2，符合題意，
故選：D．
5． 解：∵數(shù)據(jù)x、0、1、﹣2、3的平均數(shù)是1，
∴＝1，
解得x＝3，
所以這組數(shù)據(jù)為﹣2、0、1、3、3，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1，
故選：B．
6． 解：y＝x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣4﹣1＝（x+1）2﹣5．
故選：B．
7． 解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝5，DB＝7，AE＝4．
∴，
CE＝，
∴AC＝AE+EC＝4+＝9.6．
故選：B．
8． 解：錐的母線長＝＝3，
所以這個圓錐的側(cè)面積＝?2π?1?3＝3π．
故選：B．
9． 解：∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，而拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣2，0）和（﹣1，0）之間．
∴當(dāng)x＝﹣1時，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∵a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0，所以③正確；
∵拋物線與直線y＝n有一個公共點，
∴由圖象可得，拋物線與直線y＝n﹣1有兩個公共點，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個實數(shù)根，所以④錯誤．
故選：C．
10． 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP與△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故①正確；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD?OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE?OP；故②錯誤；
在△CQF與△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF與△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四邊形OECF；故③正確；
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴，
∴QO＝，OE＝，
∴AO＝5﹣QO＝，
∴tan∠OAE＝，故④錯誤，
故選：A．
二．填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）
11． 解：原式＝（）2﹣×
＝﹣
＝﹣1．
故答案為：﹣1．
12． 解：∵，
∴設(shè)a＝3k，b＝5k，
∴＝＝＝4，
故答案為：4．
13． 解：由“左加右減，上加下減”知：將拋物線y＝2（x+2）2﹣3的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位則新的拋物線函數(shù)解析式為y＝2（x+2+1）2﹣3+1，即y＝2（x+3）2﹣2．
故答案為：y＝2（x+3）2﹣2．
14． 解：∵M，N分別是邊AC，BC的中點，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AB，且MN＝AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴S四邊形ABNM＝3S△CMN＝3×1＝3．
故答案為：3．
15． 解：如圖所示：連接BD，BB′，
由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC＝，CD＝，BD＝2，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，
則BD⊥B′C，
∴cos∠B′CB＝＝＝，
故答案為．

16． 解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
∴且k≠0．
故答案為：且k≠0．
17． 解：作DF∥AO交OC于F，CE⊥AO于E，
∵tan∠AOC＝，
∴設(shè)CE＝4x，OE＝3x，
∴3x?4x＝24，x＝±，
∴OE＝3，CE＝4，
由勾股定理得：OC＝5，
∴S菱形OABC＝OA?CE＝5×4＝40，
∵四邊形OABC為菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DF∥AO，
∴S△ADO＝S△DFO，
同理S△BCD＝S△CDF，
∵S菱形ABCO＝S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，
∴S菱形ABCO＝2（S△DFO+S△CDF）＝2S△CDO＝40，
∴S△CDO＝20；
故答案為：20．

三．解答題（共8小題，滿分62分）
18． 解：|﹣2|+tan60°﹣（）﹣1﹣（+2023）0
＝2+×﹣2﹣1
＝2+3﹣2﹣1
＝2．
19． 解：當(dāng)x＝3時，
原式＝?
＝
＝4
20． 解：（1）抽取的總?cè)藬?shù)是2÷0.04＝50（人），
a＝50×0.36＝18，b＝＝0.18；
故答案是：18，0.18；
（2）
；
（3）中位數(shù)會落80≤x＜90段，故答案是：80≤x＜90；
（4）該年級參加這次比賽的350名學(xué)生中成績“優(yōu)”等的人數(shù)約是：350×0.30＝105（人）．
答：約有105人．
21． 解：（1）設(shè)一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需（x+30）元，由題意得：
＝×2，
解得：x＝50，
經(jīng)檢驗x＝50是原方程的解，
x+30＝80，
答：一個A品牌的足球需50元，則一個B品牌的足球需80元．
（2）設(shè)此次可購買a個B品牌足球，則購進A牌足球（50﹣a）個，由題意得，
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260，
解得a≤31，
∵a是整數(shù)，
∴a最大等于31，
答：該中學(xué)此次最多可購買31個B品牌足球．
22． 解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB的延長線于D點．
∵探測線與地面的夾角為30°和60°，
∴∠CAD＝30°∠CBD＝60°，
根據(jù)三角形的外角定理，得∠BCA＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
即∠BCA＝∠CAD＝30°，
∴BC＝AB＝3米，
在Rt△BDC中，CD＝BC?sin60°＝3×＝米．
答：生命所在點C的深度約為米．

23． 解：（1）∵直線y＝x+b與x軸交于點C（4，0），
∴把點C（4，0）代入y＝x+b得：b＝﹣4，
∴直線的解析式是：y＝x﹣4；
∵直線也過A點，
∴把A點代入y＝x﹣4得到：n＝﹣5
∴A（﹣1，﹣5），
把將A點代入（x＜0）得：m＝5，
∴雙曲線的解析式是：y＝；

（2）過點O作OM⊥AC于點M，
∵B點經(jīng)過y軸，
∴x＝0，
∴0﹣4＝y(tǒng)，
∴y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
AO＝＝，
∵OC＝OB＝4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴在△OMB中 sin45°＝＝，
∴OM＝2，
∴在△AOM中，
sin∠OAB＝＝＝；

（3）存在；
過點A作AN⊥y軸，垂足為點N，
則AN＝1，BN＝1，
則AB＝＝，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝＝4，
∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠OBA＝∠BCD＝135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
∴CD＝2或CD＝16，
∵點C（4，0），
∴點D的坐標(biāo)是（20，0）或（6，0）．

24． 解：（1）如圖1；

（2）①如圖1，連接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BC，
即直線BC與⊙O的切線，
∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切；

（2）如圖2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝6﹣r，又BD＝2，
在Rt△OBD中，
OD2+BD2＝OB2，
即r2+（2 ）2＝（6﹣r）2，
解得r＝2，OB＝6﹣r＝4，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形ODE＝＝π，
S△ODB＝OD?BD＝×2×2＝2，
∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S△ODB﹣S扇形ODE＝2﹣π．


25． 解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）過點B作MB⊥CB交于點M，過點M作MN⊥x軸交于點N，
∵A（﹣1，0）、C（0，3），B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，BC＝3，
∴tan∠ACO＝，
∵∠PCB＝∠ACO，
∴tan∠BCM＝＝，
∴BM＝，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴∠NBM＝45°，
∴MN＝NB＝1，
∴M（2，﹣1），
設(shè)直線CM的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直線PC的解析式為y＝﹣2x+3；
（3）的值是為定值．，理由如下：
設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），
設(shè)直線AP的解析式為y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝（3﹣t）x+（3﹣t），
∴E（0，3﹣t），
∴CE＝﹣t，
設(shè)直線BP的解析式為y＝k2x+b2，
∴，
∴，
∴y＝（﹣t﹣1）x+3t+3，
∴F（0，3t+3），
∴CF＝﹣3t，
∴＝，
∴的值是為定值．



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