株洲市2020年初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題4分，共40分）1.a的相反數(shù)為-3，則a等于（    ）A. -3 B. 3 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：因為3的相反數(shù)是﹣3，所以a=3．故選：B．【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟知概念是關(guān)鍵．2.下列運算正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、合并同類項法則、冪的乘方的運算法則及積的乘方的運算法則依次計算各項后即可解答．【詳解】選項A，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可得，選項A正確；    選項B，根據(jù)合并同類項法則可得，選項B錯誤；選項C，根據(jù)冪的乘方的運算法則可得，選項C錯誤；    選項D，根據(jù)積的乘方的運算法則可得，選項D錯誤．故選A．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則、合并同類項法則、冪的乘方的運算法則及積的乘方的運算法則，熟練運用相關(guān)法則是解決問題的關(guān)鍵．3.一個不透明的盒子中裝有4個形狀、大小質(zhì)地完全相同的小球，這些小球上分別標有數(shù)字-1、0、2和3．從中隨機地摸取一個小球，則這個小球所標數(shù)字是正數(shù)的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數(shù)目，②全部情況的總數(shù)，二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小．【詳解】解：根據(jù)題意可得：4個小球中，其中標有2，3是正數(shù)，
故從中隨機地摸取一個小球，則這個小球所標數(shù)字是正數(shù)的概率為： ．
故選：C．【點睛】本題考查了概率的求法與運用，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．4.一實驗室檢測A、B、C、D四個元件的質(zhì)量（單位：克），超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，結(jié)果如圖所示，其中最接近標準質(zhì)量的元件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分別求出每個數(shù)的絕對值，根據(jù)絕對值的大小找出絕對值最小的數(shù)即可．【詳解】∵|+1.2|=1.2，|-2.3|=2.3， |+0.9|=0.9，|-0.8|=0.8，0.8＜0.9＜1.2＜2.3，
∴從輕重的角度看，最接近標準的是選項D中的元件，故選D．【點睛】本題考查了絕對值以及正數(shù)和負數(shù)的應(yīng)用，掌握正數(shù)和負數(shù)的概念和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，主要考查學生的理解能力，題目具有一定的代表性，難度也不大．5.數(shù)據(jù)12、15、18、17、10、19的中位數(shù)為（    ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】C【解析】【分析】首先將這組數(shù)據(jù)按大小順序排列，再利用中位數(shù)定義，即可求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：10，12，15，17，18，19，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=16．
故選：C．【點睛】此題考查了中位數(shù)的定義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．6.下列哪個數(shù)是不等式的一個解？（    ）A. -3 B.  C.  D. 2【答案】A【解析】【分析】首先求出不等式的解集，然后判斷哪個數(shù)在其解集范圍之內(nèi)即可．【詳解】解：解不等式，得因為只有-3<,所以只有-3是不等式的一個解故選：A【點睛】此題考查不等式解集的意義，是一道基礎(chǔ)題．理解不等式的解集的意義是解題的關(guān)鍵．7.在平面直角坐標系中，點在第二象限內(nèi)，則a的取值可以是（    ）A. 1 B.  C.  D. 4或-4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)第二象限內(nèi)點的橫坐標是負數(shù)，縱坐標是正數(shù)即可判斷．【詳解】解：∵點是第二象限內(nèi)的點，∴，四個選項中符合題意的數(shù)是，故選：B【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標的符號特征以及解不等式，記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．8.下列不等式錯誤的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】選項A，根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小即可得；選項B，由3<π<4，即可得；選項C，由，6.25<10，可得；選項D，由可得．由此可得只有選項C錯誤．【詳解】選項A，根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小可得，選項A正確；選項B，由3<π<4，可得，選項B正確；選項C，由，6.25<10，可得，選項C錯誤；選項D，由可得，選項D正確．故選C．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較及無理數(shù)的估算，熟練運用實數(shù)大小的比較方法及無理數(shù)的估算方法是解決問題的關(guān)鍵．9.如圖所示，點A、B、C對應(yīng)的刻度分別為0、2、4、將線段CA繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點A首次落在矩形BCDE的邊BE上時，記為點，則此時線段CA掃過的圖形的面積為（    ）A.  B. 6 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形ACA1的面積.【詳解】解：由題意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C=AC=4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.∴∠ACA1=60°.∴扇形ACA1的面積為=.即線段CA掃過的圖形的面積為.故選：D【點睛】此題考查了扇形面積的計算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．10.二次函數(shù)，若，，點，在該二次函數(shù)的圖象上，其中，，則（    ）A.  B.  C.  D. 、的大小無法確定【答案】B【解析】【分析】首先分析出a,b,x1的取值范圍，然后用含有代數(shù)式表示y1,y2，再作差法比較y1,y2的大小.【詳解】解：∵，b20,∴a>0.又∵，∴b<0∵，，∴,x1<0.∵點，在該二次函數(shù)的圖象上∴，.∴y1-y2=2bx1>0.∴y1>y2.故選：B.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和函數(shù)值的大小比較，判斷出字母系數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分）11.關(guān)于x的方程的解為________．【答案】4【解析】【分析】方程移項、合并同類項、把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：方程，
移項,得3x-x=8，
合并同類項，得2x=8.解得x=4．
故答案為：x=4．【點睛】方程移項，把x系數(shù)化為1，即可求出解．12.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】運用提公因式法分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，準確確定公因式是解題關(guān)鍵．13.計算結(jié)果是________．【答案】2【解析】【分析】利用二次根式的乘除法則運算．【詳解】解：原式====2.故答案是：2.【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．14.王老師對本班40個學生所穿校服尺碼的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：尺碼SMLXLXXLXXL頻率0.050.10.20.3250.30.025  則該班學生所穿校服尺碼為“L”的人數(shù)有________個．【答案】8【解析】【分析】直接用尺碼L的頻率乘以班級總?cè)藬?shù)即可求出答案.【詳解】解：由表可知尺碼L的頻率的0.2，又因為班級總?cè)藬?shù)為40，所以該班學生所穿校服尺碼為“L”的人數(shù)有400.2=8.故答案是：8.【點睛】此題主要考查了頻數(shù)與頻率，關(guān)鍵是掌握頻數(shù)是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)．頻率是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）．即頻率=頻數(shù)÷總數(shù)．15.一個蜘蛛網(wǎng)如圖所示，若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形，其中心點為點O，點M、N分別在射線OA、OC上，則________度．【答案】80【解析】【分析】根據(jù)正多邊形性質(zhì)求出中心角，即可求出．【詳解】解：根據(jù)正多邊形性質(zhì)得，中心角為360°÷9=40°，∴．故答案為：80【點睛】本題考查了正n邊形中心角的定義，在正多邊形中，中心角為 ．16.如圖所示，點D、E分別是的邊AB、AC的中點，連接BE，過點C做，交DE的延長線于點F，若，則DE的長為________．【答案】【解析】分析】先證明DE為的中位線，得到四邊形BCFE為平行四邊形，求出BC=EF=3，根據(jù)中位線定理即可求解．【詳解】解：∵D、E分別是的邊AB、AC的中點，∴DE為的中位線，∴DE∥BC，，∵，∴四邊形BCFE為平行四邊形，∴BC=EF=3，∴．故答案為：【點睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定與性質(zhì)，熟知三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．17.如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，四邊形OABC為矩形，點A、C分別在x軸、y軸上，點B在函數(shù)（，k為常數(shù)且）的圖象上，邊AB與函數(shù)的圖象交于點D，則陰影部分ODBC的面積為________（結(jié)果用含k的式子表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：△AOD的面積為1，矩形ABCO的面積為k,從而可以求出陰影部分ODBC的面積.【詳解】解：∵D是反比例函數(shù)圖象上一點∴根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：△AOD的面積為=1.∵點B在函數(shù)（，k為常數(shù)且）的圖象上，四邊形OABC為矩形，∴根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：矩形ABCO的面積為k.∴陰影部分ODBC的面積=矩形ABCO的面積-△AOD的面積=k-1.故答案為：k-1.【點睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是正確理解k的幾何意義，本題屬于中等題型．18.據(jù)《漢書律歷志》記載：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中國古代的一種量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是說：“斛的底面為：正方形的外接一個圓，此圓外是一個同心圓”，如圖所示．問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的周長為________尺．（結(jié)果用最簡根式表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)確定△CDE為等腰直角三角形，CE為直徑，根據(jù)題意求出正方形外接圓的直徑CE，求出CD，問題得解．【詳解】解：∵四邊形CDEF為正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE為直徑，=45°， 由題意得AB=2.5，∴CE=2.5-0.25×2=2，∴CD=CE ，∴=45°， ∴正方形CDEF周長為尺．故答案：【點睛】本題考查了正方形外接圓的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出正方形對角線為其外接圓直徑．三、解答題（本大題共8小題，共78分）19.計算：．【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，特殊角三角函數(shù)進行化簡，再進行計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，特殊角三角函數(shù)等知識，熟記相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．20.先化簡，再求值：，其中，．【答案】；【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原分式，再將x,y的值代入計算可得．【詳解】解：原式.當，，原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算的順序和運算法則．21.某高速公路管理部門工作人員在對某段高速公路進行安全巡檢過程中，發(fā)現(xiàn)該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患．該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線，點A、B分別在、上，斜坡AB的長為18米，過點B作于點C，且線段AC的長為米．    （1）求該斜坡的坡高BC；（結(jié)果用最簡根式表示）（2）為降低落石風險，該管理部門計劃對該斜坡進行改造，改造后的斜坡坡腳為60°，過點M作于點N，求改造后的斜坡長度比改造前的斜坡長度增加了多少米？【答案】(1)   （2）2米【解析】【分析】（1）運用勾股定理解題即可；（2）根據(jù)勾股定理列出方程，求出AM，問題得解．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，；（2）∵，∴，∴， ∵在Rt△ABC中，，∴∴，∴，∴．綜上所述，長度增加了2米．【點睛】本題考查了解直角三角形，題目難度不大，理解好題意運用勾股定理解題是關(guān)鍵．22.近幾年，國內(nèi)快遞業(yè)務(wù)快速發(fā)展，由于其便捷、高效，人們越來越多地通過快遞公司代辦點來代寄包裹．某快遞公司某地區(qū)一代辦點對60天中每天代寄的包裹數(shù)與天數(shù)的數(shù)據(jù)（每天代寄包裹數(shù)、天數(shù)均為整數(shù)）統(tǒng)計如下：（1）求該數(shù)據(jù)中每天代寄包裹數(shù)在范圍內(nèi)的天數(shù)；（2）若該代辦點對顧客代寄包裹的收費標準為：重量小于或等于1千克的包裹收費8元；重量超1千克的包裹，在收費8元的基礎(chǔ)上，每超過1千克（不足1千克的按1千克計算）需再收取2元．①某顧客到該代辦點寄重量為1.6千克的包裹，求該顧客應(yīng)付多少元費用？②這60天中，該代辦點為顧客代寄的包表中有一部分重量超過2千克，且不超過5千克．現(xiàn)從中隨機抽取40件包裹的重量數(shù)據(jù)作為樣本，統(tǒng)計如下：重量G（單位：千克）件數(shù)（單位：件）151015 求這40件包裹收取費用的平均數(shù)．【答案】（1）42天；（2）①10元； ②14【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖讀出50.5~100.5的天數(shù)，100.5~150.5的天數(shù)，150.5~200.5的天數(shù)，再將三個數(shù)據(jù)相加即可；（2）①應(yīng)付費用等于基礎(chǔ)費用加上超過部分的費用；②求加權(quán)平均數(shù)即可．【詳解】解：（1）結(jié)合統(tǒng)計圖可知：每天代寄包裹數(shù)在50.5~200.5范圍內(nèi)的天數(shù)為18+12+12=42天；（2）①因為1.6>1,故重量超過了1kg,除了付基礎(chǔ)費用8元，還需要付超過1k部分0.6kg的費用2元，則該顧客應(yīng)付費用為8+2=10元；②元．所以這40件包裹收取費用的平均數(shù)為14元．【點睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖、加權(quán)平均數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．23.如圖所示，的頂點E在正方形ABCD對角線AC的延長線上，AE與BF交于點G，連接AF、CF，滿足．（1）求證：．（2）若正方形ABCD的邊長為1，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）已知，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得，再由，可得，即可證得；（2）由，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得，由對頂角相等可得，即可證得；又因正方形邊長為1，，可得，．在Rt△AFC中，即可求得．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵正方形邊長為1，．∴，．∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的知識，熟練運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．24.AB是的直徑，點C是上一點，連接AC、BC，直線MN過點C，滿足．（1）如圖①，求證：直線MN是的切線；（2）如圖②，點D在線段BC上，過點D作于點H，直線DH交于點E、F，連接AF并延長交直線MN于點G，連接CE，且，若的半徑為1，，求的值．【答案】（1）見解析  （2）【解析】【分析】（1）由圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)可得，由可得，進一步即可推出，從而可得結(jié)論；（2）如圖②，由已知條件易求出AC的長，根據(jù)對頂角相等和圓周角定理可得∠1=∠3，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，進而可得∽，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)變形可得，進一步即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）證明：連接OC，如圖，∵AB是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴MN是的切線；（2）如圖②，∵，即，∴，∵∠2=∠3，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∵，∴∠1+∠AGC=90°，∵∠3+∠ECD=90°，∴，又∵，∴∽，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理的推論以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.如圖所示，的頂點A在反比例函數(shù)的圖像上，直線AB交y軸于點C，且點C的縱坐標為5，過點A、B分別作y軸的垂線AE、BF，垂足分別為點E、F，且．（1）若點E為線段OC的中點，求k的值；（2）若為等腰直角三角形，，其面積小于3．①求證：；②把稱為，兩點間的“ZJ距離”，記為，求的值．【答案】（1）；（2）①見解析；②8．【解析】【分析】（1）由點E為線段OC的中點，可得E點坐標為，進而可知A點坐標為：，代入解析式即可求出k；（2）①由為等腰直角三角形，可得，再根據(jù)同角的余角相等可證，由AAS即可證明；②由“ZJ距離”的定義可知為MN兩點的水平距離與垂直距離之和，故，即只需求出B點坐標即可，設(shè)點，由可得，進而代入直線AB解析式求出k值即可解答．【詳解】解：（1）∵點E為線段OC的中點，OC=5，∴,即：E點坐標為，又∵AE⊥y軸，AE=1，∴，∴．（2）①在為等腰直角三角形中，，，∴，又∵BF⊥y軸，∴，∴在和中，∴，②解：設(shè)點坐標為，∵∴，，∴，設(shè)直線AB解析式為：，將AB兩點代入得：則．解得，．當時，，，，符合；∴，當時，，，，不符，舍去；綜上所述：．【點睛】此題屬于代幾綜合題，涉及的知識有：反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)及求法、三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)等，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定和數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．26.如圖所示，二次函數(shù)的圖像（記為拋物線）與y軸交于點C，與x軸分別交于點A、B，點A、B的橫坐標分別記為，，且．（1）若，，且過點，求該二次函數(shù)的表達式；（2）若關(guān)于x的一元二次方程的判別式．求證：當時，二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點．（3）若，點P的坐標為，過點P作直線l垂直于y軸，且拋物線的頂點在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長線與拋物線交于點D，若，求的最小值．【答案】（1） ；（2）見解析；（3）【解析】分析】（1）根據(jù)題意，把，，點，代入解析式，即可求出解析式；（2）利用根的判別式進行判斷，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到，然后證明，得到，然后得到，利用二次根式的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：（1）由題意得：，∵函數(shù)過點，∴，∴，∴．（2）由題意，一元二次方程的判別式．∴，∴，在函數(shù)中，∵，∴，即函數(shù)圖象與x軸沒有交點．（3）因為函數(shù)頂點在直線l上，則有，即①∵，∴，即，∴，由①得：②∵，∴∵，∴，則．∴，∴，∴．∴，∴．由②得：，∴，∴當時，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識進行解題．
  
  

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