? 專(zhuān)題9 立體幾何中的探索性問(wèn)題
1．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；
（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.
(1)在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，
則，
解得，
所以點(diǎn)A到平面的距離為；
(2)
取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以?xún)蓛纱怪?，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）得，所以，，所以，
則,所以的中點(diǎn)，
則，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
則，
所以二面角的正弦值為.
2．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．
(1)
過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)、．
∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
(2)
因?yàn)槠矫妫^(guò)點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)， ，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，

設(shè)平面的法向量為
由，得，取，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴．

3．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：平面平面．
(2)設(shè)P是棱的中點(diǎn)，求AC與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，由余弦定理求出，從而由勾股定理得到，，進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值.
(1)
設(shè)．
在四邊形中，∵，，連接，
∴由余弦定理得，即，
∵，
∴．
又∵，
∴，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
(2)
取AB中點(diǎn)D，連接CD，∵，∴，
由（1）易知平面，且．
如圖，以B為原點(diǎn)，分別以射線BA，為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，

則，，，，，．
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
得，令，則取，
，，
AC與平面所成角的正弦值為．
4．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點(diǎn)，，N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面平面
(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)
【解析】
【分析】
（1）由底面ABCD，可得，而，可證得平面，從而得，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可得結(jié)論，
（2）設(shè)，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可
(1)
證明：因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，
所以，
因?yàn)?，?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，?br /> 所以，
因?yàn)樵谥?，，M為線段PC的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面，
(2)
當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，理由如下：
因?yàn)榈酌?，平面?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以?xún)蓛纱怪保?br /> 所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
設(shè)為平面的法向量，則
，令，則，
設(shè)為平面的法向量，則
，令，則，
因?yàn)槠矫鍹ND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，
所以，
化簡(jiǎn)得，得，
所以當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°

5．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖1，在邊上為4的菱形中，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．

(1)在翻折過(guò)程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角余弦值的絕對(duì)值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)在翻折過(guò)程中總有平面平面，證明見(jiàn)解析
(2)
(3)存在且為線段的中點(diǎn)
【解析】
【分析】
（1）證明出平面，進(jìn)而證明面面垂直；（2）找到當(dāng)平面時(shí)，四棱錐體積最大，直線和平面所成角的為，
求出，，由勾股定理得：，從而求出的正弦值；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和二面角的大小，列出方程，確定點(diǎn)的位置
(1)
在翻折過(guò)程中總有平面平面，
證明如下：∵點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，
又，∴，且是等邊三角形，
∵是的中點(diǎn)，∴，
∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)
由題意知，四邊形為等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面積，
要使得四棱錐體積最大，只要點(diǎn)到平面的距離最大即可，
∴當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最大值為，
此時(shí)四棱錐體積的最大值為，
直線和平面所成角的為，
連接，在直角三角形中，，，
由勾股定理得：.
．
(3)
假設(shè)符合題意的點(diǎn)存在．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
由（2）知，，
又，且，平面，平面，
平面，
故平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一個(gè)法向量為，
則，，
即
令，所以
，
則平面的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
則，解得：，
故符合題意的點(diǎn)存在且為線段的中點(diǎn)．
6．（2022·全國(guó)·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中，，，，側(cè)棱平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明，再根據(jù)勾股定理證明，進(jìn)而根據(jù)線面垂直得到平面，從而根據(jù)面面垂直的判定證明即可（2） 為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求解平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而得到面面角的正弦即可
(1)證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br /> 又，，，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因?yàn)椋?，所以，所以?br /> 又，，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br /> (2)
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

因?yàn)?，?br /> 所以，，，，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，且，，，，
因?yàn)樗粤睿瑒t，，所以．
又因?yàn)樗粤?，則，，所以．
所以．
設(shè)二面角的大小為，則，
所以二面角的正弦值為．
7．（2022·青?！つM預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，M為CD中點(diǎn)，連接BM，CE交于點(diǎn)F，G為△ABE的重心．

(1)證明：平面ABC
(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，當(dāng)平面GCE與平面ADE所成銳二面角為60°時(shí)，求G到平面ADE的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】(1)延長(zhǎng)EG交AB于N，連接NC,
因?yàn)镚為△ABE的重心，所以點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，且 ,
因?yàn)?,故 ,所以 ,
故，故 ,
而平面ABC，平面ABC,
故平面ABC；
(2)由題意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC， ,
平面BCDE， 故平面ABC, 平面ABC,
則 ,同理，
又平面BCDE,
所以平面BCDE，
以C為原點(diǎn)，以CB,CD,CA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)G到平面BCDE的距離為 ，
則 ，
故 ,
設(shè)平面GCE的法向量為 ，則，即，
取，則即，
設(shè)平面ADE的法向量為 ，則，即，
取 ，則，則，
所以，解得 ，
又，
故點(diǎn)G到平面ADE的距離為.
8．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAB為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，M為PD的中點(diǎn)．

(1)求證：PB平面ACM；
(2)求直線BM與平面PAD所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）連接，連，證明，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）（3）取中點(diǎn)，連PO，證明平面，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求線面角的正弦，二面角的余弦作答.
(1)連接，連，如圖，正方形中，N為的中點(diǎn)，而M為PD的中點(diǎn)，

則，而平面，平面，
所以平面.
(2)取中點(diǎn)，連，如圖，正中，，

因側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，則平面，
在平面內(nèi)過(guò)O作，則射線兩兩垂直，
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值是.
(3)
由（2）知，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
于是得，顯然二面角大小為銳角，
所以二面角的余弦值為.
9．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知四棱錐中，四邊形為菱形，，

(1)求證：是等邊三角形；
(2)若，求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，可得出，可得出，再利用菱形的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）證明出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.
(1)
證明：取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)?，，平面?br /> 平面，則，故，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，所以，，
因此，為等邊三角形.
(2)
解：由已知，，則，，
為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，
因?yàn)?，則，，
因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
，.
因此，與平面所成角的正弦值為.
10．（2022·廣東茂名·二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD， ，E是棱PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱PC上的點(diǎn)，且A、D、E、F四點(diǎn)共面．

(1)求證：F為PC的中點(diǎn)；
(2)若△PAD為等邊三角形，二面角 的大小為 ，求直線BD與平面ADFE所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由線面平行的判定定理證明AD∥平面PBC，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明EF∥AD,即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面ADFE的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.
(1)
證明：四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC．
由題意A、D、E、F四點(diǎn)共面，平面ADFE平面PBC=EF，
∴AD∥EF，而AD∥BC，∴EF∥BC，
∵E是棱PB的中點(diǎn)，∴F為PC中點(diǎn)．
(2)
如圖，以BC為x軸，連接BC中點(diǎn)O和AD中點(diǎn)G,以O(shè)G為y軸，過(guò)點(diǎn)O作垂直于平面ABCD的直線作為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=CD，BC=2AD，
設(shè)AD=a，則BC=2a， ，
所以，
，
因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，所以PG⊥AD，由題意知 ,
所以∠PGO為二面角 的平面角，又二面角的大小為 ，
所以 ，
因?yàn)镻G⊥AD，GO⊥AD，平面PGO ，
所以AD⊥平面PGO，
過(guò)P作PH垂直于y軸于點(diǎn)H，
因?yàn)镻H?平面PGO，所以AD⊥PH，
又PH⊥GH，平面ABCD， ，
所以PH垂直于平面ABCD，且 ,
，
，∴，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，
所以，
設(shè)平面ADFE的法向量為，則，
所以，取z=1，，
設(shè)BD與平面ADFE所成角為θ，
則，
即直線BD與平面ADFE所成角的正弦值為．
11．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（理））在四棱錐中，為正三角形，四邊形為等腰梯形，M為棱的中點(diǎn)，且，，.

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，即知△為等腰三角形，進(jìn)而有，由等邊三角形性質(zhì)有，根據(jù)中位線、平行線的推論知，再根據(jù)線面垂直的判定、面面垂直的判定證結(jié)論.
（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量和平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.
(1)
若為中點(diǎn)，連接，

由且，故為平行四邊形，
所以，又且，即為中點(diǎn)，
等腰△中，即，
又為正三角形，故，
因?yàn)榉謩e為，中點(diǎn)，故，則，
由，面，故面，
而面，則平面平面；
(2)
過(guò)作面，由（1）可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為軸的空間直角坐標(biāo)系，

所以，而，則，
所以，故，
若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，故直線與平面所成角的正弦值.
12．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)中，，，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)若四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）連，利用給定條件證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.
(1)
在四棱臺(tái)中，四邊形為平行四邊形，且，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)，連，如圖，

則有，，即四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，
所以平面．
(2)
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，
平面DEC的一個(gè)法向量為，則，顯然二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.
13．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，平面，，為等邊三角形，．

(1)求證：平面，且平面．
(2)已知，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由線面垂直性質(zhì)可得，結(jié)合可證得平面；根據(jù)，由線面平行的判定可證得結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.
(1)
平面，平面，，
又，，平面，平面；
為等邊三角形，，又，，
平面，平面，平面.
(2)
平面，平面，；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，作軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，，；
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，，；
，
平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
14．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)中，，，．

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成的角．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題，取中點(diǎn)，連接，，先由線線垂直證面，即可由線面垂直證，即可證；
（2）分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，即可由向量法求所求線面角.
(1)
由題，取中點(diǎn)，連接，由，，則，又面，故面，
因?yàn)槊?，故，又，則，得證；
(2)
由題，，則，又，，
故，故.
分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
易得，，，，，，設(shè)平面法向量，
則，令，則，
故，故直線與平面所成的角為.
即直線與平面所成的角為.

15．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示正四棱錐

(1)求證：
(2)若沿側(cè)棱將此四棱錐剪開(kāi)，四個(gè)側(cè)面向外旋轉(zhuǎn)，PAD旋轉(zhuǎn)至旋轉(zhuǎn)至如圖所示，其中二面角與二面角相同，當(dāng)時(shí)，求平面與所成的銳二面角的余弦值
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）連接，交于點(diǎn)，連接，面，得，從而證得平面，得線線垂直；
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)點(diǎn)D且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)是二面角大小為，表示出的坐標(biāo)，由向量垂直求出，得的坐標(biāo)，再求出平面與平面的一個(gè)法向量，則法向量夾角得二面角．
(1)
證明：連接，交于點(diǎn)，連接，面，平面，
，
又，，平面，所以平面，
又平面，．

(2)
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過(guò)點(diǎn)D且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E為DA中點(diǎn)，則，設(shè)是中點(diǎn)，則，又，
所以是二面角的平面角，即，
，同理

解得：，，
?????????????

設(shè)為平面的法向量，則 ，， ，
，，取，則，
，，
設(shè)為平面的法向量，則 ， ，，
，，取，則，，
，
與平面所成的銳二面角的余弦值為．

16．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點(diǎn)M，N分別為和的重心．

(1)證明：∥平面；
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交于O點(diǎn)，連接,證明即可.
（2）證明兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.
(1)
延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交于O點(diǎn)，連接．
因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為和的重心，所以點(diǎn)P，

O分別為和的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面．
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)D到底面的距離最大，
即平面平面，
連接，因?yàn)楹途鶠檎切危?br /> 于是，又平面平面，
所以平面，所以?xún)蓛纱怪保?br /> 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，

又二面角即二面角，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
可得，取，則，
同理設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則,即，取，則，
所以，
由圖可知二面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為．
17．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．

(1)若時(shí)，求證：平面平面；
(2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直、面面垂直的判定推理作答.
（2）作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.
(1)
因，，，則有，即有，
又，且，平面，
于是得平面，而平面，
所以平面平面.
(2)
在平面內(nèi)，過(guò)B作直線垂直于，交直線于E，有，，如圖，

則為二面角的平面角，平面，，于是得，
中，，則，在中，，，，
由余弦定理得，則有，
顯然平面平面，在平面內(nèi)過(guò)B作，則平面，
以B為原點(diǎn)，分別以射線為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得
而，設(shè)與平面所成的角為，

所以與平面所成的角的正弦值為.
18．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖1，在等邊中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿(mǎn)足，記.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)．

(1)當(dāng)EN∥平面MBD時(shí)，求λ的值；
(2)試探究：隨著λ值的變化，二面角B-MD-E的大小是否改變？如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不改變，請(qǐng)求出二面角的正弦值大小．
【答案】(1)
(2)不改變，
【解析】
【分析】
（1）首先取的中點(diǎn)為，連接，，再結(jié)合線面平行的性質(zhì)即可得到
（2）利用空間向量法求解即可.
(1)
取的中點(diǎn)為，連接，，

因?yàn)?，，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四點(diǎn)共面，
又EN∥平面BMD，EN?平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP為平行四邊形，
所以NP＝DE，則DE＝BC，即λ＝.
(2)
取的中點(diǎn)，連接MO，則MO⊥DE，因?yàn)槠矫鍹DE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則
，即，
令，即.
又平面的法向量，
所以，
即隨著值的變化，二面角的大小不變．
且.
所以二面角的正弦值為.
19．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.

(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由面面、線面垂直的性質(zhì)可得，且，根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論；
（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值.
(1)
由題設(shè)，，又面面，面面，面，
所以面，而面，則，
由得：，
又，則平面.
(2)
若是的中點(diǎn)，連接，
由，，，，
所以，
面面，面面，面，
所以面，面，則.
綜上，可構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，，

所以，則，
若是面的法向量，則，令，則，
若是面的法向量，則，令，則，
所以，故二面角的余弦值為.
20．（2022·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，設(shè)有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側(cè)面積為，為中點(diǎn)，．

(1)求圓錐的體積；
(2)求異面直線與所成角．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由圓錐側(cè)面積公式可求得母線長(zhǎng)，進(jìn)而得到圓錐的高，利用圓錐體積公式可求得結(jié)果；
（2）解法一：取邊上中點(diǎn)，由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)得，由此可得結(jié)果；
解法二：取圓弧中點(diǎn)，連結(jié)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量運(yùn)算可得，知，由此可得結(jié)果.
(1)
設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，
，，即，
圓錐的高，
.
(2)
解法一：取邊上中點(diǎn)，連結(jié)，，，
是的中位線，；
垂直于底面，垂直于底面，；
，為中點(diǎn)，，即；
，平面，平面，
又平面，，即異面直線與所成角為.

解法二：取圓弧中點(diǎn)，連結(jié)，則；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，
，即，異面直線與所成角為.


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