2022-2023學(xué)年吉林省長春汽車經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第三中學(xué)高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝（    ）A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則即可求出.【詳解】z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.故選：B.2．將一個等邊三角形繞它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（    ）A．一個圓柱?一個圓錐 B．一個圓臺?一個圓錐C．兩個圓錐 D．兩個圓柱【答案】C【分析】直觀想象結(jié)合圓錐的概念判斷即可.【詳解】將一個等邊三角形繞它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是共用一個底面的兩個圓錐.故選：C.3．已知向量，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的模公式求解.【詳解】因為，，所以，所以，故選：B4．在ABC中，已知D是AB邊上的一點，若，則λ等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用共線向量定理求解.【詳解】因為D是AB邊上的一點，所以A，B，D三點共線，所以，則，因為，所以，因為A，B，C不共線，所以，解得，故選：B5．設(shè)平面向量，滿足，，，則在上投影向量的模為（    ）.A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】表示出在上投影向量，結(jié)合已知條件即可求得答案.【詳解】由題意可知：在上投影向量為 ，故在上投影向量的模為，故選：A6．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則下列結(jié)論不正確的是（    ）A． B．C．若，則的面積是 D．是鈍角三角形【答案】B【分析】用正弦定理即可判斷A；用余弦定理可以判斷D，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義可以判斷B；先用余弦定理確定A，再用三角形面積公式即可算出面積，進而判斷D.【詳解】對A，由正弦定理可得正確；對B，D，設(shè)，∴，A為鈍角，，B錯誤，D正確；對C，∵，則，∴，∴.故選：B.7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為  （　?。?/span>A．5 B． C． D．【答案】C【詳解】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結(jié)合正弦定理即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.點睛：此題主要考三角形面積公式的應(yīng)用，以及余弦定理、正弦定理在計算三角形外接圓半徑的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題型，也是常考考點.此類題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，此時三角形形狀不一定唯一.8．如圖，點C是半徑為1的扇形圓弧上一點，且，若，則的最大值是（    ）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合兩角和的正弦公式，求三角函數(shù)的最值即可.【詳解】如圖所示，以為軸，過作與垂直的線作為軸，，，，設(shè)，，時，取得最大值是.故選：C. 二、多選題9．下列命題中正確的是：（    ）A．兩個非零向量，，若，則與共線且反向B．已知，且，則C．若，，，為銳角，則實數(shù)的取值范圍是D．若非零，滿足，則與的夾角是【答案】AD【分析】利用平面向量的數(shù)量積知識對各選項逐一運算并判斷作答.【詳解】對于A，因，是非零向量，由兩邊平方得，則與共線且反向，A正確；對于B，，由得，則與可能垂直，B不正確；對于C，依題意得，為銳角，則，即，當時，，即，顯然與不共線，則，于是得為銳角時，且，C不正確；對于D，，是非零向量，由得，則，，，而，于是得，即與的夾角是，D正確.故選：AD10．如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)向量運算法則依次計算每個選項得到答案.【詳解】，正確；，正確；，錯誤；，正確.故選：.【點睛】本題考查了向量的運算，意在考查學(xué)生的計算能力.11．如圖所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，則（    ）A．該圓錐的母線長為5 B．該圓錐的體積為C．該圓錐的表面積為 D．三棱錐體積的最大值為12【答案】ABD【分析】利用圓錐的的幾何特征和面積，體積公式求解.【詳解】該圓錐的母線長為，A正確；該圓錐的體積為，B正確；該圓錐的表面積為，C錯誤；當時，的面積最大，此時，三棱錐體積的最大值為，D正確．故選：ABD12．在中，角的對邊分別為，，，，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．的面積為C． D．為銳角三角形【答案】AB【解析】已知等式利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角與兩角和差公式化簡得到，大角對大邊，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面積公式可得到的面積.【詳解】∵，∴，∴，即，∴．∵在中，，∴，∴，A正確．由余弦定理，得得，，即，解得或，又，∴，C錯誤，∴的面積，B正確．又，∴A為鈍角，為鈍角三角形，D錯誤．故選：AB.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和面積公式在解三角形中的靈活運用，屬于中檔題. 三、填空題13．___________．【答案】0【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運算即可求得答案.【詳解】由題意，原式=.故答案為：0.14．如圖所示，一個水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2，2)，則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為______.【答案】【分析】作出直觀圖，結(jié)合斜二測畫法概率計算【詳解】如圖，，到軸的距離為．故答案為：．15．已知向量與的夾角是，且，則________．【答案】2【分析】先求出，即可求出.【詳解】因為向量與的夾角是，且，所以.所以.故答案為：2 四、雙空題16．已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點.（1）若動點P滿足，，則點P的軌跡一定通過△ABC的______；（2）若動點P滿足，，則點P的軌跡一定通過△ABC的______.【答案】     重心     內(nèi)心【分析】先化簡目標式，結(jié)合平面向量的運算規(guī)則及三角形重心，內(nèi)心的特點可得答案.【詳解】（1）設(shè)的中點為，則；因為，所以；因為的重心一定在直線上，所以點的軌跡一定通過的重心.（2）因為，所以；又分別表示平行于的單位向量，故平分∠BAC，即平分∠BAC，所以點的軌跡一定通過的內(nèi)心.故答案為：重心   內(nèi)心. 五、解答題17．已知，（1）若與共線，求；（2）若與垂直，求.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）求得，，根據(jù)向量的共線條件，即可求解。（2）根據(jù)向量的垂直條件，列出方程，即可求解。【詳解】（1）由題意，向量，，則，，因為與共線，可得，解得。（2）由（1）可得，向量，，因為與垂直，可得，解得。【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及向量的共線與垂直的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的共線與垂直的條件，以及熟練應(yīng)用向量的數(shù)量積的運算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題。18．復(fù)數(shù).(1)當時，求復(fù)數(shù)z的模；(2)當實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；(3)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）代入，直接利用公式求模；（2）利用實部為零，虛部不為零列方程求解；（3）利用實部小于零，虛部大于零列不等式組求解；【詳解】（1）當時，，此時有；（2）復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，解得；（3）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，，解得.19．如圖，平行四邊形ABCD中，已知，，設(shè)，.(1)用向量和表示向量，；(2)若，，求實數(shù)x和y的值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)用平面向量的線性運算整理可得：，，代入已知向量即可得到.(2)用平面向量的線性運算整理可得：，結(jié)合題干條件，可得到等式，解等式即可.【詳解】（1），；（2）因為.即，因為與不共線，從而，解得.20．如圖，將棱長為2的正方體沿著相鄰的三個面的對角線切去四個棱錐后得一四面體．（Ⅰ）求該四面體的體積；（Ⅱ）求該四面體外接球的表面積．【答案】（Ⅰ）【分析】（Ⅰ）利用正方體體積減去截去部分的體積即可求解（Ⅱ）利用正四面體與正方體的外接球一致求解【詳解】(Ⅰ)三棱錐的體積，切去部分的體積為正方體的體積為∴四面體的體積(Ⅱ)∵正方體的棱長為2， ∴正方體的體對角線長為，∵該四面體外接球即為正方體的外接球，而正方體的外接球直徑為其體對角線∴外接球直徑，半徑，∴外接球表面積為【點睛】本題考查組合體體積，外接球問題，是基礎(chǔ)題21．如圖，在中，，的角平分線交于，設(shè)，且．（1）求值；（2）若，求的周長．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，則，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用二倍角正弦公式和余弦公式求出和，由三角形的內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式求出，最后利用正弦定理即可求出的值；（2）在中，根據(jù)正弦定理求得，結(jié)合三角形的面積公式得出，分別求出和，再由正弦定理求出，即可求出的周長．【詳解】解：（1）∵，的角平分線交于，則，即為三角形內(nèi)角的一半，∴，∴，∴，∴，又由于，則，∴，所以在中，根據(jù)正弦定理得：．（2）由正弦定理得，即，所以，①又，所以，②由①②得，，又由，得，所以，所以的周長．【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式的應(yīng)用，以及同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、二倍角正弦公式和余弦公式的運用，考查運算能力.22．為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．擬修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計），設(shè)∠BAD＝，(，)．（1）當cos＝時，求小路AC的長度；（2）當草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθ，根據(jù)正弦定理可求sin∠ADB，進而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根據(jù)三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），結(jié)合題意當θ﹣φ時，四邊形ABCD的面積最大，即θ＝φ，此時cosφ，sinφ，從而可求BD的值．【詳解】（1）在中，由，得，又，∴． ∵   ∴由得：，解得：，∵是以為直角頂點的等腰直角三角形  ∴且∴ 在中， ， 解得： （2）由（1）得：， ，此時，，且當時，四邊形的面積最大，即，此時，∴，即 答：當時，小路的長度為百米；草坪的面積最大時，小路的長度為百米．【點睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 

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