2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷市泗洪縣第一高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得.【詳解】因為，因此，.故選：B.2．函數(shù)的零點所在的區(qū)間可以是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)的零點即為函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)零點的個數(shù)，再根據(jù)零點的存在性定理即可得解.【詳解】令，則，則函數(shù)的零點即為函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知函數(shù)的交點在第一象限，且只有一個交點即函數(shù)的零點大于零，且只有一個零點，又，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間可以是.故選：C.3．已知，，則（    ）A．共線 B．共線 C．共線 D．共線【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定理可構(gòu)造方程組求滿足題意的實數(shù)，由是否有解可得結(jié)論.【詳解】對于A，若共線，則，即，方程組無解，則A錯誤；對于B，若共線，則，即，方程組無解，則B錯誤；對于C，若共線，則，即，解得：，共線，C正確；對于D，若共線，則，即，方程組無解，則D錯誤.故選：C.4．用二分法求方程在內(nèi)的近似解，已知判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由零點存在定理及的單調(diào)性可得在上有唯一零點，從而得到方程的根應(yīng)落在上.【詳解】令，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，，，所以在上有唯一零點，即，故，所以方程的根落在區(qū)間上，故選：B.5．若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】先求得的值，根據(jù)數(shù)量積的運算法則求得以及的模，再根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故 ，，，故 ，由于 ，故，故選：C6．已知，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換元法設(shè)，則，然后利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行化簡求解即可．【詳解】設(shè)，則，則，則，故選：．7．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，其中，若 ，則（   ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)定義求出，再利用二倍角的余弦公式結(jié)合齊次式法求解作答.【詳解】依題意，，又，解得，從而得，所以.故選：D8．在中，，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到范圍.【詳解】由已知可知，當(dāng)時等號成立.所以.故選：A. 二、多選題9．下列計算結(jié)果正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用三角恒等變換逐項判斷即可.【詳解】，A正確；，B正確；，C錯誤；由，可得，D正確；故選：ABD10．在中各角所對得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（    ）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解．【答案】ABC【分析】利用正弦定理、余弦定理一一計算可得；【詳解】解：對于A：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；對于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正確．對于C：因為，，，所以，所以，所以，，，故C正確；對于D：因為，，，所以，即解得，因為，所以，所以三角形只有1解；故選：ABC11．下列說法正確的是（    ）A．在△ABC中，，E為AC的中點，則B．已知非零向量與滿足，則△ABC是等腰三角形C．已知，若與的夾角是鈍角，則D．在邊長為4的正方形ABCD中，點E在邊BC上，且，點F是CD中點，則【答案】AB【分析】對于A，利用平面向量基本定理根據(jù)題意將用，表示出來再判斷，對于B，由向量的加法法則判斷，對于C，由題意可知，，且兩向量不共線，從而可求出的范圍，對于D，如圖，以為原點建立直角坐標(biāo)，表示，然后利用數(shù)量積的萬物復(fù)蘇示運算求解【詳解】對于A，因為△ABC中，，E為AC的中點，所以,所以A正確，對于B，因為與是非零向量，所以所在的直線平分，因為，所以，所以△ABC是等腰三角形，所以B正確，對于C，因為與的夾角是鈍角，所以，且兩向量不共線，由，得，得，當(dāng)與共線時，，得，所以當(dāng)與的夾角是鈍角時，且，所以C錯誤，對于D，如圖，以為原點建立直角坐標(biāo)，則由題意可得，所以，所以，所以D錯誤，故選：AB12．直角中，斜邊，為所在平面內(nèi)一點，（其中），則（    ）A．的取值范圍是B．點經(jīng)過的外心C．點所在軌跡的長度為2D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有，結(jié)合已知即可判斷A；若為中點，根據(jù)已知有共線，即可判斷B、C；利用向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合基本不等式求范圍判斷D.【詳解】由，又斜邊，則，則，A正確；若為中點，則，故，又，所以共線，故在線段上，軌跡長為1，又是的外心，B正確，C錯誤；由上，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，所以，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：若為中點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，及向量線性運算的幾何意義、數(shù)量積的幾何意義和運算律判斷軌跡，求、. 三、填空題13．已知為第二象限角，若，則___【答案】【分析】由題意得，求得，又由為第二象限角，求得，再由誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】由題意，可知，即，解得，又由為第二象限角，所以，又由.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中根據(jù)兩角和的正切函數(shù)求得的值，進而利用誘導(dǎo)公式代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.14．已知某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水平面上，且樓高均為45米，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓樓間距應(yīng)不小于52米．若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27米高處的某陽臺觀測點，測得該小區(qū)內(nèi)正對面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為，則該小區(qū)的住宅樓樓間距實際為_______________米．【答案】54【分析】依題意作圖，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系解三角形即可.【詳解】如上圖，設(shè)該小區(qū)的住宅樓樓間距為米．由題意知米，米，，∴，即，解得或（舍）；故答案為：54.15．岡珀茨模型是由岡珀茨（Gompertz）提出，可作為動物種群數(shù)量變化的模型，并用于描述種群的消亡規(guī)律.已知某珍稀物種t年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：（當(dāng)時，表示2020年初的種群數(shù)量），若年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，則m的最小值為_________.【答案】6【分析】依題意得通過計算化簡得，則問題可解．【詳解】令由題意知，，所以 得， 則 所以，解得，所以m的最小值為6故答案為：6【點睛】本題通過實際問題考查指對數(shù)不等式，關(guān)鍵要掌握指對數(shù)不等式求解法則．16．在中，角所對的邊分別為若對任意,不等式恒成立，則的最大值為___________.【答案】【詳解】,又點睛：在解答三角形中關(guān)于邊長的最值問題時，往往需要對其進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的求值問題．利用正弦定理或者余弦定理進行轉(zhuǎn)化，然后借助輔助角來求最值，本題具有一定的難度． 四、解答題17．已知.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系式求得，再利用兩角和的余弦公式即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)平方關(guān)系可求得再進行角的轉(zhuǎn)化即，之后利用兩角差的余弦公式進行求解可得出.【詳解】（1）由，可得；所以；即（2）由可得，又，所以由可得.即的值為18．如圖，在直角坐標(biāo)系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點，且．將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點．記．（1）若，求；                                                   （2）分別過作軸的垂線，垂足依次為．記的面積為，的面積為．若，求角的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)單位圓的性質(zhì)可知，而，從而利用兩角和的余弦可求的值.（2）用的三角函數(shù)表示，根據(jù)可解出.【詳解】(1)由三角函數(shù)的定義，得因，, 則  ∴  (2) 由已知，得∴  ,得  又,,   ∴【點睛】在平面直角坐標(biāo)系中，如果的終邊與單位圓的交點為，則的坐標(biāo)為，我們可以根據(jù)這個性質(zhì)來溝通角的三角函數(shù)與和相關(guān)的幾何量的關(guān)系.19．在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，連接圍成梯形中，，， 求梯形的腰的長.【答案】4【分析】選①利用正弦定理，可得，進而可得，選②利用正弦定理，可得，進而可得，選③利用三角形面積公式可得.在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得解.【詳解】選①，由得，∴，又，，∴又，∴；選②，由得，∴即，∴又，∴.當(dāng)時，由，可得，在中，由正弦定理可得：，得，又在中，由余弦定理可得：，得.20．已知，且(1)求的值；(2)證明：，并求的值．【答案】(1)(2)證明見解析， 【分析】（1）由題意求解出，再根據(jù)，代入兩角和的余弦公式計算可得，由，可判斷得；（2）根據(jù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，可證明得，再利用兩角差的正弦公式代入計算即可.【詳解】（1）因為，，所以，由解得，，所以，，，因為，所以；（2）因為，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，．21．如圖，在中，，，，，.(1)設(shè)在上的投影向量為，求的值；(2)若，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用投影向量的計算公式即可求解；（2）利用平面向量線性運算可得，利用轉(zhuǎn)化法求解向量的模即可.【詳解】（1）解：∵在上的投影向量為，∴（2）解：，，∴.22．已知，，，設(shè)(1)若函數(shù)圖象相鄰的兩對稱軸之間的距離為，求；(2)當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)存在，，使，則稱該函數(shù)為“互補函數(shù)”.若函數(shù)在上為“互補函數(shù)”，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)相鄰的對稱軸距離為求出，即可得解；（2）分、、三種情況討論，分別求出的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）解：因為，，所以，又因為函數(shù)相鄰的對稱軸距離為，所以，即，解得，所以.（2）解：因為函數(shù)在上為“互補函數(shù)”，函數(shù)在定義域內(nèi)存在，使，即，①當(dāng)，即，解得，顯然成立；②當(dāng)，即，解得時，顯然不成立；③當(dāng)時，即時，所以或者或者，解得的取值范圍為，綜上所述. 

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