2022-2023學(xué)年廣東省梅州市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的定義列式求解.【詳解】根據(jù)平均變化率的定義可知，.所以函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故選：C2．某校為了豐富課后服務(wù)活動(dòng)，提高學(xué)校辦學(xué)水平和教育質(zhì)量，開設(shè)近20門選修課供學(xué)生自愿選擇.甲、乙2名同學(xué)都對(duì)其中的合唱、足球、籃球、機(jī)器人課程感興趣，若這2名同學(xué)從這4門課程中各自任選一門課程參加，則不同的選法有（    ）A．4種 B．6種 C．8種 D．16種【答案】D【分析】根據(jù)題意甲乙兩人均有4種選課方法，應(yīng)用分步乘法即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，甲乙兩人均有4種選課方法，所以2名同學(xué)從這4門課程中各自任選一門課程參加的方法有種.故選：D3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件作出切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率的定義即可求解.【詳解】依次作出函數(shù)在處的切線，如圖所示根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，．故選：B.4．已知函數(shù)，則在下列區(qū)間上，單調(diào)遞增的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，結(jié)合選項(xiàng)中角的范圍求得x的范圍，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，則，又，則，所以，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)?/span>，所以為函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.故選：B5．某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（    ）A．1080種 B．720種 C．660種 D．600種【答案】A【分析】討論使用的顏色種數(shù)計(jì)算即可.【詳解】若使用五種顏色，即每個(gè)面一種顏色，則有種方案；若使用四種顏色，即面AED與面FBC同色，則有種方案.故不同涂色方案有720+360=1080種.故選：A6．已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，則的最小值為（    ）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】由題設(shè)可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，的最小值為.故選：C7．2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆國際足聯(lián)世界杯，于當(dāng)?shù)貢r(shí)間2022年11月20日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)5座城市中的8座球場(chǎng)舉行.本屆世界杯的賽制規(guī)定：從小組賽晉級(jí)的16支球隊(duì)將被自動(dòng)分成8組，每組的2支球隊(duì)比賽一場(chǎng)，獲勝的球隊(duì)晉級(jí)1/4決賽.若從小組賽晉級(jí)的16支球隊(duì)中選出4支球隊(duì)，且恰有2支球隊(duì)來自同一組，則不同的選擇方法有（    ）A．672種 B．728種 C．764種 D．800種【答案】A【分析】首先考慮恰有2支球隊(duì)來自同一組的選法，再確定另外2支不同組的選法，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樾〗M賽晉級(jí)的16支球隊(duì)自動(dòng)分成8組，從中選4支，2支球隊(duì)來自同一組，所以要先從8組中選一組，有種選法，這組兩支球隊(duì)全選，保證2支球隊(duì)來自同一組；再從剩余7組中選2組，每一組選1支球隊(duì)，這2支球隊(duì)來自不同組，有種選法，所以不同的選擇方法有種.故選：A.8．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，則球的體積是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，確定，得到球半徑，計(jì)算體積得到答案.【詳解】將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，如圖所示：則，故，球的半徑，故體積為.故選：D 二、多選題9．已知，則（    ）A．B．C．D．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為【答案】ABD【分析】采用賦值法，分別令和可以判斷選項(xiàng)A、C；根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求得x的系數(shù)，可以判斷選項(xiàng)B；直接由展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和的知識(shí)就可以判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，得，所以A正確；展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以B正確；令，得，又，所以，所以C不正確；展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以D正確.故選：ABD.10．由數(shù)字0，1，2，3組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．可以組成18個(gè)不同的數(shù)B．可以組成8個(gè)奇數(shù)C．可以組成12個(gè)偶數(shù)D．若數(shù)字1和2相鄰，則可以組成8個(gè)不同的數(shù)【答案】ABD【分析】A先排千位，再排其它三位；B、C分步分類計(jì)數(shù)求出奇數(shù)個(gè)數(shù)，即可得偶數(shù)個(gè)數(shù)即可判斷；D分千位為3、千位、百位為1和2兩種情況求個(gè)數(shù)，結(jié)合排列、組合數(shù)求四位數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】A：千位的選法有，其它三位任意排有，故組成不同的數(shù)有個(gè)，正確；B：奇數(shù)個(gè)數(shù)：先把1或3安排到個(gè)位有種，則千位有種，其它數(shù)位有種，共有個(gè)，正確；C：由B知：偶數(shù)有個(gè)，錯(cuò)誤；D：當(dāng)千位為3，將1和2全排有種，作為整體與0全排有種，則有個(gè)；當(dāng)千位、百位為1和2有種，再將0和3作全排有種，則有個(gè)；所以可以組成8個(gè)不同的數(shù)，正確.故選：ABD11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．，方程有解B．若，且有極小值點(diǎn)，則在上單調(diào)遞減C．若且，則存在極大值和極小值D．若，則的圖象是中心對(duì)稱圖形【答案】BCD【分析】A令，即可判斷；B、C由，根據(jù)極值點(diǎn)定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；D判斷是否恒成立.【詳解】A：當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)無解，錯(cuò)誤；B：由，又，則開口向下，由有極小值點(diǎn)，則從左側(cè)到右側(cè)，函數(shù)值由負(fù)變正，綜上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知：的函數(shù)值從左到右依次由負(fù)變正，再由正變負(fù)，所以左側(cè)，即在上單調(diào)遞減，正確；C：中，，故必有兩個(gè)不等實(shí)根，若，當(dāng)，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)；當(dāng)，則為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)；正確；D：，由的對(duì)稱軸為，則，所以關(guān)于對(duì)稱，正確；故選：BCD12．已知，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得，再利用作差法和不等式性質(zhì)可得、，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)建，則當(dāng)恒成立；則在上單調(diào)遞減，可得，令，則，且，即，故，即；∵，則，又∵，則，∴，即；∵，則，即，又∵，即，故，即；綜上所述：.∴B、C正確，A、D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形．（2）構(gòu)造新的函數(shù)h(x)．（3）利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值．（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題． 三、填空題13．已知函數(shù)，則________.【答案】/-0.5【分析】將作為常量對(duì)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，再將作為未知量求解即可.【詳解】由解析式知：，即，解得.故答案為：.14．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)約好周末去某公園游玩，準(zhǔn)備當(dāng)天在公園門口集合后一起入園游玩，假設(shè)這四位同學(xué)沒有同時(shí)到達(dá)的情況，則他們先后到達(dá)的情況有________種.【答案】24【分析】應(yīng)用排列數(shù)，根據(jù)題意將4人作全排即可.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在不同的時(shí)間到達(dá)公園門口，所以，4個(gè)人按任意順序依次到達(dá)即可，故共有種情況.故答案為：24 四、雙空題15．一個(gè)裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內(nèi)放入一個(gè)圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6 cm，鐵塊底面圓半徑為3 cm，放入鐵塊后的水面高度為6 cm，若從時(shí)刻開始，將鐵塊以1 cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時(shí)刻，水面下降的速度為______ cm/s．【答案】     勻速     【分析】由圓柱形鐵塊豎直向上勻速提起，可得水面勻速下降；根據(jù)已知得出水面高度H與時(shí)刻的函數(shù)關(guān)系，通過導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)速度.【詳解】設(shè)在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面高度為H，鐵塊離開水面的高度為h，則水和鐵塊的體積為，即①．鐵塊距離杯底的高度為②．由①②可得．令函數(shù)，則．故水面將勻速下降，下降的速度為．故答案為：勻速；. 五、填空題16．廣州國際金融中心大樓，簡(jiǎn)稱“廣州IFC”，又稱“廣州西塔”，位于廣東省廣州市，為地處天河中央商務(wù)區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測(cè)量其高度，在點(diǎn)處測(cè)得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，其中，，三點(diǎn)共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同一水平高度，已知米，則廣州國際金融中心大樓的高度為______米.【答案】435【分析】作出圖形，設(shè)，由余弦定理求出和，利用可求得．【詳解】如圖是塔底，顯然與垂直，，，，設(shè)，則，，，由余弦定理得，，因?yàn)?/span>，，即，所以，即，解得．故答案為：435. 六、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）應(yīng)用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，即可得通項(xiàng)公式；（2）公式法求，再由裂項(xiàng)相消法求.【詳解】（1）由題設(shè)且，則，，令公差為，所以，可得，所以.（2）由，則，所以.18．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，分別計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程；（2）求解的根，討論與的情況，從而得函數(shù)的單調(diào)性，求解出極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較大小后可得函數(shù)的最值，從而可得函數(shù)值域.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，所以，，即切線的斜率為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以曲線在處的切線方程為.（2）由（1）知，，得或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，極小值為，又因?yàn)?/span>，，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.19．從1，2，3，4，5，6中任取5個(gè)數(shù)字，隨機(jī)填入如圖所示的5個(gè)空格中.(1)若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和2，且1和2不能相鄰，試問不同的填法有多少種？(2)若填入的5個(gè)數(shù)字中有1和3，且區(qū)域，，中有奇數(shù)，試問不同的填法有多少種？【答案】(1)(2) 【分析】（1）應(yīng)用分步計(jì)數(shù)，從其余4個(gè)數(shù)選3個(gè)數(shù)全排，再把1和2插入其中求結(jié)果.（2）應(yīng)用間接法，先求出有1和3且區(qū)域，，中無奇數(shù)的填法數(shù)，再求出所有可能的填法數(shù)，然后作差即可得結(jié)果.【詳解】（1）首先從其它4個(gè)數(shù)中任選3個(gè)并作全排有種，3個(gè)數(shù)中共有4個(gè)空，將1和2插入其中兩個(gè)空有種，所以共有種填法.（2）若區(qū)域，，中無奇數(shù)，則其它三個(gè)數(shù)只能為2、4、6且在區(qū)域，，上，所以，共有種，從2、4、5、6任選3個(gè)數(shù)有種，再把5個(gè)數(shù)全排有種，共有種，綜上，填入的5個(gè)數(shù)字中有1和3且區(qū)域，，中有奇數(shù)，共有種.20．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)的極小值為,無極大值.(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟即可求解.（2）根據(jù)（1）結(jié)論，利用分離參數(shù)法將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解【詳解】（1）由題意可知，的定義域?yàn)?/span>，所以.令，則，解得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下:單調(diào)遞減極小值為單調(diào)遞增由此表可知，當(dāng)時(shí)，取得極小值為,無極大值.（2）恒成立等價(jià)于即可.令，則，令，則，令，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取到最小值為，即，所以的取值范圍為.21．已知橢圓：的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)都在直線上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與交于，兩點(diǎn)，，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）將上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)代入直線求得，即可求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理， ，再求中點(diǎn)，由已知直線與直線垂直，根據(jù)列方程求參數(shù)值.【詳解】（1）上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為都在上，所以，則，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）聯(lián)立，則，顯然，所以，則，而中點(diǎn)，由，則直線與直線垂直，所以，則，故，可得.22．定義：若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，其中為大于0的常數(shù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的級(jí)“平移點(diǎn)”.(1)判斷函數(shù)的2級(jí)“平移點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出2級(jí)“平移點(diǎn)”；(2)若函數(shù)在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1個(gè)，2級(jí)“平移點(diǎn)”為.(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，可得，代入解析式求解即可；（2）根據(jù)級(jí)“平移點(diǎn)”定義知有解，即可得在上有解，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可求的范圍.【詳解】（1）函數(shù)，，存在的2級(jí)“平移點(diǎn)”，則，即，所以，即，令則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，而，所以在只有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的2級(jí)“平移點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，且2級(jí)“平移點(diǎn)”為.（2）由在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，則有解，即：，得：，∴在上有解，令，，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，即.實(shí)數(shù)的取值范圍為：. 

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