2023屆貴州省普通高等學(xué)校招生高三適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，進(jìn)而可得其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.2．設(shè)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合中元素范圍，然后再求即可.【詳解】由已知或，，.故選：B.3．實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值等于（    ）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】畫(huà)出可行域及目標(biāo)函數(shù)，利用幾何意義得到最大值.【詳解】畫(huà)出可行域（陰影部分）及目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)?/span>中斜率為，的幾何意義為與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立，解得，故，將其代入解析式，得到的最大值為.故選：C4．某校為了解高一學(xué)生一周課外閱讀情況，隨機(jī)抽取甲，乙兩個(gè)班的學(xué)生，收集并整理他們一周閱讀時(shí)間（單位：），繪制了下面頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖，得到甲，乙兩校學(xué)生一周閱讀時(shí)間的平均數(shù)分別為，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則于（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù)與方差，即可判斷.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，，，所以，.故選：D5．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．是偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．的圖象與軸圍成的三角形面積為2【答案】C【分析】去掉絕對(duì)值，得到，畫(huà)出其圖象，進(jìn)而判斷出四個(gè)選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，畫(huà)出其函數(shù)圖象，如下：故不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；D選項(xiàng)，的圖象與軸圍成的三角形面積為，D錯(cuò)誤.故選：C6．在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用三角函數(shù)的定義求出，然后利用兩角和的正弦公式求即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義得，，又為銳角，，，即，.故選：D.7．命題“”，命題“”，則p是q的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】先根據(jù)命題求出的范圍，再根據(jù)充分性和必要性的定義得答案.【詳解】對(duì)于命題，，得，可以推出，但是不能推出， p是q的充分不必要條件.故選：A.8．如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，找到異面直線形成的夾角，求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出夾角.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為與所成角，設(shè)，則，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，所以與所成角為.故選：C9．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，已知在過(guò)濾過(guò)程中的污染物的殘留含量（單位：）與過(guò)濾時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，為原污染物總量.若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了，則污染物被過(guò)濾掉了所需時(shí)間約為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出方程，求出，得到函數(shù)解析式，再設(shè)出未知數(shù)，解方程，求出答案.【詳解】由題意得，化簡(jiǎn)得，兩邊取對(duì)數(shù)，，故，故設(shè)污染物被過(guò)濾掉了所需時(shí)間約為，則，化簡(jiǎn)得，即，解得，故污染物被過(guò)濾掉了所需時(shí)間約為77h.故選：C10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換求出函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù),令,解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選:A.11．橢圓的上頂點(diǎn)為是的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量關(guān)系得到三點(diǎn)共線，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出離心率.【詳解】因?yàn)?/span>，所以三點(diǎn)共線，其中，不妨設(shè)，，則，由得，解得，故，將其代入中得，，解得，故離心率為.故選：A12．設(shè)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)證明可得，從而得大小關(guān)系；再構(gòu)造函數(shù)證明可得再證明即可得的大小關(guān)系.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，，，令，則，顯然在為減函數(shù)，又，，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，，，，又，，，，下面證明：，即證明：，即證：，顯然成立，，，，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)可以用切線不等式，如在本題中構(gòu)造的函數(shù)就是利用函數(shù)與其在處的切線大小關(guān)系構(gòu)造的.也可以用割線不等式，如在本題中構(gòu)造的函數(shù)就是利用函數(shù)與割線大小關(guān)系構(gòu)造的，割線是過(guò)兩點(diǎn)的直線. 二、填空題13．向量.若，則___________.【答案】【分析】先求出的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得的值.【詳解】由已知可得，又，，解得.故答案為：.14．已知圓，雙曲線.傾斜角為銳角的直線過(guò)的圓心，且與的一條漸近線平行，則的方程為___________.【答案】【分析】由圓的方程求圓心，由雙曲線方程求雙曲線的漸近線方程，由此確定直線的方程.【詳解】方程可化為，所以圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，雙曲線的漸近線方程為或，因?yàn)橹本€過(guò)圓的圓心，且與的一條漸近線平行，其傾斜角為銳角，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，.故答案為：.15．在中，點(diǎn)D在BC邊上，.若，則___________.【答案】【分析】在和中，分別利用正弦定理得等式，然后利用條件中的等式進(jìn)行變形可得答案.【詳解】在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，①②得，.故答案為：.16．如圖，某環(huán)保組織設(shè)計(jì)一款苗木培植箱，其外形由棱長(zhǎng)為2（單位：）的正方體截去四個(gè)相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為___________【答案】【分析】將正方體補(bǔ)全，依題意可得、、、為正方體底面邊上的中點(diǎn)，要使球的表面積最小，即為求的外接球的表面積，建立空間直角坐標(biāo)系，幾何體外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，設(shè)球心為，球的半徑為，由距離公式得到方程，求出，即可求出，從而得解.【詳解】如圖將正方體補(bǔ)全，依題意可得、、、為正方體底面邊上的中點(diǎn)，要使球的表面積最小，即為求的外接球的表面積，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則幾何體外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的表面積，即該球表面積的最小值為.故答案為： 三、解答題17．公比為q的等比數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求解即可；（2）先利用（1）求出求出，然后利用等差數(shù)列的求和公式求出，最后利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）由已知可得，解得，；（2）由（1）可得，，當(dāng)時(shí)，，.18．為提升學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，某校從2020年開(kāi)始在高一?高二年級(jí)開(kāi)設(shè)“航空模型制作”選修課程.為考察課程開(kāi)設(shè)情況，學(xué)校從兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取20名同學(xué)分別制作一件航空模型.并根據(jù)每位同學(xué)作品得分繪制了如下莖葉圖：(1)在得分不低于90的作品中任選2件，求其制作者來(lái)自不同年級(jí)的概率：(2)若作品得分不低于80，評(píng)定為“優(yōu)良”，否則評(píng)定為“非優(yōu)良”，判斷是否有90%的把握認(rèn)為作品“優(yōu)良”與制作者所處年級(jí)有關(guān)？附：0.1500.1000.0100.001k2.0722.7066.63510.828  【答案】(1)(2)有90%的把握 【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用古典概型的公式計(jì)算即可；（2）作出列聯(lián)表，然后利用公式求出，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】（1）由莖葉圖可得在得分不低于90的作品中高一的學(xué)生有2人，高二的學(xué)生有3人，任選2件作品，其制作者來(lái)自不同年級(jí)的概率為；（2）作品“優(yōu)良”與制作者所處年級(jí)人數(shù)的列聯(lián)表如下： 優(yōu)良非優(yōu)良合計(jì)高一71320高二13720合計(jì)202040 ，有90%的把握認(rèn)為作品“優(yōu)良”與制作者所處年級(jí)有關(guān).19．矩形ABCD中，（如圖1），將沿AC折到的位置，點(diǎn)在平面ABC上的射影E在AB邊上，連結(jié)（如圖2）.(1)證明：；(2)過(guò)的平面與BC平行，作出該平面截三棱錐所得截面（不要求寫(xiě)作法）.記截面分三棱錐所得兩部分的體積分別為，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2). 【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；（2）根據(jù)三角形的等面積法求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)度，進(jìn)而確定，即可確定所求截面，利用椎體體積公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>平面，平面，所以，且由翻折關(guān)系可知，且,平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以.（2）由（1）可知，平面，又因?yàn)?/span>平面，所以.且，所以,且,所以,所以，所以,解得，所以，所以，所以取的三等分點(diǎn)為，且，連接，則有,平面,平面,所以平面,所以所作截面為平面,因?yàn)?/span>的相似比為，所以，所以，所以.20．過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)求的方程；(2)在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為定值.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)， 【分析】（1）先得到直線的斜率不為0，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，進(jìn)而由垂直得到向量數(shù)量積為0，列出方程，求出及拋物線方程；（2）假設(shè)點(diǎn)，使，結(jié)合第一問(wèn)得到，得到方程組，求出.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為1個(gè)，不合要求，舍去，故設(shè)直線的方程為，代入并整理得.設(shè)，則，由得，即，所以，即，故拋物線的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，使.由（1）知，所以化簡(jiǎn)可得：.因?yàn)樯鲜綄?duì)恒成立，所以，解得.所以在軸上存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為0.【點(diǎn)睛】圓錐曲線定值問(wèn)題，設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進(jìn)行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況，本題中由于直線l過(guò)點(diǎn)，故用含的式子來(lái)表達(dá)，計(jì)算上是更為簡(jiǎn)單，此時(shí)考慮的是直線斜率為0和不為0兩種情況.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，求曲線與的公切線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）代入，然后求出，進(jìn)而可得單調(diào)性求出最值；（2）代入，設(shè)出切點(diǎn)，求出切線方程，利用方程為同一直線，列方程組求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),，，令，得，令，得，求函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)上一點(diǎn)為，又，，函數(shù)上過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，即，設(shè)函數(shù)上一點(diǎn)為，又，過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，即，若與為同一直線，則，解得,公切線的方程為：.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，常數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的方程為.(1)寫(xiě)出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線和相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與直線相切，求的值.【答案】(1)的極坐標(biāo)方程為，，的直角坐標(biāo)方程為(2) 【分析】（1）消去參數(shù)得到的普通方程，再利用公式得到極坐標(biāo)方程，注意定義域，再求出的直角坐標(biāo)方程；（2）將代入的極坐標(biāo)方程，求出的坐標(biāo)，得到為直徑的圓的圓心和半徑，根據(jù)相切關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】（1）將曲線的參數(shù)方程消去，得的普通方程為，且因?yàn)?/span>，所以，將，，代入，得，即，，即為的極坐標(biāo)方程，由直線的方程化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，即為的直角坐標(biāo)方程.（2）將直線代入，得，即.故以為直徑的圓圓心為，半徑.圓心到直線的距離，由已知得，解得.23．設(shè)，已知函數(shù)的最小值為2.(1)求證：；(2)，求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由絕對(duì)值三角不等式求出，再利用基本不等式證明不等式；（2）由柯西不等式進(jìn)行證明【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由題意得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即.（2）由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào).故. 

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