2023屆河南省部分學(xué)校高三高考仿真適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知全集， 集合，，則（    ）A．{1} B．{5} C．{1，2，3，4} D．【答案】B【分析】解方程和不等式，得到，求出并集和補(bǔ)集.【詳解】解可得，故，的解為或2，故，則．故選：B2．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模的值為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡得到，進(jìn)而求出模長.【詳解】，故．故選：D3．已知是第二象限角，則點(diǎn)（，）所在的象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡再確定象限.【詳解】由題意知：，，進(jìn)而得到，，所以點(diǎn)（，）位于第三象限.故選：C4．關(guān)于橢圓C：，有下面四個(gè)命題：甲：長軸長為4；乙：短軸長為2；丙：離心率為；?。?/span>．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】先假設(shè)某兩個(gè)正確，則另兩個(gè)必有一個(gè)正確一個(gè)錯(cuò)誤，從而判斷出答案．【詳解】假設(shè)甲乙正確，則，，所以，所以，，可得到甲、乙、丙三個(gè)命題中，已知某兩個(gè)正確，均可推出第三個(gè)正確，故丁是假命題.故選：D5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是S，若，則m的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用循環(huán)語句研究數(shù)列的前99項(xiàng)和，利用裂項(xiàng)相消求和得到，得到．【詳解】由程序框圖可知，本題要求的是，即．故選：C6．我們可以把看作每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大約經(jīng)過m天后“進(jìn)步”的是“落后”的10倍，則m的值為（參考數(shù)據(jù)：，）（    ）A．100 B．115 C．230 D．345【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的聯(lián)系計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：，兩邊取常用對數(shù)可得，即．故選：B7．在正方體中，下列說法不正確的是（    ）A．直線與直線垂直B．直線與平面垂直C．三棱錐的體積是正方體的體積的三分之一D．直線與直線垂直【答案】D【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到AB正確；C選項(xiàng)，設(shè)出棱長，利用正方體體積減去四個(gè)三棱錐體積求出三棱錐的體積；D選項(xiàng)，求出異面直線的夾角為，D錯(cuò)誤.【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)樵谡襟w中，，，且，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，所以A，B正確；D選項(xiàng)，由正方體中的基本關(guān)系得到，而三角形是等邊三角形，故與所成角為，故直線與直線所成角為，所以D錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)棱長為1，則四棱錐的體積等于正方體體積減去4個(gè)三棱錐的體積，即，所以三棱錐的體積是正方體的體積的三分之一，C正確．故選：D8．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)λ的值為（    ）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】先計(jì)算出，由向量垂直得到方程，求解即可．【詳解】因?yàn)?/span>，，則，解得，故選：A9．棱長為2的正方體的外接球的球心為O，則四棱錐的體積為（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】求出到平面的距離，利用體積公式進(jìn)行求解.【詳解】正方體的外接球的球心為O，由對稱性可知O為正方體的中心，O到平面的距離為1，即四棱錐的高為1，而底面積為，所以四棱錐O-ABCD的體積為．故選：B10．已知等差數(shù)列滿足，若，則k=（    ）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?/span>，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，所以，則，即．故選：A11．已知函數(shù)的最小正周期為T，若，且的圖象關(guān)于對稱，則（    ）A． B．1 C．3 D．【答案】C【分析】先根據(jù)周期T的范圍確定ω的范圍，再利用對稱性確定ω的值，進(jìn)而求出的值即可．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，又因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于對稱，所以，，，所以，，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，滿足要求，其他均不合要求，所以．故選：C12．已知，且，則實(shí)數(shù)t的最小值為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先將化成，再利用函數(shù)在R上單調(diào)遞增得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值即可．【詳解】解：因?yàn)?/span>可化成，又因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，．故選：C. 二、填空題13．直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則=______．【答案】16【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可.【詳解】聯(lián)立方程解得或，不妨令，則，即．故答案為：1614．點(diǎn)滿足不等式組，若的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的值為______．【答案】-1【分析】畫出可行域，求出三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，分，，三種情況，利用中的z的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求出答案．【詳解】作出不等式組滿足的可行域如圖陰影部分，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，則三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，若，此時(shí)，此時(shí)取得最小值為1，不合題意，若，畫出目標(biāo)函數(shù)，如圖1，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故，解得，不合要求，若，畫出目標(biāo)函數(shù)，如圖2，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)或時(shí)，取得最小值，故，解得，滿足要求，故答案為：15．已知⊙C的圓心在直線上，且⊙C與y軸和直線均相切，則⊙C的半徑為______．【答案】【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>⊙C的圓心在直線上且⊙C與y軸相切，所以可設(shè)⊙C的圓心為，則其方程為，又因?yàn)?/span>⊙C與直線相切，所以可得，解之得，所以⊙C的半徑為．故答案為： 三、雙空題16．已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的圖像的對稱中心為______；若數(shù)列為等差數(shù)列，，則______．【答案】          8088【分析】對于空①，可通過構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)奇偶性的判斷方法可知為奇函數(shù)，再通過函數(shù)圖像平移變換，可得到關(guān)于點(diǎn)中心對稱；對于空②，利用等差數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的對稱性可得到，從而求出結(jié)果.【詳解】令，因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，又，所以的圖像可由的圖像先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到，所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱；因?yàn)?/span>，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，，得到，所以由等差數(shù)數(shù)列的性質(zhì)可得到，故點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，由函數(shù)的對稱性知，，又，所以． 故答案為：    8088 四、解答題17．某校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)其中有60名學(xué)生喜歡戶外運(yùn)動(dòng)，然后對他們進(jìn)行了一場體育測試，得到如下不完整的列聯(lián)表：項(xiàng)目喜歡戶外運(yùn)動(dòng)不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)合計(jì)體育測試成績非優(yōu)秀1015 體育測試成績優(yōu)秀   合計(jì)    (1)補(bǔ)全列聯(lián)表，并分別估計(jì)該校喜歡戶外運(yùn)動(dòng)和不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的學(xué)生體育測試成績優(yōu)秀的概率；(2)根據(jù)列聯(lián)表分析，能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生體育測試是否優(yōu)秀與喜歡戶外運(yùn)動(dòng)有關(guān)？附：，其中．0.1000.0500.0102.7063.8416.635  【答案】(1)列聯(lián)表見解析，喜歡和不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)學(xué)生成績優(yōu)秀概率分別為、(2)有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生體育測試成績是否優(yōu)秀與喜歡戶外運(yùn)動(dòng)有關(guān) 【分析】（1）數(shù)據(jù)分析，補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算出相應(yīng)頻率，估計(jì)出概率；（2）計(jì)算出卡方，與3.841比較，得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意得喜歡戶外運(yùn)動(dòng)且體育測試成績優(yōu)秀的有（人），補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：項(xiàng)目喜歡戶外運(yùn)動(dòng)不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)合計(jì)體育測試成績非優(yōu)秀101525體育測試成績優(yōu)秀502575合計(jì)6040100 抽查的100名學(xué)生中，喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的學(xué)生優(yōu)秀率為；不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的學(xué)生優(yōu)秀率為．所以可以估計(jì)該校喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的學(xué)生體育測試成績優(yōu)秀的概率為；不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的學(xué)生體育測試成績優(yōu)秀的概率為．（2）的觀測值，所以有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生體育測試成績是否優(yōu)秀與喜歡戶外運(yùn)動(dòng)有關(guān)18．在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，．(1)證明：平面⊥平面；(2)求四棱錐的體積與表面積．【答案】(1)證明見解析(2)體積為，表面積為 【分析】（1）作出輔助線，由等腰三角形三線合一得到，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到，證明出線面垂直，得到面面垂直；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到為四棱錐的高，由體積公式求出四棱錐的體積，得到△QAB和△QCD均為直角三角形，△QAD和△QCB均為等腰三角形，求出四個(gè)三角形面積，求出表面積.【詳解】（1）取AD的中點(diǎn)為O，連接QO，CO．因?yàn)?/span>，，則，而，，故．在正方形ABCD中，因?yàn)?/span>，故，故，因?yàn)?/span>，故，故為直角三角形且，因?yàn)?/span>，平面，故⊥平面，因?yàn)?/span>QO平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD．（2）取中點(diǎn)，連接，由（1）可知為四棱錐的高，且，底面正方形ABCD的邊長為2，所以四棱錐的體積，由（1）可知平面QAD⊥平面ABCD，又因?yàn)?/span>，AB平面ABCD，平面QAD平面，所以AB⊥平面QAD，又因?yàn)?/span>AQ平面QAD，QD平面QAD，所以，，故又，，故⊥，△QAB和△QCD均為直角三角形，△QAD和△QCB均為等腰三角形,其中，四邊形的面積為，三角形的面積為，三角形的面積為，，所以棱錐的表面積為．19．在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．(1)求△ACD的面積；(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）運(yùn)用正弦定理的面積公式及面積關(guān)系計(jì)算即可；（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積與模長關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】（1）由已知及正弦定理可得：，化簡得：．又因?yàn)椋?/span>，所以， 所以，所以△ACD的面積為．（2）由（1）可知，因?yàn)?/span>AE是△ABC的邊BC上的中線，所以，所以，所以△ABC的邊BC上的中線AE的長為．20．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線C過點(diǎn)，直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），直線AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線l與直線平行．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由離心率設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出答案；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，由兩直線傾斜角互補(bǔ)得到斜率之和為0，列出方程，求出，并證明出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C：的離心率為，所以雙曲線的方程可表示為，又因?yàn)殡p曲線C過點(diǎn)，所以，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)題意可知直線l的斜率一定存在，故可設(shè)直線l的方程為，將代入得，，所以，，又因?yàn)橹本€AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，Q點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所以，即，所以，所以，化簡得．又因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以直線l：與直線平行．【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，處理兩直線傾斜角互補(bǔ)或相等問題時(shí)，往往會(huì)轉(zhuǎn)化為斜率之和為0或斜率相等，進(jìn)而列出方程，代入計(jì)算即可.21．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，分與兩種情況，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）先結(jié)合（1）中函數(shù)單調(diào)性得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而證明出，得到結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以， 即， 又因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，即．【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題，通常會(huì)構(gòu)造差函數(shù)來進(jìn)行求解，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個(gè)變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），拋物線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l和拋物線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求直線l被拋物線C截得的弦長.【答案】(1)，；(2)． 【分析】（1）根據(jù)消參法將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的聯(lián)系將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線參數(shù)方程即幾何意義求弦長.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閽佄锞€C的極坐標(biāo)方程為，即，所以拋物線C的直角坐標(biāo)方程為；（2）將直線的參數(shù)方程代入拋物線的方程得，即，所以，所以截得的弦長為．23．已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)；（2）利用柯西不等式．【詳解】（1）因?yàn)?/span>a，b，c是正實(shí)數(shù)，所以，所以 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立），即；（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立 所以，即． 

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