2023屆吉林省通化市梅河口市第五中學高三第三次模擬考試數(shù)學試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式求出集合，根據(jù)集合交集運算求解.【詳解】由得 ，解得或，所以或，又，所以，故選：A2．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法計算即可求解.【詳解】所以，所以，故選：B.3．已知圓臺的母線長為4，上底面圓和下底面圓半徑的比為1：3，其側(cè)面展開圖所在扇形的圓心角為，則圓臺的高為（    ）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】首先畫出幾何體，根據(jù)幾何關(guān)系，求解圓臺的高.【詳解】如圖，將圓臺還原為圓錐，上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，底面圓周長為，因為圓臺的母線長為4，根據(jù)上下底面圓的半徑為為1：3，所以上圓錐的母線長為2，則圓臺所在圓錐的母線長為6，因為圓臺展開圖所在扇形的圓心角為，所以，得，如圖，圓臺的高故選：B4．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡為，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷各項.【詳解】對于A，當時，，單調(diào)遞增，A錯誤；對于B，當時，，沒有單調(diào)性，B錯誤；對于C，當時，，單調(diào)遞減，C正確；對于D，當時，，沒有單調(diào)性，D錯誤.故選：C5．已知，是雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線的右支上，設(shè)M到直線的距離為d，則的最小值為（    ）A．7 B． C．8 D．【答案】D【分析】用雙曲線第二定義與第一定義進行轉(zhuǎn)化，即可求得最小值.【詳解】根據(jù)雙曲線的第二定義，，又根據(jù)雙曲線的第一定義得，所以，所以當點M在雙曲線的右支頂點時達到最小值，由雙曲線方程得，所以.故選：D6．已知角的終邊過點，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義求出角的正弦，余弦與正切，進而利用正切二倍角公式求出，從而代入求值即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，，，故，.故選：A7．若過點可作曲線的兩條切線，則點可以是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點坐標為，利用導數(shù)寫出切線方程，將點的坐標代入切線方程，可得出關(guān)于的二次方程有兩個不等的實根，可得出，可得出，然后逐項檢驗可得出合適的選項.【詳解】設(shè)切點坐標為，對函數(shù)求導可得，所以，切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，即，將點的坐標代入切線方程可得，即，因為過點可作曲線的兩條切線，則關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)解，所以，，即，即，對于點，，A不滿足；對于點，，B不滿足；對于點，，C滿足；對于點，，D不滿足.故選：C.8．有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍色，3個紅色．采用放回方式從中隨機取2次球，每次取1個球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則（    ）A．甲與乙相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互獨立事件的定義判斷作答.【詳解】依題意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球兩次的試驗的基本事件總數(shù)是，顯然事件丙與丁是對立事件，兩次取出的球顏色相同含有的基本事件數(shù)為，事件丙的概率，事件丁的概率，對于A，事件甲與乙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為6，其概率，甲與乙相互獨立，A正確；對于B，事件甲與丙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為9，其概率，甲與丙不獨立，B錯誤；對于C，事件乙與丙同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為8，其概率，乙與丙不獨立，C錯誤；對于D，事件乙與丁同時發(fā)生所含的基本事件數(shù)為4，其概率，乙與丁不獨立，D錯誤.故選：A 二、多選題9．下列關(guān)于成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計說法正確的有（    ）A．若當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān)B．樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度C．通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)D．決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越差【答案】ABC【分析】根據(jù)正、負相關(guān)的意義即可判斷A；根據(jù)相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的意義即可判斷B，D；可以從殘差圖發(fā)現(xiàn)可疑數(shù)據(jù)，用殘差平方和判斷模型擬合效果即可判斷C.【詳解】對于A，如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關(guān)；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān)，故A正確；對于B，在回歸分析中，成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強，故B正確；對于C，殘差圖可以發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故C正確；對于D，在回歸分析中，可用決定系數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好，故D錯誤．故選：ABC．10．在中，，點在邊上，且，，則下列結(jié)論中正確的有（    ）A．B．當，C．當平分時，D．存在點使得是等腰三角形【答案】BCD【分析】由題意，可得.對于A，結(jié)合平面向量的基本定理即可求解；對于B，結(jié)合A可知，結(jié)合余弦定理可得，根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義即可求解； 對于C，由平分，可得，進而得到，，結(jié)合等腰三角形可得，再根據(jù)余弦定理即可求解；對于D，設(shè)，則，結(jié)合余弦定理可得，進而即可求解.【詳解】由題意，.對于A，，所以，故A錯誤；對于B，由A可知，，即，在，由余弦定理，可得，所以，即，故B正確；對于C，因為平分，所以，即，即，因為，所以，，由B可知，，又，所以，在中，由余弦定理可得，，即，解得即，故C正確；對于D，若，則是等腰三角形，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，，即，解得，故存在點，且時，使得是等腰三角形，故D正確.故選：BCD.11．已知，，點P滿足，則（    ）A．點P在以AB為直徑的圓上 B．面積的最大值為C．存在點P使得 D．的最小值為【答案】BCD【分析】設(shè)，根據(jù)題意可求得點P的軌跡方程為．再求得以AB為直徑的圓的圓心和半徑即可判斷A；根據(jù)題意求得直線AB的方程，再驗證圓P的圓心在直線AB的方程上，從而得到點P到直線AB的距離為圓P的半徑時，的面積最大，進而求解即可判斷B；根據(jù)，結(jié)合在直角三角形中，角對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，從而即可判斷C；設(shè)，則，再結(jié)合余弦定理可得，從而即可判斷D．【詳解】設(shè)，則，，又，則，化簡得，所以點P的軌跡方程為．對于A，以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為，故A錯誤；對于B，依題意可得直線AB的方程為，即，所以圓P的圓心在直線AB的方程上，所以點P到直線AB的距離為圓P的半徑時，的面積最大，所以面積的最大值為，故B正確；對于C，由，在直角三角形中，角對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，又，則點A在圓P內(nèi)，所以存在點P使得，此時，故C正確；對于D，設(shè)，則，由余弦定理有，所以，所以當，即時，有，故D正確．  故選：BCD．12．棱長為4的正方體的中心為O，球O的半徑為1，點P在球O球面上，記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，則（    ）A．存在點P使得 B．不存在點P使得C．存在點P使得 D．【答案】AD【分析】由于四棱錐和四棱錐的底面積相等，對于A,B,C只需分析兩棱錐的高之間的關(guān)系即可，對于D需要分析兩棱錐高之和的最大值，詳見解答.【詳解】如下圖，四棱錐和四棱錐的底面積相等，均等于16，取正方體的中截面EFGH，點P到平面和平面的距離不受P點前后平移的影響，故可等價認為P點在中截面截球的大圓及其內(nèi)部運動,建立平面直角坐標系如圖，可設(shè)，則易知 P到平面的距離，P到平面的距離，當時，，故A正確；令，則，即，化簡得，易知此方程一定有解，故B錯誤；令，則，即，化簡得，其中，易知 ，所以此方程無解，故C錯誤；又因為，而，則，故D正確.故選：AD. 三、填空題13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的值.【詳解】由于是奇函數(shù)，所以，所以，此時，經(jīng)驗證可知是奇函數(shù)，符合題意，所以的值為.故答案為：14．已知拋物線的焦點為F，斜率為1的直線l過F與C交于A，B兩點，AB的中點到拋物線準線的距離為8，則______．【答案】4【分析】得到直線線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，從而利用AB的中點到拋物線準線的距離列出方程，求出.【詳解】由題意得，準線方程為，則直線，與聯(lián)立得，設(shè)，則，則AB的中點到拋物線準線的距離為，解得.故答案為：415．點P在曲線上，點Q在曲線上，則的最小值為______．【答案】【分析】分別在點處作曲線的切線平行于直線和，利用導數(shù)意義求出點，根據(jù)點到直線距離公式即可求解．【詳解】如圖所示：分別在點處作曲線的切線平行于直線和則，所以點分別到直線和的距離為，的最小值為故答案為：16．分形幾何學的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．圖1是邊長為1的等邊三角形，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”……依此進行“n次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個長度不小于30的分形圖，則n的最小整數(shù)值是______．（取，）【答案】9【分析】依題意可得“每次分形”圖的長度可看成是首項為4，公比為的等比數(shù)列，從而可得到“n次分形”圖的長度為，列出不等式，結(jié)合，即可求解．【詳解】依題意可得“n次分形”圖的長度是“n-1次分形”圖的長度的，由“一次分形”圖的長度為，所以“每次分形”圖的長度可看成是首項為4，公比為的等比數(shù)列，所以“n次分形”圖的長度為，故，即，兩邊取對數(shù)得，所以，又，故n的最小整數(shù)值是9．故答案為：9． 四、解答題17．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式依次寫出，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（2）由（1）可寫出數(shù)列的表達式，根據(jù)裂項求和的方法可求出前n項和．【詳解】（1）由題意知，，，，，，…，，，從而．（2）由（1），所以．18．如圖，在正六棱錐中，，表面積為．(1)證明：平面平面PFC；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）通過證明平面PFC得到平面平面PFC．（2）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面PAD與平面PBD的法向量，用空間向量求夾角.【詳解】（1）證明：設(shè)O為正六邊形的中心，M為BC的中點，由正六邊形可知，，，，所以平面PFC，因為平面PAE，所以平面平面PFC．（2）設(shè)，連接OB，OM，PM，由，有，，所以，解得，以O為坐標原點，OM，OD，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，有，，，，故，從而平面PAD的一個法向量，設(shè)平面PBD的一個法向量為，由，，可得令，有，，所以，從而，由圖知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.19．近年來，憑借主旋律電影的出色表現(xiàn)，我國逐漸成為全球電影票房最高的市場．2022年十一期間熱映的某主旋律電影票房超過16億元．某研究性學習小組就是否看過該電影對影迷進行隨機抽樣調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表（單位：人）． 是否合計青年（30歲以下）45550中年（30歲（含）以上）351550合計8020100 (1)是否有99%的把握認為選擇看該電影與年齡有關(guān)？(2)將頻率視為概率，若從眾多影迷中隨機抽取10人，記其中看過該電影的人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望及方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828  【答案】(1)沒有99%的把握認為選擇看該電影與年齡有關(guān)；(2)，方差為 【分析】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出的值，即可得答案；(2)由題意可得看過該電影的頻率為且，根據(jù)期望和方差的公式求解即可.【詳解】（1）解：因為，所以沒有99%的把握認為選擇看該電影與年齡有關(guān)；（2）解：由題意知，看過該電影的頻率為，將頻率視為概率，則，所以隨機變量的數(shù)學期望為，方差為．20．在中，角所對的邊分別為，滿足．(1)求B；(2)若，點D在邊上，且，，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用兩角和差的余弦公式結(jié)合正弦定理邊化角化簡可得，即可求得答案;（2）在和中，分別利用余弦定理可得關(guān)于的方程，解方程組可得答案.【詳解】（1）由，即，由正弦定理可得，即，因為，故，，即,，故．（2）因為，，，所以在中，由余弦定理得，在和中，,即，聯(lián)立，解得，．21．已知橢圓的右焦點為F，點在橢圓E上，C關(guān)于y軸的對稱點為，且．(1)求橢圓E的方程；(2)直線AB過F（A點橫坐標小于1）與橢圓E交于A，B兩點，直線AC交直線于點M，證明：直線MF平分．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解的值，即可求解橢圓的標準方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理，將角的問題轉(zhuǎn)化成斜率問題，即可證明.【詳解】（1）由題意可知，解得；由，解得，所以橢圓E的標準方程為．（2）證明：設(shè)，不妨設(shè)，，聯(lián)立直線AB與橢圓E的方程有，由，得，整理得，從而有，．根據(jù)傾斜角間關(guān)系，．由于，故上式，所以，即直線MF平分．22．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點，，證明：．【答案】(1)(2)證明過程見詳解 【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而根據(jù)點斜式即可求解；（2）令，，得到有兩個零點等同于有兩個零點，，不妨設(shè)，再求，分和討論的單調(diào)性，從而求得在區(qū)間上單調(diào)性，再求得的取值范圍，再根據(jù)要證，只需證即可，再構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)其單調(diào)性即可證明結(jié)論．【詳解】（1）由題意知，當時，，則，則，所以，故過點的切線方程為．（2）由，，則令，，則有兩個零點等同于有兩個零點，，不妨設(shè)，所以，當時，，單調(diào)遞增，沒有兩個零點；當時，若，則；若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又有兩個零點，則，解得，得，又，，由，則，所以，故函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，由，則，則，要證，只需證，只需證，又，則，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，故，．【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理． 

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