?2023屆江蘇省常州市戚墅堰高級中學(xué)高三下學(xué)期3月一模模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（????）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【分析】解指數(shù)不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素個數(shù).
【詳解】由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有個元素.
故選：B.
【點睛】本小題主要考查指數(shù)不等式、分式不等式的解法，考查集合元素的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
2．設(shè)為復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，關(guān)于的方程有實數(shù)根，則復(fù)數(shù)的模的范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)是方程的實數(shù)根，易知，則，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合基本不等式計算即可求解.
【詳解】由題意知，設(shè)是方程的實數(shù)根，
則，若，則，等式不成立，
所以，有，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.
所以的取值范圍為.
故選：B.
3．若，，則（????）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)確定得到，根據(jù)得到，得到答案.
【詳解】，即，，故，
，故，故，故，
，，故．
故選：D
4．甲、乙兩名司機的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（????）
A．甲更合算 B．乙更合算
C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出甲乙兩次加油的平均單價，進而根據(jù)不等式即可求解.
【詳解】設(shè)兩次的單價分別是元/升，
甲加兩次油的平均單價為，單位：元/升，
乙每次加油升，加兩次油的平均單價為，單位：元/升，
因為，，，
所以，即，
即甲的平均單價低，甲更合算.
故選：A
5．設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)直線關(guān)于直線的對稱性求出直線AB關(guān)于對稱的直線方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計算即可求解.
【詳解】由題意知，直線AB的斜率為，
所以直線AB關(guān)于對稱的直線的斜率為，
故對稱直線的方程為，即，
由知，圓心為，半徑為1，
因為對稱直線與圓有公共點，
所以，整理，得，
解得，即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：A.
6．已知、是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，以為直徑作圓，直線與圓交于點（點不在橢圓內(nèi)部），則
A． B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】利用向量的數(shù)量積運算可得，利用，進一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進而得解.
【詳解】連接,設(shè)橢圓的基本量為，
,

故答案為：3.

【點睛】本題考查橢圓的定義與平面向量的數(shù)量積的運算，屬中檔題，關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積運算進行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合橢圓的定義計算.
7．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫成《計算之書》，其中第12章提出兔子問題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計算（????）

A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根據(jù)圖示規(guī)律和數(shù)列遞推關(guān)系即可求解.
【詳解】從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，
所以，
整理可得，

由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，

所以，
整理可得，
所以
故選：B
8．已知不等式的解集為，若中只有唯一整數(shù)，則稱A為“和諧解集”，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上存在“和諧解集”，則實數(shù)的可能取值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知可得.令，.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得.結(jié)合“和諧解集”的定義可知，唯一整數(shù)解只能是.進而得到實數(shù)的取值范圍，即可得出答案.
【詳解】當(dāng)時，原不等式可化為，整理可得；
當(dāng)時，原不等式可化為，整理可得.
所以不等式可化為.
令，，
則.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞，所以.
因為，所以.
又.
所以要使只有一個整數(shù)解，則唯一整數(shù)解只能是.
又因為點，是圖象上的點，
所以.
因為， ，，，所以實數(shù)的可能取值為.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：去絕對值后，根據(jù)的單調(diào)性，即可得到，進而得到，即可得到唯一整數(shù)解為.
9．在信息時代，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似的模擬某種信號的波形，則下列判斷中不正確的是（????）
A．函數(shù)為周期函數(shù)，且為其一個周期
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為4.
【答案】A
【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性、對稱性、導(dǎo)數(shù)與最值、誘導(dǎo)公式等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.
【詳解】依題意，
A選項，
，
所以不是的周期，A選項錯誤.
B選項，
，

，
所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，B選項正確.
C選項，
.

.
所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確.
D選項，，
由于，
所以，且，
所以的最大值是，D選項正確.
故選：A
【點睛】判斷的對稱中心、對稱軸，可利用代入驗證法，即若要判斷是函數(shù)的對稱中心，則有；若要判斷直線是函數(shù)的對稱軸，則有.

二、多選題
10．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，圓是以雙曲線的實軸為直徑的圓，過作圓的切線與交于、兩點若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)在雙曲線的兩支或雙曲線的一支進行分類討論，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)以及雙曲線的定義，先求得，然后求得.
【詳解】雙曲線，則，
圓是以雙曲線的實軸為直徑的圓，則圓方程為，
當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時，
設(shè)過的切線與圓相切于點，
則，，
因為，所以，
過點作于點，
所以，
因為為的中點，
所以，，
因為為銳角，
所以，
所以，
所以．

當(dāng)直線與雙曲線交于一支時，記切點為，
連接，則，，
過作于，則，
所以，
因為，
所以為銳角，
所以，
所以，
，
所以，
所以，解得，
所以．

綜上，或．
故選：AD．
11．已知點是圓錐的頂點，四邊形內(nèi)接于的底面圓，，，，，均在球的表面上，若，，，，球的表面積是，則（????）
A． B．平面
C．與的夾角的余弦值是 D．四棱錐的體積是
【答案】ACD
【分析】根據(jù)球的表面積公式，易得球的半徑對于，因為，所以，結(jié)合余弦定理及已知條件可求得；對于，利用反證法即可判定；對于，由正弦定理可求得底面圓的直徑，進而可求棱錐的高，從而可求，，再利用余弦定理求出與的夾角的余弦值；利用棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積，從而判斷．
【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，球的半徑為，
已知球的表面積是，則，則，
四邊形內(nèi)接于的底面圓，
設(shè)，則，
在中，由余弦定理可得，
? ，
在中，由余弦定理可得，
? ，
由可得，即，
所以，代入可得，所以A正確；
，
在中，由正弦定理可得，則，
設(shè)棱錐的高為，則，
所以，即與重合，
則，所以，
則中，，，
由余弦定理，，
所以與的夾角的余弦值是，所以C正確；
，所以D正確；
對于選項B，假設(shè)平面，
又有平面，平面平面，
則，而四邊形中，，，，
顯然不成立，故矛盾，
所以平面不成立，
所以B錯誤．
故選：ACD．
12．已知函數(shù)，若對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，總存在實數(shù)使得，則滿足條件的實數(shù)的可能值有（????）
A．1 B． C．0 D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)無最小值，利用導(dǎo)數(shù)分類討論、時，函數(shù)在內(nèi)最值情況，結(jié)合圖形判斷作答即可.
【詳解】函數(shù)定義域為，
因為，使得，
則函數(shù)在上沒有最小值.
對求導(dǎo)得：，
若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)值域為，則在內(nèi)無最小值，因此，.
若，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，顯然，即，
在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

當(dāng)時，有兩個根，不妨令，
當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，
即函數(shù)在，上都單調(diào)遞減，在，都單調(diào)遞增，
函數(shù)在與處都取得極小值，所以，不符合題意.
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意.
綜上得：實數(shù)的取值范圍是：，所以滿足條件的實數(shù)的可能值有-1，0，.
故選：BCD.
【點睛】圖象法判斷函數(shù)零點個數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)；
將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).

三、填空題
13．過氧化氫（）是一種重要的化學(xué)品，工業(yè)用途廣泛，通過催化和直接合成目前被認為是一種最有潛力替代現(xiàn)有生產(chǎn)方法的綠色環(huán)保生產(chǎn)途徑.在自然界中，已知氧的同位素有17種，氫的同位素有3種，現(xiàn)有由，及，，五種原子中的幾種構(gòu)成的過氧化氫分子，則分子種數(shù)最多為______________.
【答案】18
【分析】由分步乘法計數(shù)，再分類加法計數(shù)即可求.
【詳解】過氧化氫分子中有2個氧原子和2個氫原子，共4個原子.
構(gòu)成過氧化氫分子的氧原子可以從2種不同的氧原子中選出1種或2種，取法共有（種）；
構(gòu)成過氧化氫分子的氫原子可以從3種不同的氫原子中選出1種或2種，取法共有（種）.
因此構(gòu)成的過氧化氫分子的種數(shù)最多為.
故答案為：18.
14．過拋物線：焦點的直線交該拋物線于，，若，為坐標原點，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)，利用拋物線的定義結(jié)合圖形求解作答.
【詳解】解：拋物線的焦點，準線，，
依題意，不妨令點在第一象限，過作于，過作于，過作于，交軸于，如圖，

令，則，，
所以，，
因，則有，即，解得，因此，
所以.
故答案為：
15．設(shè)，，且，則當(dāng)取最小值時，______.
【答案】12
【分析】當(dāng)取最小值時，取最小值，變形可得，由基本不等式和等號成立的條件可得答案．
【詳解】解析：∵，，∴當(dāng)取最小值時，取得最小值，
∵，又，
∴，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
∴當(dāng)取最小值時，，，
∴，∴.
【點睛】本題考查基本不等式求最值，變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．

四、雙空題
16．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個半正多面體，亦稱“阿基米德體”．點A，B，M是該多面體的三個頂點，點N是該多面體外接球表面上的動點，且總滿足，若，則該多面體的表面積為______；點N軌跡的長度為______．

【答案】???? ????
【分析】分別算出每一部分的面積，即可求出該多面體的表面積；首先根據(jù)題干中找出點N的軌跡，然后代入公式即可求出長度.
【詳解】根據(jù)題意該正四面體的棱長為，點A，B，M分別是正四面體的棱三等分點.
該正四面體的表面積為
該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體，
每個角上小正四面體的側(cè)面積為
每個角上小正四面體的底面積為
所以該多面體的表面積為；

如圖，設(shè)點為該多面體的一個頂點，
則，.
在中，
則，所以，
，即，同理，
又，平面.
點N是該多面體外接球表面上的動點，由題可知，正四面體與半正多面體的外接球的球心相同，且總滿足，
點N的軌跡是的外接圓.
，，
在中，由余弦定理得，
，
設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理得

.
點N的軌跡長度為.
故答案為：；.
【點睛】本題的第一小空利用表面積公式即可求解，第二小空分析出正四面體與半正多面體的外接球的球心相同，才可以找出點N的軌跡.

五、解答題
17．已知數(shù)列的首項，前項和為，，，（）總是成等差數(shù)列.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求滿足不等式的正整數(shù)的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)3

【分析】（1）由已知可得，化簡得（），則有，兩式相減化簡可證得結(jié)論，
（2）由（1）將不等式化為，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況求解即可.
【詳解】（1）因為，，（）總是成等差數(shù)列，
所以（），
整理得（），
所以，
所以，
所以，
所以，
因為，
所以數(shù)列是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）可得，
因為，
所以，
所以，
當(dāng)為奇數(shù)時，，得，解得，
當(dāng)為偶數(shù)時，，得，解得，此時無解
綜上得正整數(shù)n的最小值為3.
18．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足，D為邊上的一個點．
(1)若的面積為，，求的長；
(2)若，，求的最大值及此時角C的大?。?br /> 【答案】(1)
(2)的最大值為，此時

【分析】（1）由正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換得，進而得，再根據(jù)的面積得，再利用余弦定理求解即可；
（2）由題知，進而在中利用正弦定理，再根據(jù)三角恒等變換得，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.
【詳解】（1）解：∵，
∴
∵
∴
∵，∴，即，
∵，
∴
∵的面積為，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，解得.
（2）解：∵由（1）知，
∴為正三角形，從而
在中，由正弦定理得
∴
∴



∵，∴
所以當(dāng)，即時，
19．如圖，在直棱柱中，底面四邊形為邊長為的菱形，，E為AB的中點，F(xiàn)為的中點.

(1)證明：平面；
(2)若點P為線段上的動點，求點P到平面的距離.
【答案】(1)證明見詳解；
(2).

【分析】（1）取BC的中點G，連接FG，EG，，證明平面平面，原題即得證；
（2）連接BD與AC相交于點O，利用求解.
【詳解】（1）證明：如圖，取BC的中點G，連接FG，EG，.
∵為的中點，E為AB的中點，∴，
因為平面,平面，所以平面.
∵為的中點，F(xiàn)為的中點，∴.
∵直棱柱，∴，
∴，
因為平面,平面，所以平面.
∵，平面，
∴平面平面.
又∵平面，∴平面.

（2）解：如圖，連接BD與AC相交于點O，
在中，，同理，
由菱形可知，，
在中，.
設(shè)點P到平面的距離為，由平面，可知點到平面的距離也為，
由，可得的面積為，的面積為.
有，，
由，有，可得，
故點到平面的距離為.

20．在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國企業(yè)依靠自身強大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動高速口罩生產(chǎn)機，“爭分奪秒、保質(zhì)保量”成為口罩生產(chǎn)線上的重要標語.

(1)在試產(chǎn)初期，某新型全自動高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢.已知批次I的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序
的次品率分別為，，.求批次I成品口罩的次品率.
(2)已知某批次成品口罩的次品率為，設(shè)100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進生產(chǎn)線后批次J的口罩的次品率.某醫(yī)院獲得批次I，J的口罩捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用.經(jīng)統(tǒng)計，正常佩戴使用這兩個批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求，并判斷是否有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)？
附：

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)
(2)0.01，有

【分析】（1）由批次Ⅰ成品口罩的次品率為求解；
（2）由100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率，利用導(dǎo)數(shù)得到的最大值點， 由條形圖建立列聯(lián)表，求得，再與臨界值表對照下結(jié)論.
【詳解】（1）解：批次Ⅰ成品口罩的次品率為
．
（2）100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率．
因此．
令，得．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以的最大值點為．
由（1）可知，，，故批次口罩的次品率低于批次Ⅰ，
故批次的口罩質(zhì)量優(yōu)于批次Ⅰ．
由條形圖可建立列聯(lián)表如下：
核酸檢測結(jié)果
口罩批次
合計


呈陽性
12
3
15
呈陰性
28
57
85
合計
40
60
100


．
因此，有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險有關(guān)．
21．如圖，拋物線：，過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，滿足，過拋物線準線上一點，作拋物線的切線，，且與拋物線交于點.

(1)求拋物線的方程；
(2)記的面積為，的面積為.求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）設(shè)則，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標表示列方程求參數(shù)p，即可得方程.
（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線有求參數(shù)關(guān)系，進而確定坐標，再寫出直線方程并聯(lián)立拋物線求坐標，寫出直線方程，應(yīng)用點線距離公式、三角形面積公式得到關(guān)于參數(shù)的表達式，即可求范圍.
【詳解】（1）設(shè)，，則，
聯(lián)立，
，

（2）設(shè)，
聯(lián)立，
，
，可得，
，聯(lián)立，
，
，而，
若分別表示到直線的距離，
則


，故.
22．已知函數(shù).
(1)求的圖象在處的切線方程；
(2)已知在上的最大值為，討論關(guān)于x的方程在內(nèi)的根個數(shù)，并加以證明.
【答案】(1)
(2)關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，證明見解析

【分析】（1）由函數(shù)解析式，求導(dǎo)，并求出該點處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)切線方程的求法，可得答案；
（2）由（1）分三種情況，求最值，建立方程，求得參數(shù)，分與，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，可得答案.
【詳解】（1）因為，所以，而
，所以的圖象在處的切線方程為，即.
（2）當(dāng)時，有，則.
當(dāng)時，，不符合題意；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，即，不符合題意；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
即，解得.
令，則在上單調(diào)遞增.
因為，所以在內(nèi)存在唯一的零點.
當(dāng)時，，
令，則，
所以當(dāng)時，有，則，即在上單調(diào)遞減，
因為，
所以在內(nèi)存在唯一零點，即，
所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，
所以有，即在內(nèi)無零點，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.
因為，所以在內(nèi)有且僅有一個零點.
綜上，關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根.
【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，對于導(dǎo)數(shù)的處理，一般采用分解因式與再次求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性與最值兩種方程，采用再次求導(dǎo)時，往往需要設(shè)一個零點，即為導(dǎo)函數(shù)極值點，求得導(dǎo)函數(shù)最值，可得原函數(shù)的單調(diào)性.

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