?2022屆江蘇省常州高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期一模適應(yīng)性考試（二）數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】把代入，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)分析即可
【詳解】集合，，
把代入，得，即，有唯一解，故集合中元素的個(gè)數(shù)為1．
故選：B
2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則“是偶函數(shù)”是“是偶函數(shù)”的（???????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的圖像性質(zhì)，結(jié)合充分，必要條件的定義進(jìn)行判斷
【詳解】偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)這一特征，若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，若是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)，所以“是偶函數(shù)”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件
故選：A
3．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（???????）
A． B．25 C． D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，借助二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)得的展開(kāi)式為，分析求解．
【詳解】∵
的展開(kāi)式為，
令，得，則，
令，得，則，
令，得，
∴的展開(kāi)式中的系數(shù)為.
故選：A．
4．已知角的終邊在直線(xiàn)上，則的值為（???????）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義分類(lèi)討論求解即可.
【詳解】由題知：
設(shè)角的終邊上一點(diǎn)，則.
當(dāng)時(shí)，，，，
.
當(dāng)時(shí)，，，，
.
故選：C
5．為了提高出行效率，避免打車(chē)?yán)щy的情況，越來(lái)越多的人選擇乘坐網(wǎng)約車(chē)．已知甲、乙、丙三人某天早上上班通過(guò)某平臺(tái)打車(chē)的概率分別為，，，且三人互不影響，那么甲、乙、丙3人中至少有2人通過(guò)該平臺(tái)打車(chē)的概率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】記甲、乙、丙通過(guò)該平臺(tái)打車(chē)分別為事件，，，則，，，然后利用算出答案即可.
【詳解】記甲、乙、丙通過(guò)該平臺(tái)打車(chē)分別為事件，，，
則，，，
所以甲、乙、丙3人中至少有2人通過(guò)該平臺(tái)打車(chē)的概率為

．
故選：D
6．復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組列車(chē)，是中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)車(chē)組的中文命名，由中國(guó)鐵路總公司牽頭組織研制、具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、達(dá)到世界先進(jìn)水平的動(dòng)車(chē)組列車(chē).2019年12月30日，智能復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組在京張高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車(chē)快，而且車(chē)內(nèi)噪聲更小.我們用聲強(qiáng)（單位：表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)（單位：與聲強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系式為，已知時(shí)，.若要將某列車(chē)的聲強(qiáng)級(jí)降低，則該列車(chē)的聲強(qiáng)應(yīng)變?yōu)樵晱?qiáng)的（???????）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】由題設(shè)可得，代入函數(shù)式，由指對(duì)數(shù)的關(guān)系有，進(jìn)而求聲強(qiáng)級(jí)降低的聲強(qiáng)，應(yīng)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求聲強(qiáng)的比值.
【詳解】由題設(shè)，，解得，則，
∴，要使聲強(qiáng)級(jí)降低，則，
∴.
故選：C
7．已知雙曲線(xiàn)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線(xiàn)的右支沒(méi)有公共點(diǎn).則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直線(xiàn)與漸近線(xiàn)的距離得到圓心到直線(xiàn)的距離為，再根據(jù)圓與雙曲線(xiàn)C的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，由求解.
【詳解】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，
又直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為：
，
即圓心到直線(xiàn)的距離為：,
因?yàn)閳A與雙曲線(xiàn)C的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，
所以，即，又,
所以雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查求解雙曲線(xiàn)離心率的范圍，對(duì)學(xué)生的理解與轉(zhuǎn)化能力要求較高，難度較難.涉及到和雙曲線(xiàn)某一支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意借助雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)進(jìn)行分析.解題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為漸近線(xiàn)與直線(xiàn)的距離大于等于圓的半徑.
8．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本題首先可根據(jù)題意得出函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)且，然后根據(jù)基本不等式得出，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，最后將不等式轉(zhuǎn)化為或，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且，
當(dāng)時(shí)，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
不等式可化為或，
，即，解得，
，即，解得，
故不等式的解集為，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，考查通過(guò)基本不等式求最值，考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，是難題.
二、多選題
9．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，.下列命題中正確的是（???????）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BC
【分析】對(duì)于A：取特殊值判斷A不成立；
對(duì)于B、C、D：直接利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算可得.
【詳解】對(duì)于A：取，滿(mǎn)足，但是不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí),有，又，所以,故B正確;
對(duì)于C：當(dāng)時(shí),則,所以,故C正確;
對(duì)于D：當(dāng)時(shí),則,可得.
因?yàn)?，所?故D錯(cuò)誤
故選：BC
10．棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（???????）
A． B．三棱錐的體積為定值
C． D．的最小值為
【答案】ABC
【分析】證明平面，可判斷A；由平面，可得點(diǎn)到平面的距離為定值，又為定值，可判斷B；計(jì)算的取值范圍可判斷C；結(jié)合C可判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，連接，由正方體可知，且平面，
而，又，所以平面，
而平面，所以，即，故A正確；


選項(xiàng)B，連接，，，，，，
由點(diǎn)，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，
得，平面，平面，
故平面，即點(diǎn)到平面的距離為定值，
又，，故為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故B正確；


選項(xiàng)C，連接，，由點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)，，
故，，
所以
，
當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，
故，即，，
故C正確；


選項(xiàng)D，
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．已知函數(shù)，若的最小正周期為，且對(duì)任意，均有，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．若，則
B．若，則
C．函數(shù)在區(qū)間上一定不存在零點(diǎn)
D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則
【答案】BD
【分析】先化簡(jiǎn)，再由函數(shù)的最小正周期確定的值，由可知在處取得最小值，從而得到與輔助角的關(guān)系，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)A，B的正誤；
由在處取得最小值以及函數(shù)的最小正周期，可確定函數(shù)在）以及，上的正負(fù)以及單調(diào)性，
從而得出函數(shù)以及的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)C，D的正誤．
【詳解】，
其中，，依題意可得，
于是，其中，．
因?yàn)?，即在處取得最小值，所以?br /> 所以．當(dāng)時(shí)，，
因此，，解得．故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br /> 所以，解得，故B選項(xiàng)正確；
由于在處取得最小值，且周期為，
所以當(dāng)時(shí)，，因此，
因此在區(qū)間上有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由于在處取得最小值，且周期為，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，
于是當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，
于是當(dāng)時(shí)，y單調(diào)遞增，
故，即，故D選項(xiàng)正確．
故選：BD
【點(diǎn)睛】解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題的一般步驟：
（1）將化為的形式；
（2）構(gòu)造；
（3）和角公式逆用，得（其中，）；
（4）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究的圖象與性質(zhì)．
12．已知A，B分別是橢圓（）的左?右頂點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為，，則（???????）
A．
B．若，則橢圓的方程為
C．若橢圓的離心率，則
D．的面積隨的增大而減小
【答案】BCD
【分析】利用斜率公式及橢圓方程可判斷A，利用條件及正弦定理可求，可判斷B，結(jié)合條件及的關(guān)系式可判斷C，由題可得，再利用導(dǎo)數(shù)可判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，，設(shè)，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，由正弦定理得，
∴，則，即，，從而，
因此，即，則橢圓方程為，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由B可知，，得，
∴，即，
又，，
所以，得，即，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)P作于D，則，，

故，即，
∴，，
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，則的面積隨的增大而減小，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)有兩條，則的取值范圍是________
【答案】
【解析】由過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)有兩條，得：P在圓外，列不等式可解.
【詳解】表示一個(gè)圓，
，
又由過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)有兩條，得：P在圓外，
所以，解得：或.
綜上所述：.
所以的取值范圍是.
故答案為: .
【點(diǎn)睛】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判斷方法:
（1）點(diǎn)與圓外；
（2）點(diǎn)與圓上；
（3）點(diǎn)與圓內(nèi)；
14．“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線(xiàn)上的數(shù)1，3，6，10，依次構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為_(kāi)_________．

【答案】
【分析】由累加法求出，再由裂項(xiàng)相消法求和即可
【詳解】設(shè)第個(gè)數(shù)為，
則，，，，…，，
疊加可得，
∴．
故答案為：
15．設(shè)直角，是斜邊上一定點(diǎn)．滿(mǎn)足，則對(duì)于邊上任一點(diǎn)P，恒有，則斜邊上的高是________．
【答案】
【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)結(jié)合可得，再根據(jù)三角形中的比例性質(zhì)求解即可
【詳解】取中點(diǎn)，則，同理，又，故，即恒成立，所以.作，則為中點(diǎn)，故，所以.又因?yàn)橹苯?，故，所以，即斜邊上的高?br />
故答案為：
16．已知函數(shù)，若的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，則m的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】由且，得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，畫(huà)出和的大致圖象，由圖可知，設(shè)為和的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合題意可知該整數(shù)為1，即，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)和時(shí)，即可求出求出的值，從而得出的取值范圍.
【詳解】由題可知，，，
由于的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，
即，即，
因?yàn)?，所以的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
畫(huà)出和的大致圖象，如圖所示：
要使得，可知，
設(shè)為和的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而的解集中恰有一個(gè)整數(shù)，可知該整數(shù)為1，即，
當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得，
即，，
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，
所以的取值范圍為.

故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)不等式的問(wèn)題，需要根據(jù)題意構(gòu)造不等式左右兩邊的函數(shù)，再分析單調(diào)性與函數(shù)圖象，進(jìn)而求得臨界值求得參數(shù)范圍，屬于難題
四、解答題
17．記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)?，所以，即?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> （2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br /> 當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，

而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡(jiǎn)得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線(xiàn)利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．

由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br /> 所以，
整理得．
又因?yàn)?，所以?br /> 即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)?，所以?br /> 以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)椋裕?br /> 由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線(xiàn)為y軸，
長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．

由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】
(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線(xiàn)作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.
18．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿(mǎn)足的的最大值.
【答案】（1）；（2）211
【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的定義求得等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（2）在任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2，則與之間的2的總和為，可以計(jì)算當(dāng)恰取到后的第個(gè)項(xiàng)時(shí)的，求得對(duì)應(yīng)的最大n值即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由題知，，
又，解得，
故.
（2）在任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2，則與之間的2的總和為，又由（1）易知等差數(shù)列是單增數(shù)列，故數(shù)列的前n項(xiàng)和是單增的，則求滿(mǎn)足的的最大值即找到使接近500的n值即可.
當(dāng)恰取到后的第個(gè)項(xiàng)時(shí)，
，，，
易知單增，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，又，
則當(dāng)時(shí)，去掉50個(gè)2即可得到的的最大值，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用數(shù)列定義求得首項(xiàng)和公差，求得通項(xiàng)；利用數(shù)列單調(diào)性及新數(shù)列對(duì)應(yīng)的規(guī)律性，求得最值問(wèn)題.
19．如圖，在四邊形中，，，，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（1）證明：平面；
（2）若為的中點(diǎn)，二面角等于60°，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）要證明線(xiàn)面垂直，需證明線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，利用垂直關(guān)系，關(guān)鍵證明；
（2）根據(jù)垂直關(guān)系可知，取AC的中點(diǎn)О，連接OM，OB，如圖以О為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法求線(xiàn)面角的正弦值．
【詳解】（1）因?yàn)?，，?br /> 所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所?br /> 又因?yàn)椋?br /> 所以平面
（2）因?yàn)?，?br /> 所以是二面角的平面角，即，
在中，，
取AC的中點(diǎn)О，連接OM，OB，因?yàn)椋?br /> 所以，由（1）知，平面，為的中位線(xiàn)，
所以，，即，，兩兩垂直，
如圖以О為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則由得令，得
所以，
所以直線(xiàn)PB與平面MBC所成角的正弦值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線(xiàn)面垂直，進(jìn)而確定線(xiàn)面角中的垂足，明確斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即可確定線(xiàn)面角；
2.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)是直線(xiàn)的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解．
20．某乒乓球教練為了解某同學(xué)近期的訓(xùn)練效果，隨機(jī)記錄了該同學(xué)局接球訓(xùn)練成績(jī)，每局訓(xùn)練時(shí)教練連續(xù)發(fā)個(gè)球，該同學(xué)每接球成功得分，否則不得分，且每局訓(xùn)練結(jié)果相互獨(dú)立，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，
①求該同學(xué)局接球訓(xùn)練成績(jī)的樣本平均數(shù)；
②若該同學(xué)的接球訓(xùn)練成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求的值；
（2）為了提高該同學(xué)的訓(xùn)練興趣，教練與他進(jìn)行比賽.一局比賽中教練連續(xù)發(fā)個(gè)球，該同學(xué)得分達(dá)到分為獲勝，否則教練獲勝.若有人獲勝達(dá)局，則比賽結(jié)束，記比賽的局?jǐn)?shù)為.以頻率分布直方圖中該同學(xué)獲勝的頻率作為概率，求.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，.
【答案】（1）①；②；（2）.
【分析】（1）①將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全部相加可得樣本平均數(shù)；
②計(jì)算得出，，可得出，利用參考數(shù)據(jù)可得結(jié)果；
（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】（1）①由頻率分布直方圖可得；
②可知，，則，，
所以，
；
（2）由頻率分布直方圖可知，在一局中，該同學(xué)得分達(dá)到分的概率為，
由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，
，，
，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：









因此，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知隨機(jī)變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知隨機(jī)變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)（，）進(jìn)行計(jì)算；
（3）若能分析出所給的隨機(jī)變量服從常用的分布（如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進(jìn)行計(jì)算.
21．已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)OA、OB分別交直線(xiàn)l：y=x﹣2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

【答案】（1）x2=4y
（2）當(dāng)t=﹣時(shí)，|MN|的最小值是
【詳解】（I）由題意可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為x2=2py（p＞0）則=1，解得p=2，故拋物線(xiàn)C的方程為x2=4y
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1
由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0
所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，從而有|x1﹣x2|==4
由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM===，
同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為xN=
所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=
令4k﹣3=t，t不為0，則k=
當(dāng)t＞0時(shí)，|MN|=2＞2
當(dāng)t＜0時(shí)，|MN|=2=2≥
綜上所述，當(dāng)t=﹣時(shí)，|MN|的最小值是
22．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；
（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，見(jiàn)解析.
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線(xiàn)斜率，從而可得切線(xiàn)方程；
（2）定義域是，在時(shí)直接由函數(shù)的解析式確定無(wú)零點(diǎn)（需用導(dǎo)數(shù)證明），在時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)，得單調(diào)性，確定函數(shù)的最大值為，根據(jù)的正負(fù)分類(lèi)討論．在時(shí)，通過(guò)證明和，得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，
所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ①當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，，令，得，令，
得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值．
當(dāng)，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)．
當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)，即時(shí)，，，
令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
因此當(dāng)時(shí)，，．
因?yàn)?，所以，于是?br /> 又在上單調(diào)遞增，，且，所以在上有唯一零點(diǎn)．
，
當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以在上單調(diào)遞增，，
故當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，即?br /> 所以．
由，得，即，得，于是．
又，，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點(diǎn)．故時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
③當(dāng)時(shí)，由，得，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，無(wú)零點(diǎn)．
綜上可知，或時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解題關(guān)鍵是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由確定單調(diào)性和最值，本題在最大值的情況下，通過(guò)證明和，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．難度較大，對(duì)學(xué)生的要求較高，屬于困難題．

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