上海市徐匯區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、填空題1．已知集合，，則_________.2．若角的終邊過點(diǎn)，則的值為_____________.3．抽取某校高一年級(jí)10名女生，測(cè)得她們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：163  165  161  157  162  165  158  155  164  162，據(jù)此估計(jì)該校高一年級(jí)女生身高的第25百分位數(shù)是__________.4．命題“若，則”是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.5．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則______．6．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為___________.7．如圖所示，圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為_________.8．若，，則_________.9．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過F且與x軸垂直的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，則F到雙曲線的漸近線距離為_________.10．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加高中社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，高中社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)共有博物館講解、養(yǎng)老院慰問、交通宣傳、超市導(dǎo)購四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件A為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)交通宣傳項(xiàng)目，則_________.11．已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.12．已知數(shù)列滿足：對(duì)于任意有，且，，其中.若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_________. 二、單選題13．設(shè)，則是為純虛數(shù)的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（    ）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差15．設(shè)函數(shù)，現(xiàn)有如下命題，①若方程有四個(gè)不同的實(shí)根、、、，則的取值范圍是；②方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)只能是1，2，3，8.下列判斷正確的是（    ）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題16．如圖：棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?/span>O，E、F分別是棱AB和棱的中點(diǎn)，G在棱BC上移動(dòng)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（    ）①存在點(diǎn)G，使OD垂直于平面；②對(duì)于任意點(diǎn)G，OA平行于平面EFG；③直線被球О截得的弦長(zhǎng)為；④過直線EF的平面截球О所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為.A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答題17．雅言傳承文明，經(jīng)典滋潤人生，中國的經(jīng)典詩文是中華民族精神文明的重要組成部分.某社區(qū)擬開展“誦讀國學(xué)經(jīng)典，積淀文化底蘊(yùn)”活動(dòng).為了調(diào)查不同年齡人對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)所持的態(tài)度，研究人員隨機(jī)抽取了300人，并將所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示.分組區(qū)間人數(shù)30751056030支持態(tài)度人數(shù)2466904218(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度有關(guān)； 年齡在50周歲及以上年齡在50周歲以下總計(jì)支持態(tài)度人數(shù)   不支持態(tài)度人數(shù)   總計(jì)   (2)以（1）中的頻率估計(jì)概率，若在該地區(qū)所有年齡在50周歲及以上的人中隨機(jī)抽取4人，記為4人中持支持態(tài)度的人數(shù)，求的分布以及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：參考公式：18．已知向量，，函數(shù).(1)設(shè)，且，求的值；(2)在中，，，且的面積為，求的值.19．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E，F分別在，，且，.設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的大?。?/span>（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求的值.20．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線：與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方），與y軸交于點(diǎn)E.(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A為橢圓C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，求的周長(zhǎng)；(2)當(dāng)且直線過點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，求證：為定值，并求出該值；(3)若橢圓的離心率為，當(dāng)為何值時(shí)，恒為定值；并求此時(shí)面積的最大值.21．已知常數(shù)為非零整數(shù)，若函數(shù)，滿足：對(duì)任意，，則稱函數(shù)為函數(shù).(1)函數(shù)，是否為函數(shù)﹖請(qǐng)說明理由；(2)若為函數(shù)，圖像在是一條連續(xù)的曲線，，，且在區(qū)間上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記、為函數(shù)的最大、小值，求的取值范圍；(3)若，，且為函數(shù)，，對(duì)任意，恒有，記的最小值為，求的取值范圍及關(guān)于的表達(dá)式.
參考答案：1．/【分析】首先求集合，再求.【詳解】，，所以.故答案為：2．【分析】由題意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函數(shù)的定義可得 ，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入即可求解．【詳解】解：∵角α的終邊過點(diǎn)P（4，﹣3），則 x＝4，y＝﹣3，r＝5，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】計(jì)算，確定從小到大第個(gè)數(shù)即可.【詳解】，第25百分位數(shù)是從小到大第個(gè)數(shù)為.故答案為：4．【分析】由解得或，則能推出或成立，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得：，解得：或，“若，則”是真命題，則能推出或成立，則.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：5．10【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，將，轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，故答案為：.6．【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)，若，，，的方差為，則，，的方差為，計(jì)算即得答案.【詳解】根據(jù)題意，一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差，則數(shù)據(jù)，，，的方差為；故答案為：.7．/【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：，所以，所以圓錐的高.故圓錐的體積為：.故答案為：.8．【分析】賦值，和，即可求解.【詳解】令，，令，，所以.故答案為：9．/【分析】取，解得，根據(jù)面積得到，解得漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】取，則，解得，故，即，解得或（舍），，不妨取漸近線方程為，即，到漸近線的距離為.故答案為：10．【分析】直接利用條件概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，故.故答案為：11．【分析】根據(jù)討論函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，最后根據(jù)最值確定的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，因此滿足題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，則，，所以，，，，，，或或；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，；綜上，的取值范圍為.故答案為：12．【分析】對(duì)求導(dǎo)，可證得是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求出，再由并項(xiàng)求和法求出.【詳解】因?yàn)?/span>，則，由，，可得，，所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，，則，所以，所以.故答案為：13．B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的特征，復(fù)數(shù)的概念，以及充分條件與必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于復(fù)數(shù)，若，則不一定為純虛數(shù)，可以為；反之，若為純虛數(shù)，則，所以是為純虛數(shù)的必要非充分條件.故選：B.14．B【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B. 15．C【分析】首先畫出函數(shù)的圖象.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得，根據(jù)得，從而求得的取值范圍，進(jìn)而判斷出命題①的真假；先根據(jù)方程求出的根，再對(duì)根的大小分類討論，并結(jié)合的圖象判斷出根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷出命題②的真假.【詳解】當(dāng)時(shí)，，圖象為拋物線的一部分，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)為，過和；當(dāng)時(shí)，，圖象過，如圖所示.對(duì)于①，當(dāng)方程有四個(gè)不同的實(shí)根、、、時(shí)，不妨假設(shè)，則，，且，，所以，所以.因此，，所以，故①為真命題.對(duì)于②，方程等價(jià)于且，所以或.當(dāng)時(shí)，，由的圖象得有2個(gè)不同實(shí)根，有4個(gè)不同實(shí)根，故原方程有6個(gè)不同實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，由的圖象得有3個(gè)不同實(shí)根，故原方程有3個(gè)不同實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，由的圖象得有4個(gè)不同實(shí)根，有2個(gè)不同實(shí)根，故原方程有6個(gè)不同實(shí)根；當(dāng)時(shí)，，由的圖象得有1個(gè)實(shí)根，故原方程有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)且時(shí)，且，由的圖象得有1個(gè)實(shí)根，有1個(gè)實(shí)根，故原方程有2個(gè)不同實(shí)根；綜上所述，方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)可能是1，2，3，6.故②為假命題.故選：C16．D【分析】①當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，證明平面；②當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，在平面上，在平面外，說明不成立；③點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)；④當(dāng)垂直于過的平面，此時(shí)截面圓的面積最小，利用③的結(jié)果求圓的面積.【詳解】當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，， ，平面，平面，平面平面，平面，，同理，，平面,所以平面，即平面，故①正確； 當(dāng)與重合時(shí)，在平面上，在平面外，故②不正確；如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，由勾股定理可知易知，球心到距離為，則被球截得的弦長(zhǎng)為故③正確；當(dāng)垂直于過的平面，此時(shí)截面圓的面積最小，此時(shí)圓的半徑就是，面積為，故④正確.故選：D.17．(1)列聯(lián)表、答案見解析(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，并計(jì)算，并和參考數(shù)據(jù)，比較后即可判斷；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布求概率，再求分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）完成列聯(lián)表如下， 年齡在50周歲及以上年齡在50周歲以下總計(jì)支持態(tài)度人數(shù)60180240不支持態(tài)度人數(shù)303060總計(jì)90210300提出原假設(shè)年齡與所持態(tài)度無關(guān)，確定顯著性水平，，，從而否定原假設(shè)，故有95%的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性.（2）依題意，服從二項(xiàng)分布，故，,,,,所以分布列如下表，1234所以.18．(1)或(2) 【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，代入數(shù)據(jù)得到，得到，根據(jù)范圍得到答案.（2）確定，根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，得到，再根據(jù)正弦定理得到答案.【詳解】（1）. ，得，故，，故或.（2）， 由（1）知，在中，設(shè)內(nèi)角、的對(duì)邊分別是，則，故.由余弦定理得，故.解得 或，于是，由正弦定理得 ，故.19．（1）60°（2）【分析】（1）推導(dǎo)出平面ABC，AC，建立分別以AB，AC，為軸的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量能求出異面直線AE與所成角．（2）推導(dǎo)出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量，由平面平面，能求出的值．【詳解】解：因?yàn)橹比庵?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，，又因?yàn)?/span>，所以建立分別以，，為軸的空間直角坐標(biāo)系.（1）設(shè)，則，，各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，.，.因?yàn)?/span>，， 所以.所以向量和所成的角為120°，所以異面直線與所成角為60°；（2）因?yàn)?/span>，，，設(shè)平面的法向量為，則，且.即，且.令，則，.所以是平面的一個(gè)法向量.同理，是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，，解得.所以當(dāng)平面平面時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的大小、實(shí)數(shù)值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．(1)(2)證明見解析，(3)； 【分析】（1）的周長(zhǎng)為，計(jì)算得到答案.（2）確定橢圓和直線方程，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)向量的關(guān)系得到，代入化簡(jiǎn)得到答案.（3）根據(jù)離心率得到橢圓方程，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)和為定值得到，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式結(jié)合均值不等式計(jì)算得到最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，橢圓：，的周長(zhǎng)為；（2）當(dāng)且直線過點(diǎn)時(shí)，橢圓：，直線斜率存在，，聯(lián)立，消去得：，恒成立，設(shè)，，則 ， 由，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，考慮向量橫坐標(biāo)得到，， 從而， ，所以為定值3；（3），解得，故橢圓方程，聯(lián)立， 消元得，，即，設(shè)，，則，， 則，當(dāng) 為定值時(shí)，即與無關(guān)，故，得，此時(shí)，又點(diǎn)到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)成立，所以面積的最大值為1 .【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，定值問題，面積的最值的問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，此方法是考試的?？挤椒ǎ枰炀氄莆?/span>.21．(1)是，理由見解析(2)(3)， 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義，即可證明；（2）分為在區(qū)間上僅存的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)討論單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，列式求解；（3）首先根據(jù)函數(shù)是函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參變分離后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，并求.【詳解】（1）是函數(shù)，理由如下，對(duì)任意，，，故（2）（ⅰ）若為在區(qū)間上僅存的一個(gè)極大值點(diǎn)，則在嚴(yán)格遞增，在嚴(yán)格遞減，由，即，得，又，，則，（構(gòu)造時(shí)，等號(hào)成立），所以；（ⅱ）若為在區(qū)間上僅存的一個(gè)極小值點(diǎn)，則在嚴(yán)格遞減，在嚴(yán)格增，由，同理可得，又，，則，（構(gòu)造時(shí)，等號(hào)成立），所以；綜上所述：所求取值范圍為；（3）顯然為上的嚴(yán)格增函數(shù)，任意，不妨設(shè)，此時(shí)，由為函數(shù)，得恒成立，即恒成立，設(shè)，則為上的減函數(shù)，，得對(duì)恒成立，易知上述不等號(hào)右邊的函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，所以的取值范圍為，此時(shí)，法1：當(dāng)時(shí)，即，由，而，所以為上的增函數(shù)，法2：，因?yàn)?/span>，當(dāng)，，所以為上的增函數(shù)，由題意得，，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義，以及理由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，不等式的綜合應(yīng)用問題，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的定義，并結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，不等式關(guān)系，進(jìn)行推論論證. 

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