2021～2022學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)2022.5注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故選：B.2. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求解對數(shù)不等式得到集合，進(jìn)而結(jié)合補(bǔ)集和交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：A.3. 已知向量，滿足，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A. 2 B.  C. 4 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，依題意，則，故選：C.4. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求得參數(shù)a的值，再去求不等式的解集【詳解】因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，即解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.則由，可得故的解集為，故選：B.5. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式化簡，然后再化弦為切即可得解.【詳解】解：由得，,所以,解得.故選：A.6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，，的漸近線分別交于A，C和B，D四點(diǎn)，若多邊形為正六邊形，則與的離心率之和為（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正六邊形的幾何性質(zhì)以及離心率即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎噙呅?/span>為正六邊形，設(shè)正六邊形的邊長為，所以，∴，∴，∴，故選：C.7. 已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，則，，，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)，，的圖象，由此判斷答案．【詳解】設(shè)，，則，，， 在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)，，的圖象，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可以看出，不可能出現(xiàn)這種情況，故選：．8. 隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（    ）A. A與B為對立事件 B. A與C互斥C. A與C相互獨(dú)立 D. B與C相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出、、、、，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故與互斥不對立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（    ）A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B. 函數(shù)圖象的一條對稱軸是C. 若，則函數(shù)的最小值為D. 若，，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，判斷A不正確；根據(jù)判斷B正確；求出函數(shù)在上的值域可判斷C正確；根據(jù)函數(shù)的最大值，結(jié)合推出，再根據(jù)的最小正周期為可得的最小值為，可得D正確.【詳解】在的圖象上取一點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)不在的圖象上，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故A不正確；因?yàn)?/span>，所以函數(shù)圖象的一條對稱軸是，故B正確；若，則，所以，故C正確；因?yàn)?/span>，所以，所以，故D正確.故選：BCD10 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】由二項(xiàng)分布的均值知求得，即可判斷A，B，進(jìn)一步求出，又根據(jù)服從正態(tài)分布可求得，,即可判斷C，D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即A錯(cuò)誤，B正確；易知，因?yàn)?/span>，所以，所以，即C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.11. 已知定義在上的函數(shù)，則（    ）A. 任意，，，均能作為一個(gè)三角形的三條邊長B. 存在，使得，，不能作為一個(gè)三角形的三條邊長C. 任意，，，均不能成為一個(gè)直角三角形的三條邊長D. 存在，使得，，能成為一個(gè)直角三角形的三條邊長【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在定義區(qū)間上的最值，再結(jié)合構(gòu)成三角形、直角三角形的條件判斷作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，任意，不妨令，則，即，，均能作為一個(gè)三角形的三條邊長，A正確，B錯(cuò)誤；取，滿足，則，顯然有，即，，為邊的三角形是直角三角形，C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD12. 已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過，，三點(diǎn)，則（    ）A. 平面平面B. 平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形C. 當(dāng)與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為D. 存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，證明，從而證明出平面，進(jìn)而證明面面垂直；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，畫出平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形是五邊形；C選項(xiàng)，作出與A重合時(shí)的平面，求出外接球半徑，得到截面面積；D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的大小.【詳解】因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，底面ABCD為正方形，所以，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，即A正確；當(dāng)時(shí)，畫出平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形如下圖：其中F線段上，G在上，BP∥EG，BE∥PF，可知交線圍成的圖形為五邊形，即B錯(cuò)誤；如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線為，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面ABEF的法向量為，則有，令，則，則球心到平面的距離，此正四棱柱的外接球半徑為，所以截面半徑，則截面積，
 即C正確；設(shè)，，則平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，所以不存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為，即D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】求解直線與平面夾角的取值范圍或平面之間夾角的取值范圍問題，建立空間直角坐標(biāo)系可以很好的將抽象的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題進(jìn)行解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 展開式中常數(shù)項(xiàng)是_____________________．【答案】-40【解析】【詳解】解析過程略14. 已知圓錐同時(shí)滿足條件：①側(cè)面展開圖為半圓；②底面半徑為正整數(shù)，請寫出一個(gè)這樣的圓錐的體積_______.【答案】（其它合理答案也行）【解析】【分析】設(shè)底面半徑，母線長為，側(cè)面展開圖是半圓，必須滿足，即，故，即可滿足題意，據(jù)此在求體積.【詳解】設(shè)底面半徑，母線長為，由展開圖為半圓，可知，所以，所以高，則體積.故答案為：（其它合理答案也行）15. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：與圓：交于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則實(shí)數(shù)的值是_______.【答案】##-125【解析】【分析】結(jié)合作圖，可求得直線的斜率，以及原點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得答案.【詳解】由題意可知在圓上， 如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為H，連接PH,則PH過點(diǎn)O,且 ,設(shè)直線l的斜率為k, 則 ,故即為，因?yàn)?/span>為正三角形，則O點(diǎn)為的中心，則，故 ，解得 ，結(jié)合在圓上，是圓的內(nèi)接正三角形，可知 ，即.故答案為：16. 第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡稱ICME-14）于2021年7月在上海舉辦，會(huì)徽的主題圖案（如圖）有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的燦爛文明，其右下方的“卦”是用中國古代的計(jì)數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)字3745.八進(jìn)制有0～7共8個(gè)數(shù)字，基數(shù)為8，加法運(yùn)算時(shí)逢八進(jìn)一，減法運(yùn)算時(shí)借一當(dāng)八.八進(jìn)制數(shù)字3745換算成十進(jìn)制是，表示的舉辦年份.設(shè)正整數(shù)，其中，.記，，則_______；當(dāng)時(shí)，用含的代數(shù)式表示_____.【答案】    ①. 2；    ②. .【解析】【分析】結(jié)合進(jìn)制轉(zhuǎn)換即可求出，進(jìn)而求出，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以；易知，且，所以.故答案為：2；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，角化邊，得到，利用余弦定理，求得答案；（2）利用余弦定理結(jié)合求得，利用三角形面積公式，求得答案.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，在中，由正弦定理可得，化簡得，所以.又因?yàn)?/span>，所以.【小問2詳解】由余弦定理，得因?yàn)?/span>，所以將代入上式，解得，所以的面積.18. 在①，；②，；③，三個(gè)條件中選擇合適的一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且_____.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求使取得最大值時(shí)的值.【答案】（1），    （2）的值為3或4【解析】【分析】（1）由，得到，再根據(jù)求解；選①，根據(jù)，，兩式相除得到q求解；選②，由，得到，再結(jié)合求解；選③，由，得，再結(jié)合求解.（2）由（1）得到，再利用作差法，由其單調(diào)性求解.【小問1詳解】解：由，又因?yàn)?/span>，所以，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，選①，因?yàn)?/span>，，所以，又，所以，所以，若選②，，所以，，即，所以或，因?yàn)?/span>，所以，則.若選③，由，得，又，解得，因?yàn)?/span>，所以，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)或2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以使得取得最大值時(shí)的值為3或4.19. 如圖，在四棱錐中，已知四邊形為菱形，，為正三角形，平面平面.（1）求二面角的大小；（2）在線段SC（端點(diǎn)S，C除外）上是否存在一點(diǎn)M，使得？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）45°    （2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）取AD中點(diǎn)O，連接SO，BO，由分析知，再由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面，所以進(jìn)一步可得，OA，OB，OS兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面和平面的法向量，由此計(jì)算出面面角的余弦值，進(jìn)而求得二面角的大小.（2）求出的坐標(biāo)，表示出，由知，代入解得，矛盾，故不存在.【小問1詳解】取AD中點(diǎn)O，連接SO，BO，因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， 平面，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，則，，因?yàn)?/span>，，所以，所以OA，OB，OS兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，可得，設(shè)二面角為，則，易知二面角為銳角，則.【小問2詳解】設(shè)，，，則，，，，，由，解得，矛盾，故不存在.20. 某食品企業(yè)與甲、乙兩超市簽訂了長期供應(yīng)某種海鮮罐頭的合同，每月供應(yīng)一次，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：①每家超市的月需求量都只有兩種：400件或600件，且互相不受影響；②甲、乙兩超市的月需求量為400件的概率分別為，.（1）求兩超市的月需求總量為1000件的概率；（2）已知企業(yè)對此罐頭的供貨價(jià)格為30元／件，生產(chǎn)此罐頭的成本為：800件內(nèi)（含800）為20元／件，超過800件但不超過1000件的部分為15元／件，超過1000件的部分為10元／件.企業(yè)擬將月生產(chǎn)量X（單位：件）定為800或1000或1200.若兩超市的月需求總量超過企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月生產(chǎn)量供貨，若兩超市的月需求總量不超過企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月需求總量供貨.為保障食品安全，若有多余罐頭企業(yè)每月自行銷毀，損失自負(fù).請你確定的值，使該企業(yè)的生產(chǎn)方案最佳，即企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤的數(shù)學(xué)期望最大，并說明理由.【答案】（1）    （2）時(shí)，該企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤的數(shù)學(xué)期望最大，理由見解析【解析】【分析】（1）確定兩超市需求量為400件或600件的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，可求答案；（2）分別計(jì)算企業(yè)生產(chǎn)量為800,1000,1200件時(shí)的利潤的期望值，比較可得答案.【小問1詳解】由題意得，甲超市需求量為400件或600件的概率分別為，，乙超市需求量為400件或600件的概率分別為，，故兩超市的月需求總量為1000件的概率；【小問2詳解】記兩超市月需求總量為，則，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)800件沒有剩余，故（元）；當(dāng)時(shí)，（元）；當(dāng)時(shí)，（元）；則當(dāng)時(shí)，該企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤的數(shù)學(xué)期望最大.21. 已知函數(shù)，函數(shù)，其中.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）證明：曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，理由見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)，題設(shè)等價(jià)于證明函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，對求導(dǎo)得，設(shè)，對求導(dǎo)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再討論，，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可證明.小問1詳解】，則函數(shù)上單調(diào)遞增.【小問2詳解】設(shè)，題設(shè)等價(jià)于證明函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，故此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)且時(shí)，，，則，函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上即證.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性問題，以及證明曲線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，在解決曲線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，本題是一道難題.22. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA，OB，l于點(diǎn)P，Q，N.（1）判斷線段PM與NQ長度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上，求直線AB斜率的取值范圍.【答案】（1），證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，，，，由于，，三點(diǎn)共線可得：，設(shè)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出的長度，即可得出.（2）若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上即，代入即可求出，，，即可求出斜率.【小問1詳解】設(shè)，，，則，，由于，，三點(diǎn)共線，則，整理得，，則，同理可得則，，則，即證.【小問2詳解】若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上即，則，化簡得，又因?yàn)?/span>，則，，則直線斜率的取值范圍為：.   

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