?江蘇省南京市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．已知R為實數(shù)集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，則A∩（）＝（???????）
A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．
2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（1－i）＝4－3i，則|z|＝（???????）
A． B． C． D．
3．為慶祝中國共青團成立100周年，某校計劃舉行慶祝活動，共有4個節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個，則節(jié)目安排的方法數(shù)為（???????）
A．9 B．18 C．24 D．27
4．函數(shù)的部分圖象大致是（???????）
A． B．
C． D．
5．我們知道，任何一個正整數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．當(dāng)n≥0時，N是一個n＋1位數(shù)．已知lg5≈0.69897，則5100是（???????）位數(shù)．
A．71 B．70 C．69 D．68
6．（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N*）的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，則a的值為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的圖象與y軸的交點為M（0，1），與x軸正半軸最靠近y軸的交點為N（3，0），y軸右側(cè)的第一個最高點與第一個最低點分別為B，C．若△OBC的面積為（其中O為坐標(biāo)原點），則函數(shù)f（x）的最小正周期為（???????）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知，若?x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，則實數(shù)m的取值范圍是（???????）
A．（－1，＋∞） B．
C．（0，＋∞） D．
二、多選題
9．設(shè)，a∈R，則下列說法正確的是（???????）
A．
B．“a＞1”是“”的充分不必要條件
C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分條件
D．$a∈（3，＋∞），使得P＜3
10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，則下列說法正確的是（???????）
A．若，則點在圓外
B．圓與軸相切
C．若圓截軸所得弦長為，則
D．點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為
11．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每次結(jié)果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結(jié)果等可能．記事件A表示“3次結(jié)果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次結(jié)果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次結(jié)果中沒有正面向上”，則（???????）
A．事件B與事件C互斥
B．
C．事件A與事件B獨立
D．記C的對立事件為，則
12．在一個圓錐中，D為圓錐的頂點，O為圓錐底面圓的圓心，P為線段DO的中點，AE為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是（???????）
A．BE∥平面PAC
B．PA⊥平面PBC
C．在圓錐側(cè)面上，點A到DB中點的最短距離為
D．記直線DO與過點P的平面α所成的角為θ，當(dāng)時，平面α與圓錐側(cè)面的交線為橢圓
三、填空題
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是直線3x＋2y＋1＝0上任意一點，則向量與向量＝（3，2）的數(shù)量積為__________．
14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列 的通項公式： __________．
（1）數(shù)列是無窮等比數(shù)列；（2）數(shù)列不單調(diào)；（3）數(shù)列單調(diào)遞減．
15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1與雙曲線C2共焦點，雙曲線C2實軸的兩頂點將橢圓C1的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線C2的離心率為__________．
四、雙空題
16．19世紀，美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．根據(jù)本福特定律，在某項大量經(jīng)濟數(shù)據(jù)（十進制）中，以6開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為______；若,，則k的值為__________．
五、解答題
17．在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，，求sin∠ADC．
18．已知數(shù)列的前項和為，．
從下面①②③中選取兩個作為條件，剩下一個作為結(jié)論．如果該命題為真，請給出證明；如果該命題為假，請說明理由．
①；②為等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
19．如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足為E．以AE為折痕把△ABE折起，使點B到達點P的位置，且平面PAE與平面AECD所成的角為90°（如圖2）．


(1)求證：PE⊥CD；
(2)若點F在線段PC上，且二面角F－AD－C的大小為30°，求三棱錐F－ACD的體積．
20．空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與空氣質(zhì)量等級的對應(yīng)關(guān)系如下：
空氣質(zhì)量指數(shù)AQI
空氣質(zhì)量等級
[0，50]
優(yōu)
（50，100]
良
（100，150]
輕度污染
（150，200]
中度污染
（200，300]
中度污染
（300，＋￥）
嚴重污染

下列頻數(shù)分布表是某場館記錄了一個月（30天）的情況：
空氣質(zhì)量指數(shù)AQI
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
頻數(shù)（單位：天）
3
6
15
6

(1)利用上述頻數(shù)分布表，估算該場館日平均AQI的值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表）
(2)如果把頻率視為概率，且每天空氣質(zhì)量之間相互獨立，求未來一周（7天）中該場館至少有兩天空氣質(zhì)量等級達到“優(yōu)或良”的概率；（參考數(shù)據(jù)：0.77≈0.0824，結(jié)果精確到0.01）
(3)為提升空氣質(zhì)量，該場館安裝了2套相互獨立的大型空氣凈化系統(tǒng)．已知每套凈化系統(tǒng)一年需要更換濾芯數(shù)量情況如下：
更換濾芯數(shù)量（單位：個）
3
4
5
概率
0．2
0．3
0．5

已知廠家每年年初有一次濾芯促銷活動，促銷期內(nèi)每個濾芯售價1千元，促銷期結(jié)束后每個濾芯恢復(fù)原價2千元．該場館每年年初先在促銷期購買n（n≥8，且n∈N*）個濾芯，如果不夠用，則根據(jù)需要按原價購買補充．問該場館年初促銷期購買多少個濾芯，使當(dāng)年購買濾芯的總花費最合理，請說明理由．（不考慮往年剩余濾芯和下一年需求）
21．已知函數(shù)＝（x2－x＋1）ex－3，，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)記函數(shù)在（0，＋∞）上的最小值為m，證明：e＜m＜3．
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x2＝4y，直線l與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線的交點P在直線y＝x－5上．
(1)若點A的坐標(biāo)為，求AP的長；
(2)若AB＝2AP，求點P的坐標(biāo)．

參考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根據(jù)集合補集和交集的定義，結(jié)合解絕對值不等式的公式法進行求解即可.
【詳解】
因為，，所以，
故選：A
2．D
【解析】
【分析】
利用復(fù)數(shù)模的運算律求解.
【詳解】
解：因為，
所以，
故選：D
3．B
【解析】
【分析】
由于A節(jié)目有特殊要求，所以先安排A節(jié)目，再安排其它的節(jié)目，從而即可求解.
【詳解】
解：由題意，先從后面3個節(jié)目中選擇一個安排A節(jié)目，然后其它3個節(jié)目任意排在剩下的3個位置，共有種方法，
故選：B.
4．C
【解析】
【分析】
通過奇偶性可排除A，通過零點及特值可排除BD，即得結(jié)果.
【詳解】
函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，

所以為奇函數(shù)排除A，
又排除B，當(dāng)，，排除D；
故選：C.
5．B
【解析】
【分析】
運用代入法直接進行求解即可.
【詳解】
，則其為70位數(shù)，
故選：B
6．C
【解析】
【分析】
利用二項展開式求出對應(yīng)的項，列出方程求解即可.
【詳解】
展開式中含的項為，含的項為，
，
∴，
故選：C
7．D
【解析】
【分析】
根據(jù)△OBC的面積可求得A，結(jié)合題中已知根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求得解析式，進而求得最小正周期.
【詳解】
如下圖，，，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
故選：D．

8．B
【解析】
【分析】
分和進行分類討論，分別確定m的取值范圍，最后綜合得答案.
【詳解】
時，，符合題意；
時，，即
顯然在R上遞增，則對恒成立
對恒成立
則：；
綜上，，
故選：B．
9．BC
【解析】
【分析】
根據(jù)雙勾函數(shù)的單調(diào)性，逐一分析，即可求解.
【詳解】
解：A錯誤，當(dāng)時，顯然有P小于0
B正確，時，，故充分性成立，而只需即可；
C正確，可得或，當(dāng)時成立的，故C正確；
D錯誤，因為有，故D錯誤；
故選：BC.
10．ABD
【解析】
【分析】
選項A，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷即可；選項B，根據(jù)直線與圓相切的定義判斷即可；選項C，根據(jù)圓的弦長公式求解即可；選項D，根據(jù)分和兩種情況即可判斷.
【詳解】
對于A，因為時，將原點代入圓方程可得，故點在圓外，故A正確；
對于B，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即為，則圓心，，
顯然圓心到軸距離為等于半徑，所以相切，故B正確；
對于C，對根據(jù)題意，，解得，解得所以圓截軸所得弦長為，
則，故C不正確；
對于D，當(dāng)時，圓：，所以點在圓上，顯然最小值為，最大值為，
故乘積且等于；當(dāng)時，由選項A知，點在圓外，，
所以最大值為，最小值為，乘積為，故D正確.
故選：ABD.
11．BCD
【解析】
【分析】
對A，根據(jù)事件B包含事件C判斷即可；
對B，根據(jù)概率的性質(zhì)，用1減去全為正面和全為反面的情況概率即可；
對C，根據(jù)相互獨立事件的公式判斷即可；
對D，先求得，再利用條件概率公式求解即可
【詳解】
選項A：顯然B發(fā)生的情況中包含C，故可同時發(fā)生，錯誤；
選項B：，正確；
選項C：，
故A與B獨立，正確；
選項D：，，正確；
故選：BCD．
12．BD
【解析】
【分析】
根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合題意，即可判斷A的正誤；根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)定理，結(jié)合勾股定理，可判斷B的正誤；根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖，分析計算，可判斷C的正誤；根據(jù)圓錐曲線的定義，可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】
對于A：假設(shè)BE∥平面PAC，因為平面，平面平面，
所以，
由題意得BE不與AC平行，所以假設(shè)不成立，則BE不平行平面PAC，故A錯．
對于B：因為平面ABC，平面ABC，
所以，
又AE為底面圓的直徑，正三角形，
所以，
又，所以平面PAO，
所以，
又因為，所以，則，
所以，
所以，同理，，
所以，所以，
因為，所以平面PBC，故B正確．

對于C：將側(cè)面鋪平展開得

其中，底面圓周長
所以，則，
所以A到DB中點的最短距離為圖中AM，若時，由余弦定理可得，
因為，所以，故C錯．
對于D:設(shè)圓錐頂角為，則，
因為，由截曲線知，平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，故D正確．
故選：BD
【點睛】
解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的幾何性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，難點在于作出圖象，分析并求解各個長度，再結(jié)合圓錐曲線的定義，進行求解，屬中檔題.
13．
【解析】
【分析】
設(shè)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.
【詳解】
解：設(shè)，
因為P是直線3x＋2y＋1＝0上任意一點，
所以，
故答案為：-1
14．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)列需要滿足的條件，可寫出答案.
【詳解】
由題意可得，滿足（1）數(shù)列是無窮等比數(shù)列；（2）數(shù)列不單調(diào)；（3）數(shù)列單調(diào)遞減，
故答案為：
15．
【解析】
【分析】
先利用橢圓和雙曲線的定義得到，， 再根據(jù)兩曲線的交點與兩焦點共圓，利用勾股定理求解.
【詳解】
不妨設(shè)焦點，在x軸上，兩者在第一象限的公共點為P，
設(shè)的實半軸長為a，則的長半軸長為3a，半焦距為c，
設(shè)，，
則，
由題意知：P在為直徑的圓上，
所以，
解得：．
故答案為：
16．???? ???? 5
【解析】
【分析】
第一空，將 代入即可求得答案；第二空，根據(jù)得到的表達式，結(jié)合的值可得方程，解得答案.
【詳解】
由題意可得：
（1）
（2），而，故，則．
故答案為：
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化，進而能求得;
（2）根據(jù)已知，可以確定各個角的三角函數(shù)值，進而求得與的關(guān)系，就能求得sin∠ADC．
(1)
由正弦定理有，
所以，
又，則有；
(2)
如下圖，由，則，
所以，
可知，
設(shè)，
所以，
則有，
所以，
又，
所以，
又有，
所以．

18．答案見解析
【解析】
【分析】
選①②作為條件，可得，即可求出和，進而得到③.
選①③作為條件，可得，即可得到，進而得到②
選②③作為條件，可得，，進而得到①
【詳解】
解：選①②作為條件，③作為結(jié)論
由，，，
所以，則有，，
所以可知，
則有，得
故可知，
又符合，
所以，
則有．
選①③作為條件，②作為結(jié)論

由
當(dāng)為奇數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)，
故


，
是以公差為，首項為的等差數(shù)列
選②③作為條件，①作為結(jié)論
為等差數(shù)列，，即



19．(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平面PAE與平面AECD所成的角為90°，得到平面平面AECD，進而得到 平面AECD即可；
（2）由平面AECD，和，得到EA，EC，EP兩兩垂直，則以E為坐標(biāo)原點，分別以EA，EC，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面AFD的一個法向量，平面ACD的一個法向量，根據(jù)二面角F-AD-C為30°，由，求得即可.
(1)
∵平面PAE與平面AECD所成的角為90°，
∴平面平面AECD，平面平面，
又，平面PAE，
∴平面AECD，
平面AECD，
∴．
(2)
∵平面AECD，
∴，，
又∵，
∴EA，EC，EP兩兩垂直，
以E為坐標(biāo)原點，分別以EA，EC，EP為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E-xyz，


Rt△ABE中，，，
∴，，
則，
∴，，，，
設(shè)，
∴，
∴，
設(shè)平面AFD的一個法向量為，
，，
則，∴，
不妨設(shè)，則，，
∴，
∵y軸⊥平面ACD，
∴平面ACD的一個法向量
∵二面角F-AD-C為30°，
∴，即，
∴，
∴，
∴F到平面AECD的距離，
，
∴．
20．(1)115
(2)0.67
(3)買9個最劃算，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）法一：直接根據(jù)平均數(shù)的求解方法計算；
法二：根據(jù)頻率進行計算
（2）易得空氣質(zhì)量等級達到優(yōu)或良的概率為，再根據(jù)二項分布，利用其對立事件的概率求解即可；
（3）分別計算每年年初先在促銷期購買n個濾芯的總花費數(shù)學(xué)期望比較大小即可
(1)
法一：；
法二：
(2)
一個月30天中達到優(yōu)或良的天數(shù)為9，空氣質(zhì)量等級達到優(yōu)或良的概率為，
∴未來一周（7天）中該場館至少有兩天空氣質(zhì)量達到優(yōu)或良的概率為
；
(3)
法一：需要更換的濾芯個數(shù)X的所有可能取值為6，7，8，9，10，
，
，
，
，

∴更換濾芯個數(shù)X的期望為：
個
若購買8個，則總花費為元，
若購買9個，則總花費為9000元，∵，
故應(yīng)購買9個最合理．
法二：按照這個數(shù)據(jù)，每年需要6到10個濾芯，也就是，9，10，而需求假設(shè)為Z，會有
；
；

那么當(dāng)時，會有花費的分布為



均值
同理算出，
故此買9個最劃算．
21．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；
（2）求導(dǎo)得到，再求出，再對分類討論得證.
(1)
解：，
，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增；
單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)
解：，，
①，則，
②當(dāng)時，，
所以
所以；
當(dāng)時，
設(shè)所以在單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以，
當(dāng)時，，
對任意，均有，則，
綜上：.
22．(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，和聯(lián)立，求得，即得答案；
（2）法一：設(shè)，，AB：，聯(lián)立，求得弦長，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，繼而求得的長，利用得方程，求得答案.
法二：設(shè)，，，AB中點，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義的切線方程，表示出P點坐標(biāo)，可得，從而結(jié)合可得，由此解得，結(jié)合，可求得答案.
(1)
由題意得， ，
由，則，
所以A點處的切線方程為，
聯(lián)立，可得，
所以；
(2)
法一：由題意知，直線l斜率存在，設(shè)，，AB：，
聯(lián)立，可得，需滿足 ，
，
所以，
又有，，
所以A,B處的切線方程為，，
聯(lián)立，有，
所以有，
又有

由，則有，
所以，，
又，則有，
所以，解得或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足,
所以或．
法二：
設(shè)，，，AB中點，
設(shè)PM中點為N，，
直線AP方程為：，整理有，
同理直線BP方程為：，
聯(lián)立，
解得，顯然，由題知，則，
故，
即，
整理有，其中，
則， ，
又因為滿足，即，
解得或，
故或．
【點睛】
本題考查了拋物線和直線相交時的求線段長度以及點的坐標(biāo)問題，綜合性較強，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解答時要注意解題思路要順暢，明確一步步要去求解什么，關(guān)鍵是計算量較大，要十分細心.

相關(guān)試卷

江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2020~2021學(xué)年度高三教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試卷：

這是一份江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2020~2021學(xué)年度高三教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試卷，共6頁。

江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2020~2021學(xué)年度高三教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試卷 答案：

這是一份江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2020~2021學(xué)年度高三教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試卷 答案，共17頁。

江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2020—2021學(xué)年高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題：

這是一份江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2020—2021學(xué)年高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題，共6頁。

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