考查思維
【2021北大強(qiáng)基】設(shè)正整數(shù)，均不大于2021，且．則這樣的數(shù)組個(gè)數(shù)為________．
答案：3449
考查技巧
【2020清華強(qiáng)基】使得成立的最小正整數(shù)等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
知識(shí)要點(diǎn)拓展：
1.兩個(gè)重要的不等式（二元均值不等式）：
①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
2.最值定理：若，則：
①如果P是定值, 那么當(dāng)時(shí)，S的值最??；
②如果S是定值, 那么當(dāng)時(shí)，P的值最大。
注意：
①前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境；還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓剑?br>②“和定 積最大，積定 和最小”，可用來求最值；
③均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請(qǐng)注意每處取等的條件是否一致。
均值不等式：設(shè)是個(gè)正實(shí)數(shù)，記，，
，，則，其中等號(hào)成立的條件是。分別稱為平方平均、算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均。
2.柯西不等式：
柯西不等式的二維形式：若都是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。
柯西不等式的一般形式：設(shè)，是實(shí)數(shù)，則
，當(dāng)且僅當(dāng)
或存在一個(gè)數(shù)，使得時(shí)，等號(hào)成立。
3.柯西不等式的幾個(gè)推論：
當(dāng)時(shí)，柯西不等式即為，若（），則，此即上面提到的平方平均算術(shù)平均。
當(dāng)（）時(shí)，有。
當(dāng)（），則。
4.排序不等式（又稱排序定理）：
給定兩組實(shí)數(shù)；．如果；．那么

（反序和） （亂序和） （同序和）
其中是的一個(gè)排列．
該不等式所表達(dá)的意義是和式在同序和反序時(shí)分別取得最大值和最小值．
三、競(jìng)賽題目精練
【江蘇競(jìng)賽】 設(shè)實(shí)數(shù)，滿足. 證明：．
證明：設(shè)f (x) ? 2x+cs?x，欲證不等式轉(zhuǎn)化為f (b) ≤ f (a).
由于f ′(x) ? 2??sin?x，f ″(x) ? ? ?2cs?x.
當(dāng)x∈(0,)時(shí)，f ″(x) ? ? ?2cs?x＜0，當(dāng)x∈(,1)時(shí)，f ″(x) ? ? ?2cs?x＞0，
所以f ′(x)在區(qū)間[0,]上單調(diào)減，在區(qū)間[,1]上單調(diào)增.
因?yàn)閒 ′(0) ? f ′(1) ? 2和f ′() ? 2??＜0，所以存在?和?，0＜?＜＜?＜1，使得f ′(?) ? f ′(?) ? 0，f ′(x)＜0當(dāng)且僅當(dāng)x∈(?,?). 分
于是函數(shù)f (x)在區(qū)間[0,?]和[?,1]上單調(diào)增，在區(qū)間[?,?]上單調(diào)減.
因?yàn)閒 (0) ? f () ? f (1) ? 1，故對(duì)于x∈[0,]有f (x)≥1，對(duì)于x∈[,1]有f (x)≤1. 特別地，f (b) ≤ 1 ≤ f (a). 分
四、典例精講
例1.證明柯西不等式
?證法一：若，則柯西不等式
顯然成立。
若不全為零，（），
令。
一方面，因
（*）
另一方面，由，恒成立
，此即柯西不等式。由(*)知等號(hào)成立的條件為（）。
?證法二：
將平面向量、空間向量推廣到維向量。令，，
。，由于，
故

等號(hào)成立的條件是共線，即（）
?注：柯西不等式的證明方法很多，有十幾種，以上兩種方法是中學(xué)生比較容易接受的。
例2.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1,b>1， 有 .
?分析：由對(duì)稱性，容易算出當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)
?證明：
即
同理
兩同向不等式相加得，時(shí)等號(hào)成立．
?說明：不等式中什么時(shí)候等號(hào)成立，應(yīng)該看作是一種信息，有時(shí)能幫助我們找到證題的入口．本題對(duì)平均不等式用得巧妙、簡(jiǎn)捷、富有啟發(fā)性．
?鏈接：本題可以稍作引申：
當(dāng)、、時(shí)，證明：
例3.設(shè)，那么的最小值是_____
?分析：本題取自人教社版課本的一個(gè)習(xí)題（第二冊(cè)（上）），題中有兩個(gè)變量a，b，解題時(shí)總希望字母愈少愈好，故最好把原式處理成一個(gè)變量問題，再證明它大于或等于一個(gè)常數(shù)．在這中間我們又注意到和之和為，因式
?解：
，因此的最小值是4．
當(dāng)時(shí)取得最小值．
?說明：當(dāng)若干個(gè)變量的和為常量或積為常量時(shí)，我們就可以考慮用平均值不等式，再說在短短的演算過程中兩次使用了平均值不等式．
?鏈接：如果題目變?yōu)?，求的最小值，你?huì)做嗎？
例4. 為正的常數(shù)，，，求的最小值.
?分析：利用不等式解決極值問題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件，這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，可看作，如再能出現(xiàn)，則可用，注意到.
?解法一：用柯西不等式
，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值。
?解法二：用平均值不等式
，同時(shí)可以算得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得最小值。
?說明：解法一和解法二都作了湊配，湊配之后，才能用上相應(yīng)的不等式。
例5. （2011復(fù)旦千分考）設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，則函數(shù)在正實(shí)半軸上的最小值是（ ）。
（B） （C） （D）
?分析與解：
由個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均根≥幾何平均數(shù)，即知：
，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
故選。
例6. （交大）若滿足關(guān)系：，則 。
?分析與解：
由柯西不等式，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，化簡(jiǎn)得。
例7. （2009南大）為內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為，為的面積。求證：（這里分別表示的長(zhǎng)）。
?分析與解：
如圖2-1，易見。
由柯西不等式，
2-1
。
例8. （浙大）有小于1的正數(shù)，且。求證：
。
?分析與解：
解法一：由柯西不等式，，
注意到：
，而，（），
故。
從而，顯然，故。
解法二：先證明一個(gè)局部不等式：（）（*）
事實(shí)上，（*），顯然成立。
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
例9. 設(shè)的三內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其周長(zhǎng)為1.
求證：.
?分析：由問題的對(duì)稱性，不妨設(shè)，三角形中大邊對(duì)大角，于是有
（這種形式是題目所需要的）。這樣既不改變問題的實(shí)質(zhì)，又增加了已知條件：兩組有序?qū)崝?shù)，及。這就為應(yīng)用排序原理創(chuàng)設(shè)了很好的情境。
證法一：用排序原理。不妨設(shè)，于是有。由排序不等式（同序和大于或等于反序和），也就是，同理， ，相加得，不等式兩邊同加，并注意到，就得
證法二：比較法
，
因此。
?說明：利用排序原理證明其他不等式時(shí)，必須制造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組
五、真題訓(xùn)練
（復(fù)旦）設(shè)滿足，則的最大值是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（復(fù)旦）設(shè)實(shí)數(shù)，成等差數(shù)列，則下列一定成立的是（ ）
（B） （C） （D）
（復(fù)旦）當(dāng)和取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)所能取到的最小值為（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（復(fù)旦）給定正整數(shù)和正常數(shù)，對(duì)于滿足不等式的所有等差數(shù)列和式的最大值為（ ）。
（B） （C） （D）
（交大）方程的兩根滿足，則 （）
（交大）已知，，則的最小值是 。
（交大）若且，則的最小值為 。
（交大），求的最小值。
（清華）已知，是的一個(gè)排列。求證。
（復(fù)旦）比較與的大小。
【參考答案】
A，故，
當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
D 顯然同號(hào)，不妨設(shè)。取，知A錯(cuò)誤。取，知BC不對(duì)。下證。
由題意，，而，故有，得證。
3.B 由柯西不等式，（均值不等式）
，當(dāng)
時(shí)取等號(hào)。
4.A ，由柯西不等式
，故（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），從而的最大值是。
5.。由韋達(dá)定理知，故，
而，故，等號(hào)在時(shí)取到，即。
6. 由柯西不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
7.9 由柯西不等式，當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
8.6 設(shè)，則，
故，即的最小值是6，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值。
9.由均值不等式，，得證。
10.分析與解：
解法一：先作差并化為同底，
，下面比較與的大小，
由均值不等式，
，
故。從而。
解法二：，而，所以，
所以。
注：此題的結(jié)論可推廣為。

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