2022年秋季鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷題號一二三四總分得分     一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）   已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是(    )A.  B.  C.  D.    下列說法正確的是(    )A. 零向量沒有方向
B. 若，，則
C. 長度相等的向量叫做相等向量
D. 兩個有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同   高二某班參加了“中國神舟十三號載人飛船航空知識答題”競賽，位評委的打分如下：，，，，，，，，，，則(    )A. 該組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為 B. 該組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為
C. 該組數(shù)據(jù)中位數(shù)為和 D. 該組數(shù)據(jù)中位數(shù)為   若直線，，則直線的傾斜角為(    )A.  B.  C.  D.    在空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，設(shè)，，，則下列等式不成立的是(    )
 A.  B.
C.  D.    若直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.
C.  D.    年北京奧運(yùn)會游泳中心水立方的設(shè)計(jì)來于威爾，弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，如圖，開爾文胞體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個正六邊形，已知該多面體共有個頂點(diǎn)，且該多面體表面積是，則該多面體的棱長是(    )
 A.  B.  C.  D.    在中，角，，所對的邊分別為，，，，是的平分線，，，則的最小值是(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）   下列描述正確的是(    )A. 若事件，滿足，則與是對立事件
B. 若，，，則事件與相互獨(dú)立
C. 擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對立事件
D. 一個袋子中有個紅球，個綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出兩球第二次取到紅球的概率是已知是邊長為正三角形的外心，沿將該三角形折成直二面角，則下列說法正確的是(    )A. 直線垂直直線
B. 直線與平面所成角的大小為
C. 平面與平面的夾角的余弦值是
D. 到平面的距離是某中學(xué)高二學(xué)生人，其中男生人，女生人，現(xiàn)希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為，方差為女生身高樣本均值為，所有樣本的方差為，下列說法中正確的是(    )A. 男生樣本容量為 B. 每個男生被抽入到樣本的概率均為
C. 所有樣本的均值為 D. 女生身高的樣本方差為“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有
(    ) A. 若，則
B. 若，，，則
C. 若為的內(nèi)心，，則
D. 若為的垂心，，則 三、填空題（本大題共4小題，共20分）在中，是邊上的點(diǎn)且，若則          ．寫出與圓和都相切的一條直線的方程          ．已知的頂點(diǎn)，的平分線所在的直線方程為，邊的高所在的直線方程為，則直線的方程為          ．在四棱錐中，，，，若，點(diǎn)到面的距離是          ．若該四棱錐內(nèi)存在半徑為的球，的最小值是          ．  四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分已知圓的方程求的范圍已知，，，為圓上的動點(diǎn)，求的最大值． 本小題分新高考實(shí)行“”模式，其中“”為語文、數(shù)學(xué)，外語這門必選科目，“”由考生在物理、歷史門首選科目中選擇門，“”由考生在政治、地理、化學(xué)、生物這門再選科目中選擇門。已知武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少門。從所有選科組合中任意選取個，求該選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意個選科組合是等可能的，求這三人中恰好有一人的選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率． 本小題分已知三棱柱，側(cè)面是邊長為的菱形，，側(cè)面四邊形是矩形，且平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并說明理由當(dāng)三棱錐的體積為時，求平面與平面夾角的余弦值．本小題分在中，角，，所對的邊分別為，，，且，的中線長為．證明：求的面積最大值． 本小題分如圖，四棱錐的底面為菱形，且菱形的面積為，，都與平面垂直，，．求三棱錐與四棱錐公共部分的體積大小若二面角大小為，求與平面所成角的正弦值．本小題分在中，已知，，且A.求頂點(diǎn)的軌跡的方程曲線與軸交于，兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，連，分別與交于，兩點(diǎn)異于，兩點(diǎn)，試探究直線是否過定點(diǎn)，若是求定點(diǎn)，若不是說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的模長及幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．【解答】解：表示圓心在，半徑為的圓，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．故最大值就是點(diǎn)到的距離加上圓半徑長，即．
故答案為．
   2.【答案】 【解析】【分析】本題考查向量的概念、向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：零向量的方向是任意的，而不是沒有方向，故A不正確；
、可以是相反向量且都垂直，故B不正確；
長度相等的向量方向不一定同向，故C不正確；
故選D．
   3.【答案】 【解析】【分析】本題考查百分位數(shù)，中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．【解答】，第百分位數(shù)為第個數(shù)和第個數(shù)的平均數(shù)，為，故B正確；
中位數(shù)為，故CD錯誤．  4.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：當(dāng)時，原式可以寫為，此時傾斜角為；當(dāng)時，原式可以寫為，此時傾斜角為，當(dāng)時滿足上式；綜上可知，直線的傾斜角為．  5.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算與表示，結(jié)合向量三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．【解答】解：、分別是、的中點(diǎn)，

，故A正確，
，
，
，，
即，故B正確，
，故C錯誤，
，故D正確．
故選C．  6.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系及直線的斜率，屬于中檔題．【解答】方程是恒過定點(diǎn)，斜率為的直線，
曲線，即，
是圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，半圓弧端點(diǎn)，，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與半圓，如圖，

當(dāng)直線與半圓相切時，
由，得相切時斜率為，
又，所以，或，
所以或  7.【答案】 【解析】【分析】本題考查多面體表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，求出多面體中正方形與正六邊形的個數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．
設(shè)棱長為，求出每個正方形及正六邊形的面積，再由已知求得正方形及正六邊形的個數(shù)，即可求解．【解答】解：設(shè)棱長為，正方形的面積為，
正六邊形的面積為，
又正方形有個頂點(diǎn)，正六邊形有個頂點(diǎn)，該多面體共有個頂點(diǎn)，
則最多有個正方形，最少有個正六邊形，一個正六邊形與個正方形相連，
所以該多面體有個正方形，正六邊形有個．
故該多面體表面積是．
解得，所以棱長為．
故選：．  8.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了三角形的面積公式，基本不等式求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔試題．
由已知結(jié)合三角形的面積公式及基本不等式可求的最小值．【解答】解：設(shè)，，，
由得，
整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為．故選C．  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查對立事件的判斷，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解答】對于選項(xiàng)A，例如，投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“點(diǎn)數(shù)為，，”，事件為“點(diǎn)數(shù)為，，”，則，但是，不是對立事件，故A錯誤；
，，故B正確；
擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”能同時發(fā)生，所以既不是互斥事件，也不是對立事件，故C錯誤；
若第一次摸到紅球，則第二次摸到紅球的概率為，
若第一次摸到綠球，則第二次摸到紅的概率為，
所以第二次摸到紅球的概率為，故D正確．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查了空間中線線位置關(guān)系，線面角，平面與平面夾角，點(diǎn)到平面距離，屬于中檔題．【解答】解：設(shè)是邊中點(diǎn)由翻折過程中垂直關(guān)系的不變性，可知，由線面垂直定義可知，從而直線垂直直線；由題可知即為直線與平面所成角，又三角形為等腰直角三角形，所以，故直線與平面所成角的大小為；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的方向分別為，，軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面，平面的法向量分別為，平面與平面的夾角為，則，，平面與平面的夾角的余弦值是；由可知，，平面的法向量為，所以到平面的距離．  11.【答案】 【解析】【分析】本題考查了概率的運(yùn)算，方差，均值知識點(diǎn)，屬中檔題．【解答】解：男生樣本量為，故選項(xiàng)A正確；
每個學(xué)生入樣的概率均為，故選項(xiàng)B錯誤；
記男生樣本為，均值為，方差為；
女生樣本為，均值為，方差為；
所有樣本均值為，方差為，則
得
故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯誤．
故選AD．  12.【答案】 【解析】【分析】本題考查了向量的新定義、三角形面積公式以及平面幾何的相關(guān)知識，屬于較難題．【解答】對于，由奔馳定理可知，若，則：：：：，選項(xiàng)A正確；
對于，在中，由可知，，
又，
：：：：，則，
，選項(xiàng)B錯誤；
對于，由奔馳定理可知，：：：：，為三角形內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，故，，，則．為銳角三角形，故C錯誤
對于，如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

，由奔馳定理可知，：：：：，
根據(jù)題意為的垂心，，設(shè)，，
同理，設(shè)，則，
，可得，，
，故D正確．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：由題可知，，又，所以  14.【答案】或或任填一個即可 【解析】【分析】本題考查圓的切線方程的求法，考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
如圖：

，兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．
顯然符合題意
又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線的方程為，
直線與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，
解得或，
從而該切線的方程為．
所以與兩圓都相切的直線方程為或或．  15.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線的斜率及對稱的應(yīng)用，屬于一般題．【解答】高線斜率為，，為，
，
設(shè)關(guān)于角平分線對稱點(diǎn)為，
，可得，
，故BC方程為．  16.【答案】 【解析】【分析】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的切接問題，屬于拔高題．【解答】解：由題可知四棱錐為底面為正方形的正四棱錐，又，，所以正方形的邊長為，，故點(diǎn)到面的距離如圖，根據(jù)題意，作正四棱錐，

因?yàn)?/span>，
所以正四棱錐的側(cè)面三角形均是正三角形，
所以，所以，
又，所以三角形是等腰直角三角形，
所以，
因?yàn)?/span>，，
所以，，
所以，，
所以，且與交點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
因?yàn)?/span>，所以，又，，平面，
所以平面，
所以，
因?yàn)樵撍睦忮F存在半徑為的內(nèi)切球，
所以，
所以，
所以，
設(shè)，
在直角三角形中，，所以，
因?yàn)槿切?/span>是等腰直角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以
解得
故．  17.【答案】解：設(shè)即，
由原點(diǎn)到直線的距離不大于圓的半徑可得，
解得，即
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，
則由點(diǎn)與點(diǎn)的距離公式可得，所求的式子轉(zhuǎn)化為
，
又點(diǎn)在圓上，所以，可得為求的最大值，所以最大值為． 【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬中檔題．
 18.【答案】用，分別表示“選擇物理”，“選擇歷史”，用，，，分別表示選擇“選擇化學(xué)”，“選
擇生物”，“選擇政治”，“選擇地理”，則所有選課組合的樣本空間為
，則，
設(shè)為選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求，
則，，
所以選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率為
設(shè)甲乙丙每人選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求分別是事件，，，由題意可知
，，相互獨(dú)立，由可得，
記為甲乙丙三人中恰好有一人的選科組合符合武漢大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求，則
，因?yàn)槭录蓛苫コ?，根?jù)互斥事件概率加法公式可得
 【解析】本題考查古典概型的計(jì)算、相互獨(dú)立事件與互斥事件的運(yùn)算，屬于中檔題．
 19.【答案】解：存在，當(dāng)為的中點(diǎn)時，平面，理由如下：
取的中點(diǎn)，連接，是的中位線
又四邊形是平行四邊形
又面，面平面
四邊形是矩形，又平面平面
面
側(cè)面是菱形，
是正三角形是的中點(diǎn)
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則，，，
，

設(shè)平面的法向量
由得
令，則，
又平面的法向量
二面角的夾角的余弦值是 【解析】本題考查了平面與平面所成角，線面平行的判定，屬于中檔題．
 20.【答案】解：左邊，，又，，
法一：角化邊設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，設(shè)，，所以
，
法二：邊化角由，知，又，
所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等． 【解析】本題考查正余弦定理解三角形，屬難題．
 21.【答案】，都與平面垂直，
設(shè)，的交點(diǎn)為，設(shè)，的交點(diǎn)為，
可知到平面的距離等于到平面的距離的一半。
又三棱錐與四棱錐的公共部分為三棱錐
二面角大小為面面，
過作，則面，
又面，
又，面，且，故AB面．
四邊形為正方形，
又正方形的面積為，
，
，面，
面，
到面的距離等于到面的距離，
到面的距離為，
設(shè)與面所成的角為，
，
在中，，
，
即與面所成的角的正弦值為． 【解析】本題考查錐體的體積，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題．
 22.【答案】解：由可得，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
法一：設(shè)帶入得
帶入得

，又由對稱性知，定點(diǎn)在軸上
令，則．，所以恒過定點(diǎn)
法二：設(shè)帶入得
由韋達(dá)定理可得，
又，，又，
．，將，帶入可得
又，，所以過定點(diǎn) 【解析】本題考查了與圓有關(guān)的軌跡問題，直線恒過定點(diǎn)問題，屬于中檔題．
 

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