2023屆江西省九江市高三第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）答案和解析

這是一份2023屆江西省九江市高三第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）答案和解析，共27頁(yè)。
?九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)（文科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫在答題卡上．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．
3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．
第Ⅰ卷（選擇題60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得到，從而得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，
所以.
故選:C
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合集合交集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，或，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
故選：A
3. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則的最大值為（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，作出可行域，結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大，即可得到結(jié)果.
【詳解】
由約束條件可得可行域的區(qū)域，
因?yàn)?，可轉(zhuǎn)化為，平移直線，
結(jié)合圖像可得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，
且，解得，即點(diǎn)，
所以.
故選:D
4. 已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由為假命題，得出為真命題，即，恒成立，由，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【詳解】因?yàn)槊}：，，
所以：，，
又因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，
即，恒成立，
所以，即，
解得，
故選：D．
5. 正方體中，M是的中點(diǎn)，則直線DM與的位置關(guān)系是（ ）
A. 異面垂直 B. 相交垂直 C. 異面不垂直 D. 相交不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，通過證明，可得DM與共面相交，后利用三角形相似可得DM與的位置關(guān)系.
【詳解】如圖，因，且，
則四邊形為平行四邊形，故.
又，則DM與共面相交.設(shè)DM與相交于E.
又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，.
注意到，則，
則可得.
因，則，
即DM與的位置關(guān)系是相交垂直.
故選：B

6. 執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，不斷循環(huán)直到滿足為止.
【詳解】根據(jù)程序框圖，輸入，，則，滿足循環(huán)條件，，
，滿足循環(huán)條件，，……，，
不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
7. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，M是雙曲線C左支上一點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可知為等邊三角形，即可得到，，再根據(jù)雙曲線的定義，即可求出離心率.
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)為F，可知，

又，所以為等腰三角形，則，
又因?yàn)?，所以?br /> 則，為等邊三角形，
因?yàn)?，所以，?br /> 由雙曲線的定義可知，，即，
所以，
故選：A.
8. 已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則其前8項(xiàng)和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
所以前8項(xiàng)和為，
故選：D
9. 定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由為上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增和得出，在上單調(diào)遞增，且，，畫出大致圖像，分類討論的取值，即得出不等式的解集．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且，，
可畫出其大致圖像，如圖所示，

因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，
所以不等式的解集為，
故選：A．
10. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 周期為π，在上單調(diào)遞減
B. 周期為，在上單調(diào)遞減
C. 周期為π，在上單調(diào)遞增
D. 周期為，在上單調(diào)遞增
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的正負(fù)性、單調(diào)性，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，即，
，
顯然該函數(shù)此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，即，
，
因此函數(shù)的周期為，在上單調(diào)遞減，
故選：B
11. 青花瓷又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．給出下列四個(gè)命題：
①兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等；
②兩橢圓的離心率相等；
③；
④與小橢圓相切.
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，設(shè)點(diǎn)、、，建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的幾何性質(zhì)可判斷①②；利用直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷③的正誤；取以及，可判斷④的正誤.
【詳解】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，
設(shè)點(diǎn)、、，
以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)小橢圓的方程為，

則大橢圓的方程為，
對(duì)于①，大橢圓的焦距長(zhǎng)為，兩橢圓的焦距不相等，①錯(cuò)；
對(duì)于②，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，②對(duì)；
對(duì)于③，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，合乎題意，
當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，可得，
此時(shí)，，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
綜上所述，，③對(duì)；
對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，將代入可得，
不妨取點(diǎn)、，則，
若，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓不相切，④錯(cuò).
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：
（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.
12. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性可得.
【詳解】將用變量x替代，則，，，其中，
令，則，
令，則，
易知在上單調(diào)遞減，且，，
∴，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
又，，∴，∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，∴，
記，，則，在上單調(diào)遞增，
又，所以，所以,所以
綜上，.
故選：B．
第Ⅱ卷（非選擇題90分）
考生注意：
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22-23題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，滿足，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由向量垂直可得其數(shù)量積為，列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，且，則，即.
故答案為:
14. 從邊長(zhǎng)為的正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)中，任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，則該線段長(zhǎng)度為的概率為______．
【答案】##
【解析】
【分析】列舉出所有的線段，并列舉出長(zhǎng)度為的線段，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】如下圖所示，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，

任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，所有的線段有：、、、、、、、、、、、、、、，共條，
其中長(zhǎng)度為的線段有：、、，共條，
故所求概率為.
故答案為：.
15. 函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為______．
【答案】6
【解析】
【分析】令，兩個(gè)解即為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，作圖即可求出零點(diǎn)，且和的函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，零點(diǎn)也關(guān)于，即可求出所有零點(diǎn)之和.
【詳解】解：令，得，解得或，即為零點(diǎn)，
令，，
可知的周期，對(duì)稱軸，
且的對(duì)稱軸，
做出和的圖象如圖所示：

顯然，在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，
在處的切線為x軸，在上存在零點(diǎn)，
同理在上存在零點(diǎn)，所以在上存在6個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)楹偷暮瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，則零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
所以的所有零點(diǎn)之和為.
故答案為：6.
16. 根據(jù)祖暅原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為______．（注：）

【答案】
【解析】
分析】根據(jù)祖暅原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運(yùn)算公式求解即可.
【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為h，
由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，
由圖1知相應(yīng)圓臺(tái)的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，
故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺(tái)的體積，因?yàn)槿萜鲀?nèi)水的體積為，
相應(yīng)圓臺(tái)的體積為，
所以，解得，
故答案為：
三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
17. 九江市正在創(chuàng)建第七屆全國(guó)文明城市，某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)九江創(chuàng)文了解和重視，組織全校高三學(xué)生進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少”知識(shí)競(jìng)賽（滿分100），現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分布如下：






文科生
1
16
23
44
16
理科生
9
24
27
32
8
合計(jì)
10
40
50
76
24

（1）在得分小于80分的學(xué)生樣本中，按文理科類分層抽樣抽取5名學(xué)生．
①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人；
②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率．
（2）如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”，能否有99.9%的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”與文理科類有關(guān)？
參考數(shù)據(jù)：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
，其中．
【答案】（1）①文科生2人，理科生3人；②
（2）沒有99.9％的把握認(rèn)為獲"創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)"與文理科類有關(guān)．
【解析】
【分析】（1）求出抽取的5人中文科生2人，理科生3人，再利用列舉法求出概率作答.
（2）先列聯(lián)表，求出的觀測(cè)值，再與臨界值表比對(duì)作答.
【小問1詳解】
①得分小于80分的學(xué)生中，文科生與理科生人數(shù)分別為：40和60，比例為,
所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人．
②這5名學(xué)生有2人是文科生，記這兩人為， 3人是理科生，記這三人為，
隨機(jī)抽取兩名同學(xué)2人包含的基本事件有：
，共10個(gè)，
其中至少有一名文科生情況有7種：
因此抽取的2名學(xué)生至少有一名文科生的概率為 .
【小問2詳解】
由題中數(shù)據(jù)可得如下聯(lián)表：

創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)
未獲優(yōu)秀獎(jiǎng)
合計(jì)
文科生
60
40
100
理科生
40
60
100
合計(jì)
100
100
200

則的觀測(cè)值：，
所以沒有99.9％的把握認(rèn)為獲"創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)"與文理科類有關(guān)．
18. 在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知，．
（1）求c；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，將轉(zhuǎn)化為，即可求出答案；
（2）利用正弦定理，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，代入，根據(jù)兩角差的正弦公式及輔助角公式得出，再由為銳角三角形得出角的范圍，即可的取值范圍．
【小問1詳解】
解：，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，解得．
【小問2詳解】
解：由正弦定理得，，
，，
，
， ，

則


，
為銳角三角形，
，

，
，
，
即．
19. 如圖，在三棱柱中，平面，，，，D為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）若E為棱BC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得為等邊三角形，為等腰三角形，進(jìn)而證明，利用線面垂直的性質(zhì)可得，再利用線面垂直的判定即可證明平面；
（2）由（1）為直角三角形，求出其面積，連接，以A為原點(diǎn)，的正方向?yàn)閤，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的一個(gè)方向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求出高，在根據(jù)錐體的體積公式即可求解.
【小問1詳解】
證明：已知，，，
則，，
又D為棱的中點(diǎn)，則，
所以為等邊三角形，為等腰三角形，
則，，
所以，即，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，即，
而，平面，所以平面.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
由平面，平面，所以，則為直角三角形，
由平面，平面，所以，所以，
因?yàn)?，所以在中，?br /> 則在中，，
所以，
連接，已知，，，
由余弦定理，
滿足，所以，即，
而平面，所以兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，的正方向?yàn)閤，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，即，令，則，
所以點(diǎn)E到平面的距離，
則三棱錐的體積.
20. 已知P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，的最小值為．
（1）求拋物線E的方程；
（2）是圓M內(nèi)一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)N且與直線MN垂直，l與拋物線C相交于兩點(diǎn)，與圓M相交于兩點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可得到，進(jìn)而求出拋物線方程；
（2）根據(jù)題意求出圓M的方程，即可得到直線MN的斜率，利用垂直關(guān)系求出直線l的斜率，得到直線l的方程，聯(lián)立拋物線可得，由韋達(dá)定理可知，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，將轉(zhuǎn)化為，求得，利用均值不等式可知時(shí)取最小值，進(jìn)而求出b，即可得到直線方程.
【小問1詳解】
解：取，則，
∵的最小值為，
故的最小值為8，
令，則的最小值為8，
∵開口向上，對(duì)稱軸，
且，則有：
若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值9，不合題意；
若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值，解得或（舍去）；
綜上所述：，
所以拋物線E的方程.
【小問2詳解】

已知是圓上一點(diǎn)，所以，解得，
所以圓，圓心，半徑，
因?yàn)槭菆AM內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線l垂直于y軸，不可能有，
所以直線MN的斜率存在且不為0，，所以直線l的斜率，
設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，
可得，則，
設(shè)，，，，
已知，則，所以①，
由于，所以，
當(dāng)取最小值時(shí)，即（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立），
此時(shí)，所以，
故直線l的方程為，整理得.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
21. 已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）2個(gè)零點(diǎn)，理由見解析
【解析】
分析】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè) ，，，由說明，則，由，得出，即可證明結(jié)論；
（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，由確定的增減區(qū)間，畫出和的簡(jiǎn)圖，分區(qū)間討論和交點(diǎn)情況，即可得出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
設(shè) ，，，
則，
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
又因?yàn)?，，即?br /> 所以，即，
所以．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令，得，即，
設(shè)，，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以，
在同一直角坐標(biāo)系中，畫出和的簡(jiǎn)圖，如圖所示，

當(dāng)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，，
則與在有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且，
則與在沒有交點(diǎn)；
當(dāng)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，，
則與在有一個(gè)交點(diǎn)；
因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增， ，
所以當(dāng)時(shí)，，即與在無交點(diǎn)；
因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減， ，
所以當(dāng)時(shí)，，即與在無交點(diǎn)；
綜上所述，與共有2個(gè)交點(diǎn)，
即有2個(gè)零點(diǎn)．
請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（2）設(shè)直線與曲線C相交于點(diǎn)A，B，與直線l相交于點(diǎn)C，求最大值．
【答案】（1）直線l的極坐標(biāo)方程：，曲線C的普通方程：
（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式、以及消參的方法求解.
（2）利用方程聯(lián)立、兩點(diǎn)間的距離公式、換元法以及函數(shù)進(jìn)行計(jì)算求解.
【小問1詳解】
因?yàn)橹本€l的方程為，，
所以直線l的極坐標(biāo)方程：，
曲線C的參數(shù)方程為，所以，
消去參數(shù)有：，所以曲線C的普通方程：.
【小問2詳解】
因?yàn)橹本€與曲線C相交于點(diǎn)A，B，由(1)有：曲線C，
由，得，解得，，
所以，，解得，所以，
又直線與與直線l相交于點(diǎn)C，由得，
，，，所以，
所以，
令 由有：，所以，
因?yàn)?，所以，所?
所以，所以的最大值為
選修4—5：不等式選講
23. 已知函數(shù)．
（1）若的最小值為1，求a的值；
（2）若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)結(jié)合取等條件即可得解；
（2）把恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，分情況討論去絕對(duì)值符號(hào)，從而可得出答案.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，解得或，
故a的值為或；
【小問2詳解】
令，由題意知恒成立，
當(dāng)且時(shí), ,要使得恒成立,
則可得
當(dāng)時(shí),

因?yàn)楹愠闪? 則,由圖像可知
所以,所以
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．