一、單選題
1．若，則可能為（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A．0B．2C．D．5
4．若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)可取的最小整數(shù)值是（ ）
A．B．0C．1D．3
5．雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則判斷框中填入的條件可以為（ ）
A．B．C．D．
7．求值（ ）
A．8B．9C．10D．1
8．如圖，在正三棱柱中，,，，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，則的周長的最小值為
A．B．
C．D．
9．拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線為直線.過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的角平分線所在的直線的斜率是
A．1B．C．D．
10．已知函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則（ ）
A．B．C．0D．
11．已知點(diǎn)，動圓C與直線相切于點(diǎn)B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
12．設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
13．的展開式中，的系數(shù)等于____________．（用數(shù)字作答）
14．已知且， 則的夾角是_____．
15．已知定義在上的函數(shù)滿足且，函數(shù)的表達(dá)式為，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為___________.
16．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對勾股定理的論述，比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大??；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺，問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為0.5丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算該木材鑲嵌墻內(nèi)部分的體積約為______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整數(shù)）
三、解答題
17．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，試求除以3的余數(shù).
18．如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，且．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
19．2022年2月4日至2月20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會在北京和張家口隆重舉行.北京市各校大學(xué)生爭相出征服務(wù)冬奧會，經(jīng)統(tǒng)計(jì)某校在校大學(xué)生有9000人，男生與女生的人數(shù)之比是2:1，按性別用分層抽樣的方法從該校大學(xué)生中抽取9名參加冬奧會比賽場館服務(wù)培訓(xùn)，培訓(xùn)分4天完成，每天獎勵若干名“優(yōu)秀學(xué)員”，累計(jì)獲2次或2次以上者可獲2022冬奧會吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一個.
(1)若從這抽取的9名大學(xué)生中隨機(jī)選出3人服務(wù)“國家體育館”，求選出的3人中至少有一位是女生的概率.
(2)設(shè)參加服務(wù)培訓(xùn)的大學(xué)生甲每天獲“優(yōu)秀學(xué)員”獎勵的概率均為，記同學(xué)甲獲得“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)為X，試求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望，并以獲得“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測該同學(xué)甲能否獲得冬奧會吉祥物？
20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求動點(diǎn)的軌跡方程，并說明曲線是什么圖形；
（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；
（3）設(shè)是直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)，求證：過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．
21．已知函數(shù).
(1)若曲線與直線相切，求a的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍.
22．已知函數(shù)，其反函數(shù)為， 直線分別與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（其中），設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．
求證：（1）當(dāng)時，
（2）當(dāng)時， ．
23．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若不等式對和恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
參考答案
1．D
【分析】設(shè)，根據(jù)條件求出關(guān)系，然后逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.
【詳解】設(shè)，
則
觀察得僅滿足
故選：D.
2．C
【分析】用列舉法表示出全集，根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義可求得結(jié)果.
【詳解】，
，.
故選：C.
3．D
【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.
【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，
根據(jù)平移知當(dāng)時，有最大值為.
故選：D.
4．B
【分析】轉(zhuǎn)化為最值問題求解，
【詳解】由題意得在上有解，當(dāng)時，取最小值，
則，故可取的最小整數(shù)值為0，
故選：B
5．C
【分析】依題意利用誘導(dǎo)公式可得，再根據(jù)離心率公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
【詳解】解：雙曲線C：的漸近線為，
依題意，即，即，
所以雙曲線的離心率
故選：C
6．D
【分析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次循環(huán)計(jì)算，結(jié)合輸出結(jié)果進(jìn)行判定，即可求解.
【詳解】框圖首先給累加變量賦值，給循環(huán)變量賦值，
判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；
判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；
判斷框中的條件滿足，執(zhí)行，；
依次類推，令，知，
判斷框中的條件滿足，執(zhí)行
此時不滿足條件，退出循環(huán)，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是“”
故選：D.
7．B
【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算公式和指數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，
故選：B.
8．D
【分析】根據(jù)正三棱柱的特征可知為等邊三角形且平面，根據(jù)可利用勾股定理求得；把底面與側(cè)面在同一平面展開，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值；在中利用余弦定理可求得最小值，加和得到結(jié)果.
【詳解】三棱柱為正三棱柱 為等邊三角形且平面
平面
把底面與側(cè)面在同一平面展開，如下圖所示：
當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值
又，，
周長的最小值為：
本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中三角形周長最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為側(cè)面上兩點(diǎn)間最短距離的求解問題，利用側(cè)面展開圖可知三點(diǎn)共線時距離最短.
9．B
【詳解】 由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
點(diǎn)，由拋物線的定義可知，
所以的平分線所在的直線就是線段的垂直平分線，
因?yàn)檫^點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的斜率
所以的平分線的方程為，故選B.
點(diǎn)睛：本題考查了直線的斜率公式，拋物線的定義的轉(zhuǎn)化等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，主要拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，斜率公式等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用.其中拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題，就可以使問題簡單化.
10．D
【解析】先將函數(shù)化簡整理，根據(jù)相鄰對稱軸之間距離求出周期，確定，再求.
【詳解】因?yàn)?br>，
由題意知的最小正周期為，所以，即，
所以，
.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)已知條件先化簡正弦函數(shù)的解析式，還要熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)才能正確的解題，屬于中檔題.
11．A
【分析】由給定條件分析探求出點(diǎn)P所滿足的關(guān)系，再結(jié)合圓錐曲線的定義即可作答.
【詳解】設(shè)直線PM，PN與圓C相切的切點(diǎn)分別為點(diǎn)Q，T，如圖，
由切線長定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2

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