2023年浙江省寧波市海曙區(qū)興寧中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  在有理數(shù)，，，中，最大的數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  與是同類(lèi)項(xiàng)的為(    )A.  B.  C.  D. 3.  太陽(yáng)與地球之間的最小距離為萬(wàn)千米用科學(xué)記數(shù)法表示萬(wàn)千米為(    )A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米4.  如圖，從左面看如圖所示的幾何體得到的平面圖形是(    )A.
B.
C.
D. 5.  一個(gè)布袋里放著個(gè)黑球和個(gè)白球，它們除了顏色以外沒(méi)有任何其他區(qū)別把布袋中的球攪勻后，從中任取個(gè)球，則下列事件中屬于必然事件的是(    )A. 個(gè)都是黑球 B. 個(gè)黑球個(gè)白球 C. 個(gè)白球個(gè)黑球 D. 至少有個(gè)黑球6.  要使有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，中，，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于，連接，，，，則(    )
A.  B.  C.  D. 8.  九章算術(shù)中有這樣一道題：“今有善行者一百步，不善行者六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？”意思是：走路快的人走步時(shí)，走路慢的人只走步，走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？設(shè)走路快的人走步才能追上走路慢的人，此時(shí)走路慢的人走了步，則可列方程組為(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，若，則下列表達(dá)式正確的是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如圖，在正方形中，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，，，若要知道陰影部分的面積，則只需要知道下列哪個(gè)條件(    )A. 的長(zhǎng)
B. 的長(zhǎng)
C. 矩形的面積
D. 矩形對(duì)角線的長(zhǎng)二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）11.  若，則        ．12.  分解因式：        ．13.  為慶況神舟十五號(hào)發(fā)射成功，學(xué)校開(kāi)展航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)經(jīng)過(guò)幾輪篩選，本班決定從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選擇一名同學(xué)代表班級(jí)參加比賽，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，四名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)單位：分及方差單位：分如表所示：  甲乙丙丁平均數(shù)方差若要選一名成績(jī)好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學(xué)參賽，那么應(yīng)該選擇        ．14.  如圖，的半徑為將的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心則這條劣弧的弧長(zhǎng)為______．
 15.  如圖，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，軸，，則        ．
 16.  如圖，在等腰三角形紙片中，，將該紙片翻折，使得點(diǎn)落在邊的處，折痕為，，分別在邊，上，，若，，則        ，的面積為        ．三、解答題（本大題共8小題，共80.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
解不等式組：．
計(jì)算：．18.  本小題分
如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是，是格點(diǎn)三角形頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處．
在圖中畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)，使得與相似，周長(zhǎng)之比為：；
在圖中畫(huà)出一個(gè)格點(diǎn)，使得與相似，面積之比為：．
 19.  本小題分
小華想利用太陽(yáng)光測(cè)量樓的高，他帶著尺子來(lái)到樓下，發(fā)現(xiàn)地面和對(duì)面斜坡坡角為上都有這棟樓的影子，針對(duì)這種情況，他設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方案，具體測(cè)量情況如下：先測(cè)得在此時(shí)刻高的物體垂直于地面放置時(shí)，影長(zhǎng)是；樓落在地面上的影長(zhǎng)，落在斜坡上的影長(zhǎng)，請(qǐng)你幫小華求出樓的高．
20.  本小題分
如圖，已知點(diǎn)，在二次函數(shù)的圖象上，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)且．
求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
若，求頂點(diǎn)到直線的距離．
21.  本小題分
為減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，減負(fù)成為了當(dāng)前呼聲最高的聲音，學(xué)生的休閑娛樂(lè)時(shí)間得到了有效保障，某校對(duì)七年級(jí)學(xué)生每日的休閑時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，分為、、、：；：；：；：四個(gè)選項(xiàng)，結(jié)果如表． 休閑娛樂(lè)時(shí)間時(shí)人數(shù)根據(jù)表格回答一下問(wèn)題：
求學(xué)生休閑娛樂(lè)時(shí)間的中位數(shù)在        選項(xiàng)，眾數(shù)在        選項(xiàng)．
調(diào)查顯示，當(dāng)每天休閑娛樂(lè)的時(shí)間在到小時(shí)之間時(shí)最有幸福感，則處于幸福感學(xué)生的比例是多少？
估算七年級(jí)名學(xué)生有多少學(xué)生處于幸福感？四舍五入22.  本小題分
甲，乙兩車(chē)從甲地駛向地，并各自勻速行駛，甲車(chē)比乙車(chē)早行駛，并且甲在途中休息了，如圖是甲，乙兩車(chē)行駛的距離與時(shí)間的函數(shù)圖象．
求出        ，        ．
求甲車(chē)休息之后的函數(shù)關(guān)系式．
當(dāng)乙車(chē)到達(dá)地時(shí)，甲車(chē)距地還有多遠(yuǎn)？
23.  本小題分
【基礎(chǔ)鞏固】如圖，在中，，分別在，上，，求證：．
【嘗試應(yīng)用】如圖，在中，，，分別在，，上，四邊形為平行四邊形，，，，求的長(zhǎng)．
【拓展提高】如圖，平行四邊形的周長(zhǎng)為，，分別在，上，四邊形為平行四邊形，，，求的長(zhǎng)．
 24.  本小題分
如圖，圓為的外接圓，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，平分．
如圖，求證：∽；
如圖，連結(jié)，求證：；
如圖，連結(jié)并延長(zhǎng)分別交，于，兩點(diǎn)，若，，求．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
最大的數(shù)是，
故選：．
根據(jù)正數(shù)都大于，負(fù)數(shù)都小于，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此即可解答．
此題主要考查了有理數(shù)大小的比較，求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，掌握有理數(shù)大小的比較方法是解答本題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：由同類(lèi)項(xiàng)的定義可知，與是同類(lèi)項(xiàng)．
故選：．
直接利用同類(lèi)項(xiàng)的定義分別分析得出答案．
此題主要考查了同類(lèi)項(xiàng)，正確把握定義是解題關(guān)鍵．同類(lèi)項(xiàng)的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同．
 3.【答案】 【解析】解：萬(wàn)，
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：從左面看，一共有兩層，底層是兩個(gè)小正方形，上層的左邊是一個(gè)小正方形．
故選：．
細(xì)心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置，根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
此題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握左視圖所看的位置．
 5.【答案】 【解析】解：、個(gè)都是黑球，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、個(gè)黑球個(gè)白球，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、個(gè)白球個(gè)黑球，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、至少有個(gè)黑球，是必然事件，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：．
必然事件就是一定發(fā)生的事件，根據(jù)定義即可判斷．
本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念是關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：二次根式有意義，
，
解得．
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件，可得：，據(jù)此求出實(shí)數(shù)的取值范圍即可．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
 7.【答案】 【解析】解：，是的中點(diǎn)，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
解得，
．
故選：．
由直角三角形斜邊上的中線可求，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再利用勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解的長(zhǎng)．
本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：由題意可得，，
故選：．
根據(jù)走路快的人追上走路慢的人時(shí)，兩人所走的步數(shù)相等，，即可列出相應(yīng)的方程組．
本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解題本題的關(guān)鍵是明確題意，找到等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組．
 9.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，
對(duì)稱(chēng)軸為直線，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
，
故選：．
根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求得對(duì)稱(chēng)軸為直線，然后分兩種情況討論，判斷、的大小關(guān)系，進(jìn)一步得出．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對(duì)稱(chēng)軸，能夠判斷出、的大小是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，連接，，
四邊形是正方形，四邊形是矩形，
，，
，，
陰影部分的面積，
陰影部分的面積，
故選：．
由正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得，，可證，，由面積和差關(guān)系可求影部分的面積，即可求解．
本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案為：．
根據(jù)，則，再代入計(jì)算即可．
本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得出是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：原式．
故答案為：．
利用平方差公式分解．
本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解決本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】甲 【解析】解：甲、丙同學(xué)的平均數(shù)比乙、丁同學(xué)的平均數(shù)大，
應(yīng)從甲和丙同學(xué)中選，
甲同學(xué)的方差比丙同學(xué)的小，
甲同學(xué)的成績(jī)較好且狀態(tài)穩(wěn)定，應(yīng)選的是甲同學(xué)．
故答案為：甲．
先比較平均數(shù)得到甲同學(xué)和丙同學(xué)成績(jī)較好，然后比較方差得到甲同學(xué)的狀態(tài)穩(wěn)定，于是可決定選甲同學(xué)去參賽．
本題主要考查了根據(jù)平均數(shù)和方差，一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
 14.【答案】 【解析】解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

由題意，垂直平分線段，

，
，
是等邊三角形，
，
同法可證，
，
的長(zhǎng)，
故答案為：
如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)證明是等邊三角形，求出，利用弧長(zhǎng)公式求解．
本題考查弧長(zhǎng)公式，垂徑定理，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，

軸，軸，軸軸，
，
，
，
∽，
，
，
，

，
，
，
∽，
，
，
設(shè)，，則，
，，，，，
，
解得：，
，，
∽，∽，
∽，
，
在中，．
故答案為：．
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，可證得∽，∽，設(shè)，，則，可得：，，，，，利用相似三角形性質(zhì)可得：，，再由∽，可得，運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求得答案．
本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
 16.【答案】  【解析】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，
，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案為：，．
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，以此可得，因此可判斷、、、四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得，，進(jìn)而得到，，則，由等腰三角形的性質(zhì)可得，以此可證明∽，由相似三角形的性質(zhì)可求得，則，，，根據(jù)勾股定理求出，再算出的面積即可求解．
本題主要考查四點(diǎn)共圓的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理、勾股定理，正確作出輔助線，通過(guò)所給條件推出、、、四點(diǎn)共圓，以此得到是解題關(guān)鍵．
 17.【答案】解：解不等式，得；
解不等式，得，
所以不等式組的解集為．
：

． 【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后確定不等式組的解集；
分別根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，零指數(shù)冪的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．
本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵；本題還考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握相關(guān)定義與運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：如圖，即為所求作．
如圖，即為所求作．
 【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把的邊長(zhǎng)擴(kuò)大倍即可．
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把的邊長(zhǎng)擴(kuò)大倍即可．
本題考查作圖相似變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
 19.【答案】解：作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
則，
，，，
，
測(cè)得在此時(shí)刻高的物體垂直于地面放置時(shí)，影長(zhǎng)是，，
，
，
解得：，
，
答：樓的高是． 【解析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，即可求得的長(zhǎng)，本題得以解決．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)解答．
 20.【答案】解：將點(diǎn)代入中，
，解得：，
二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
，
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
，
又，
，，
，即直線為：，
又二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
頂點(diǎn)到的距離為． 【解析】把點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式求出即可；
判斷出，關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得結(jié)論；
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
 21.【答案】   【解析】解：學(xué)生休閑娛樂(lè)時(shí)間的中位數(shù)在選項(xiàng)，眾數(shù)在選項(xiàng)．
故答案為：；；
處于幸福感學(xué)生的比例是為：；
名，
答：七年級(jí)名學(xué)生大約有名處于幸福感．
分別根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義判斷即可；
用每天休閑娛樂(lè)的時(shí)間在到小時(shí)之間的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可；
用乘的結(jié)論解答即可．
本題考查頻數(shù)分布表、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義以及列出相關(guān)算式．
 22.【答案】   【解析】解：由題意得：
．
，
．
故：，；
設(shè)甲車(chē)休息之后的函數(shù)關(guān)系式，
將和代入得：
，
解得
故甲車(chē)休息之后的函數(shù)關(guān)系式為：；
設(shè)乙車(chē)行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系為，
將和代入得：
，
解得，
故乙車(chē)的解析式為：，
將代入，
得，
將代入，
得，
甲車(chē)距地：．
根據(jù)“路程時(shí)間速度”由函數(shù)圖象就可以求出甲的速度，求出的值和的值；
知道兩點(diǎn)坐標(biāo)，直接求出解析式即可；
求出乙車(chē)到達(dá)花費(fèi)的時(shí)間，代入甲可算出甲行駛的距離，再用總路程減去行駛的距離即可．
本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：，，
∽，
，
；
解：，，
，
四邊形為平行四邊形，
，，，，
∽，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
負(fù)值舍去，
，，
；
解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，

四邊形是周長(zhǎng)為，
，，
四邊形為平行四邊形，
，，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
． 【解析】通過(guò)證明∽，可得，即可求解；
通過(guò)證明∽，可得，通過(guò)證明∽，可求的長(zhǎng)，即可求解；
由平行四邊形的性質(zhì)可求，通過(guò)證明∽，可求，通過(guò)證明∽，可求解．
本題四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：如圖，連結(jié)，

，
，
，
，
平分，
，
∽；
證明：如圖，連結(jié)，

∽，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
；
解：如圖，作于點(diǎn)，

，，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
可得：，
，
在中，，
． 【解析】連結(jié)，根據(jù)垂徑定理及圓周角定理得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)角平分線的定義得出，即可判定∽；
連結(jié)，由得∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出，結(jié)合，推出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得到，，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判定；
作于點(diǎn)，根據(jù)題意推出，進(jìn)而得出，設(shè)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)及線段垂直平分線性質(zhì)得出，則，利用證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可得解．
此題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 

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