?平面圖形的認識（二）（提優(yōu)）
一．選擇題（共8小題）
1．若一個多邊形截去一個角后，變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（　　）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【分析】根據(jù)不同的截法，找出前后的多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系得出答案．
【解答】解：如圖，n邊形，A1A2A3…An，
若沿著直線A1A3截去一個角，所得到的多邊形，比原來的多邊形的邊數(shù)少1，
若沿著直線A1M截去一個角，所得到的多邊形，與原來的多邊形的邊數(shù)相等，
若沿著直線MN截去一個角，所得到的多邊形，比原來的多邊形的邊數(shù)多1，
因此將一個多邊形截去一個角后，變成十四邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)為13或14或15，
故選：C．

【點評】考查多邊形的意義，根據(jù)截線的不同位置得出不同的答案，是解決問題的關(guān)鍵．
2．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2＝2∠BAC即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接AA'，

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折疊，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故選：D．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識，屬于中考?？碱}型．
3．如圖，在長方形ABCD紙片中，AD∥BC，AB∥CD，把紙片沿EF折疊后，點C、D分別落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，則∠AED'等于（　?。?br />
A．70° B．65° C．50° D．25°
【分析】由平行可求得∠DEF，又由折疊的性質(zhì)可得∠DEF＝∠D′EF，結(jié)合平角可求得∠AED′．
【解答】解：∵四邊形ABCD為長方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
又由折疊的性質(zhì)可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故選：C．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，將△ABC折疊，使得點B與點A重合，折痕PD分別交AB、BC于點D、P，當(dāng)△APC中有兩個角相等時，∠B的度數(shù)為（　　）

A．35°或20° B．20°或27.5°
C．35°或25°或32.5° D．35°或20°或27.5°
【分析】分三種情況，利用三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)先求出∠APC的度數(shù)，再利用折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠B．
【解答】解：由折疊的性質(zhì)知：∠BPD＝∠APD=12∠BPA，
∠BDP＝∠ADP＝90°．
當(dāng)AP＝AC時，∠APC＝∠C＝70°，
∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）
＝55°，
∴∠B＝90°﹣55°
＝35°；
當(dāng)AP＝PC時，∠PAC＝∠C＝70°，
則∠APC＝40°．
∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）
＝70°，
∴∠B＝90°﹣70°
＝20°；
當(dāng)PC＝AC時，∠APC＝∠PAC，
則∠APC＝55°．
∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）
＝62.5°，
∴∠B＝90°﹣62.5°
＝27.5°．
故選：D．

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，掌握折疊、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及分類討論的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．
5．如圖，△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿DE折疊，使得點B落在AC邊上的點F處，若∠CFD＝60°且△AEF中有兩個內(nèi)角相等，則∠A的度數(shù)為（　?。?br />
A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
【分析】分三種情形：①當(dāng)AE＝AF時，②當(dāng)AF＝EF時，③當(dāng)AE＝EF時，分別求解即可．
【解答】解：①當(dāng)AE＝AF時，則∠AFE＝∠AEF=12（180°﹣∠A），
∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴12（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝40°．
②當(dāng)AF＝EF時，∠AFE＝180°﹣2∠A，
同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝50°．
③當(dāng)AE＝EF時，點F與C重合，不符合題意．
綜上所述，∠A＝40°或50°，
故選：B．
【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
6．如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，則∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　）

A．220° B．240° C．260° D．280°
【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．
【解答】解：連接BD，

∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，
故選：D．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．
7．如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點E、D，若∠E＝90°，則∠BDC的度數(shù)為（　?。?br />
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EBC+∠ECB＝90°，再根據(jù)三等分線求出∠DBC+∠DCB即可解決問題．
【解答】解：在△BEC中，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ABC、∠ACB的三等分線交于點E、D，
∴∠DBC=12∠EBC，∠DCB=12∠ECB，
∴∠DBC+∠DCB=12×90°＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，
故選：D．
【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是掌握基本知識，屬于中考常考題型．
8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（　?。?br /> ①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根據(jù)角平分線定義即可判斷③；根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．
【解答】解：∵BE是中線，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面積＝△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；
∵CF是角平分線，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD為高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正確；
∵AD為高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分線，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；
根據(jù)已知條件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④錯誤；
故選：B．

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，屬于中考題型．
二．填空題（共8小題）
9．兩根木棒分別長3cm、7cm，第三根木棒與這兩根木棒首尾依次相接構(gòu)成三角形．如果第三根木棒的長為偶數(shù)（單位：cm），那么所構(gòu)成的三角形周長為 　16或18　cm．
【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)確定其值．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得
第三根木棒的長大于4cm而小于10cm．
又第三根木棒的長是偶數(shù)，則應(yīng)為6cm，8cm．
∴所構(gòu)成的三角形周長為16cm或18cm，
故答案為：16或18．
【點評】本題考查的是三角形三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵
10．如圖把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D'、C'處，∠AED'＝40°，則∠BFC′＝　40°?。?br />
【分析】根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得∠D′EF＝∠DEF=12∠DED'，∠EFC＝∠EFC′．欲求∠BFC′，需求∠EFC、∠EFB．根據(jù)長方形的性質(zhì)，得AD∥BC，那么∠DEF＝∠BFE，∠EFC＝180°﹣∠DEF．欲求∠EFC、∠EFB，需求∠DEF，從而解決此題．
【解答】解：由題意得：∠D′EF＝∠DEF=12∠DED'，∠EFC＝∠EFC′．
∵∠AED'＝40°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．
∴∠DEF=12∠DED'=70°．
∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．
∴∠EFC′＝110°．
∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．
故答案為：40°．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
11．如圖，直線m與∠AOB的一邊射線OB相交，∠3＝120°，向上平移直線m得到直線n，與∠AOB的另一邊射線OA相交，則∠2﹣∠1＝　60°?。?br />
【分析】作OC∥m，如圖，利用平移的性質(zhì)得到m∥n，則判斷OC∥n，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠OBC＝30°，∠2+∠AOC＝180°，從而得到∠2+∠3的度數(shù)．
【解答】解：作OC∥m，如圖，
∵直線m向上平移直線m得到直線n，
∴m∥n，
∴OC∥n，
∴∠1＝∠BOC，∠2+∠AOC＝180°，∠AOC＝∠3﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1＝180°﹣120°＝60°，
故答案為：60°．

【點評】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共線）且相等．
12．如圖，將△ABC沿著DE對折，點A落到A'處，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，則∠A＝　35　°．

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EDA′＝∠EDA，∠DEA′＝∠DEA，由角平分線及平角定義可得∠BDA′+2∠EDA＝180°，∠CEA′+2∠DEA＝180°，再根據(jù)已知條件得到∠EDA+∠DEA＝145°，由三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)果．
【解答】解：∵將△ABC沿著DE對折，點A落到A'處，
∴∠EDA′＝∠EDA，∠DEA′＝∠DEA，
∵∠BDA′+2∠EDA＝180°，∠CEA′+2∠DEA＝180°，
∴∠BDA′+2∠EDA+∠CEA′+2∠DEA＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠EDA+∠DEA＝145°，
∴∠A＝35°，
故答案為：35．
【點評】本題考查了圖形的折疊變化及三角形內(nèi)角和定理，理解折疊是一種軸對稱變化，運用軸對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．
13．將一副直角三角板如圖放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若邊AB經(jīng)過點D，則∠EDB＝　75　°．

【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求解∠ABC的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)可求解∠BDF的度數(shù)，進而可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，
∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，
故答案為75．
【點評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，求解∠BDF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
14．如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度數(shù)是 　55　度．

【分析】延長B'E，C'F，交于點D，依據(jù)∠A＝∠D，∠AED+∠AFD＝250°，即可得到∠A的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
延長B'E，C'F，交于點D，
由折疊可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝110°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣110°＝250°，
∴四邊形AEDF中，∠A=12（360°﹣250°）＝55°，
故答案為：55．

【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造四邊形，利用四邊形內(nèi)角和進行計算．
15．如圖，AD，CE是△ABC的兩條高，它們相交于點P，已知∠BAC的度數(shù)為α，∠BCA的度數(shù)為β，則∠APC的度數(shù)是　α+β?。?br />
【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，
∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β
故填α+β．

【點評】主要考查了三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件，同時考查了四邊形內(nèi)角和定理．垂直和直角總是聯(lián)系在一起．
16．如圖，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E為AC上一點，且∠ABE＝2∠CBE，在直線AC上取一點P，使∠ABP＝∠DCA，則∠CBP：∠ABP的值為 　2或4?。?br />
【分析】分兩種情況進行解答，分別畫出圖形，結(jié)合圖形，利用三角形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)，等量代換，得出各個角之間的倍數(shù)關(guān)系．
【解答】解：如圖，①當(dāng)∠ABP1＝∠DCA時，即∠1＝∠2，
∵∠D＝120°，
∴∠1+∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵∠BAD＝3∠CAD，∠ABE＝2∠CBE，AD∥BC，
∴3∠3+3∠EBC＝180°，
∴∠3+∠EBC＝60°，
∴∠EBC＝∠1＝∠2＝∠P1BE，
∴∠CBP1：∠ABP1的值為2，
②當(dāng)∠ABP2＝∠DCA時，∴∠CBP2：∠ABP2的值為4，
故答案為：2或4．

【點評】考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，以及分類討論思想的應(yīng)用等知識，畫出相應(yīng)圖形，利用等量代換得出各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
三．解答題（共9小題）
17．如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍還多180°，那么這個多邊形的邊數(shù)是多少？
【分析】多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°，而多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是1260度．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得
（n﹣2）?180＝360×3+180，
解得：n＝9．
則這個多邊形的邊數(shù)是9．
【點評】考查了多邊形內(nèi)角與外角，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解．
18．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一點，AE平分∠DAC．
（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度數(shù)．
（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，請?zhí)角蟆螧AE的度數(shù)與∠ADC、∠C度數(shù)之間的關(guān)系（用含m、n的代數(shù)式表示）．

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAC＝64°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠BAD＝26°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAE＝19°，于是得到結(jié)論；
（2）方法同（1）．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，∠C＝26°，
∴∠BAC＝64°，
∵∠ADC＝116°，
∴∠BAD＝26°，
∴∠DAC＝64°﹣26°＝38°，
∵AE是∠DAC的平分線，
∴∠DAE＝19°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝26°+19°＝45°；
（2）∵∠B＝90°，∠C＝n°，
∴∠BAC＝90°﹣n°，
∵∠ADC＝m°，
∴∠BAD＝m°﹣90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝（90°﹣n°）﹣（m°﹣90°），
∵AE是∠DAC的角平分線，
∴∠DAE=12∠DAC=12（180°﹣n°﹣m°），
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝m°﹣90°+12（180°﹣n°﹣m°）=12m°-12n°．
【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．
（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度數(shù)；
（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度數(shù)．

【分析】（1）由外角的性質(zhì)可得∠ABD＝20°，由角平分線的性質(zhì)可得∠EBC＝40°，由平行線的性質(zhì)即可求解；
（2）由外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠A+2∠ABD＝65°，再由∠A﹣∠ABD＝20°，即可求出∠A的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠BDC＝60°，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣40°＝20°，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠EBC＝2∠ABD＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠BED+∠EBC＝180°，
∠BED＝180°﹣40°＝140°；
（2）∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∵∠EDC＝∠EDB+∠BDC＝∠EDB+∠A+∠ABD，
∴∠EDC＝∠A+2∠ABD，
∵∠EDC＝65°，
∴∠A+2∠ABD＝65°，
∵∠A﹣∠ABD＝20°，
∴∠A＝35°．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活應(yīng)用這些性質(zhì)解決問題是解決本題的關(guān)鍵．
20．如圖，把△ABC沿EF折疊，使點A落在點D處，
（1）若DE∥AC，試判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠D＝∠A，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠A，∠2＝∠D，所等量代換得到∠1＝∠2．
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，所根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°得到∠AED+∠AFD＝260°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵∠D是由∠A翻折得到，
∴∠D＝∠A，
∵DE∥AC，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠D，
∴∠1＝∠2．
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°，
∵△DEF是△AEF由翻折得到，
∵∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，
∴∠AED+∠AFD＝260°，
∵∠1+∠2+∠AED+∠AFD＝360°，
∴∠1+∠2＝100°．
【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．
21．已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E、P分別是線段AB、BC上的動點．（E、P不與點B重合）

（1）如圖1，若DE∥BC，則
①∠EDB的度數(shù)是 　40　°．
②當(dāng)∠EDF＝∠DEF時，∠EPB＝　40　°；當(dāng)∠DEF＝∠EFD時，∠EPB＝　70　°．
（2）如圖2，若DE⊥AB，當(dāng)△DEF中有兩個相等的角時，求出∠EPB的度數(shù)．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解∠ABC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可得∠ABD，∠CBD的度數(shù)，
（1）①由平行線的性質(zhì)可求解；
②當(dāng)∠EDF＝∠DEF時，利用平行線的性質(zhì)可求解；當(dāng)∠DEF＝∠EFD時，利用三角形的內(nèi)角和定理可求得∠DEF的度數(shù)，進而可求解；
（2）由垂直的定義及三角形的內(nèi)角和定理可求解∠EDF的度數(shù)，再分三種情況：當(dāng)∠DEF＝∠EDF＝50°時，當(dāng)∠DEF＝∠DFE時，當(dāng)∠EDF＝∠DFE時，計算可求解．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝40°，
（1）①∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD＝40°，
故答案為40；
②當(dāng)∠EDF＝∠DEF時，∠DEF＝∠EDB＝40°，
∵ED∥BC，
∴∠EPB＝∠DEF＝40°；
當(dāng)∠DEF＝∠EFD時，
∵∠EDF＝40°，
∴∠DEF=180°-40°2=70°，
∵ED∥BC，
∴∠EPB＝∠DEF＝70°；
故答案為40；70；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠EDF＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
當(dāng)∠DEF＝∠EDF＝50°時，
∴∠DFE＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠BFP＝∠DFE＝80°，
∵∠BFP+∠EPB+∠DBC＝180°，
∴∠EPB＝180°﹣40°﹣80°＝60°；
當(dāng)∠DEF＝∠DFE時，
∴∠DFE=180°-50°2=65°，
∴∠BFP＝∠DFE＝65°，
∵∠BFP+∠EPB+∠DBC＝180°，
∴∠EPB＝180°﹣40°﹣65°＝75°；
當(dāng)∠EDF＝∠DFE時，
∴∠DFE＝50°，
∴∠BFP＝∠DFE＝50°，
∵∠BFP+∠EPB+∠DBC＝180°，
∴∠EPB＝180°﹣40°﹣50°＝90°．
綜上，∠EPB的度數(shù)為60°或75°或90°．
【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，靈活運用等腰三角形的性質(zhì)求解角度時分類討論時解題的關(guān)鍵．
22．已知AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，PF交AB于點G．
（1）如圖1，直接寫出∠P、∠PEB與∠PFD之間的數(shù)量關(guān)系：　∠P+∠PEB＝∠PFD?。?br /> （2）如圖2，EQ、FQ分別為∠PEB與∠PFD的平分線，且交于點Q，試說明∠P＝2∠Q；
（3）如圖3，若∠BEQ=13∠PEB，∠DFQ=13∠PFD，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請求出∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系；
（4）在（3）的條件下，若∠CFP＝72°，當(dāng)點E在A、B之間運動時，是否存在PE∥FQ？若存在，請求出∠Q的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）由補角性質(zhì)得∠P+∠PEB＝∠PGB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)及平行線性質(zhì)可得∠QEB+∠Q＝∠KFD，再由平分線的定義可得結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可得答案；
（4）根據(jù)角的關(guān)系得∠DFQ，∠PFQ的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠P+∠PEB+∠PGE＝180°，∠PGE+∠BGB＝180°，
∴∠P+∠PEB＝∠PGB，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD，
∴∠P+∠PEB＝∠PFD．
故答案為：∠P+∠PEB＝∠PFD．
（2）∵在三角形EQK中，∠QEB+∠Q＝∠QKB，AB∥CD，
∴∠QKB＝∠KFD，
∴∠QEB+∠Q＝∠KFD，
∵EQ、FQ分別為∠PEB與∠PFD的平分線，
∴2∠QEB＝∠PEB，2∠KFD＝∠PFD，
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
∴∠P+2∠QEB＝2∠KFD，即：∠P＝2∠KFD﹣2∠QEB＝2∠Q，
（3）∠P＝3∠Q，理由如下：
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
由（2）知，∠Q+∠QEB＝∠QFD，
∵∠BEQ=13∠PEB，∠DFQ=13∠PFD，
∴∠P＝3∠Q，
（4）∵∠CFP＝72°，
∴∠PFD＝108°，
∴∠DFQ=13∠PFD＝36°，∠PFQ＝108°﹣36°＝72°，
∵PE∥FQ，
∴∠EPF＝∠PFQ＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD＝108°，
∴∠PEB＝∠PGB﹣∠EPF＝108°﹣72°＝36°，
∵∠BEQ=13∠PEB＝12°，
∴∠Q＝∠QKB﹣∠BEQ＝∠QFD﹣∠BEQ＝36°﹣12°＝24°，
∴存在PE∥FQ，∠Q＝24°．
【點評】此題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，能夠在解答過程中找準同位角、內(nèi)錯角是解決此題關(guān)鍵．
23．【探究】
（1）如圖1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點F，則∠AFB＝　35　°；
（2）如圖2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點F，則∠AFB＝　12α+12β-90°　；（用α、β表示）
（3）如圖3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時，α、β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

【挑戰(zhàn)】
如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，你又可以找到怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并直接寫出結(jié)論．
【分析】利用三角形外角的性質(zhì)，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通過角平分線的定義以及四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)，將∠F＝∠FBE﹣∠FAB轉(zhuǎn)化為含有α與β的關(guān)系式，進而求出∠AFB．
【解答】解：（1）如圖1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE=12∠CBE，∠FAB=12∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB=12∠CBE-12∠DAB
=12(∠CBE-∠DAB)=12(180°-∠ABC-∠DAB)
=12×(180°-110°)=35°．
（2）如圖2．
由（1）得：∠AFB=12(180°-∠ABC-∠DAB)，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB=12(180°-360°+∠D+∠DCB)=12∠D+12∠DCB-90°=12α+12β-90°．
（3）若AG∥BH，則α+β＝180°．
證明：如圖3．
若AG∥BH，則∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑戰(zhàn)：如圖4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM=12∠DAB，∠NBE=12∠CBE．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF與∠NBE是對頂角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F=12∠DAB-∠NBE=12∠DAB-12∠CBE
=12(∠DAB-∠CBE)=12(180°-α-β)
＝90°-12α-12β．

【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義．借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件解題．
24．△ABC中，三個內(nèi)角的平分線交于點O，過點O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點D．
（1）如圖1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度數(shù)；
（2）如圖1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度數(shù)；
（3）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點F．求證：BF∥OD；
（4）若∠F＝∠ABC＝40°，將△BOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直線與FC平行，請直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度α的值．
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和、角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)解題；
（2）將（1）中特殊角改為n°，按步驟解題；
（3）由角平分線的定義和平行線的判定定理證明；
（4）數(shù)形結(jié)合，分類討論．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC+∠BCA＝130°，
∵△ABC的三個內(nèi)角的平分線交于點O，
∴∠OBD＝25°，∠OAC+∠OCA＝65°，
∴∠AOC＝115°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝115°，
∵∠ODC是△OBD的一個外角，
∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝115°﹣25°＝90°．
（2）解：∵∠ABC＝n°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣n°，
∵△ABC的三個內(nèi)角的平分線交于點O，
∴∠OBD=12n°，∠OAC+∠OCA＝90°-12n°，
∴∠AOC＝180°﹣（90°-12n°）＝90°+12n°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝90°+12n°，
∵∠ODC是△OBD的一個外角，
∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝90°+12n°-12n°＝90°．
（3）證明：由（2）得，∠BOD＝90°，
∵BO平分∠ABC，BF平分∠ABE，
∴∠ABF=12∠ABE，∠ABO=12∠ABC，
∴∠FBO=12∠ABE+12∠ABC＝90°，
由（2）得，∠BOD＝90°，
∴∠FBO＝∠BOD，
∴BF∥OD．
（4）∵∠F＝∠ABC＝40°，∠FBO＝∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝∠OB'D'＝20°，∠FOB＝50°，
∴∠ODB＝∠OD'B'＝70°，∠DOC＝180°50°﹣90°＝40°，、
如圖（1），∵D'B'∥FC，
∴∠OD'B'＝∠D'OC＝70°，
∴∠DOD'＝∠D'OC﹣∠DOC＝70°﹣40°＝30°，即α＝30°，
如圖（2），∵D'B'∥FC，
∴∠OD'B'＝∠D'OF＝70°，
∴α＝∠FOD'+∠FOB+∠DOB＝70°+50°+90°＝210°，
∴旋轉(zhuǎn)角α為30°或210°時，B'D'所在直線與FC平行．


【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和、角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，要求學(xué)生學(xué)會由特殊到一般的探究思路和分類討論的思想解題．
25．如圖①，∠MON＝80°，點A、B在∠MON的兩條邊上運動，∠OAB與∠OBA的平分線交于點C．

（1）點A、B在運動過程中，∠ACB的大小會變嗎？如果不會，求出∠ACB的度數(shù)；如果會，請說明理由．
（2）如圖②，AD是∠MAB的平分線，AD的反向延長線交BC的延長線于點E，點A、B在運動過程中，∠E的大小會變嗎？如果不會，求出∠E的度數(shù)；如果會，請說明理由．
（3）若∠MON＝n，請直接寫出∠ACB＝　90°+12n　；∠E＝　12n　．
【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)求出∠CAB+∠CBA的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°即可求解；
（2）根據(jù)AD是∠MAB的平分線，AC平分∠OAB．可知∠CAD＝90°，∠CAE＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°即可求解
（3）仿照（1）（2）中的計算方法即可得到∠ACB＝90°+12n，∠E=12n．
【解答】解：（1）∠ACB的大小不變．
在△AOB中，由∠AOB＝80°，得∠OAB+∠OBA＝100°，
因為AC、BC分別平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB=12∠OAB，∠CBA=12∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA=12（∠OAB+∠OBA）=12×100°＝50°，
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣50°＝130°；

（2）∠E的大小不變．
證明：因為AC、AD分別平分∠OAB和∠BAM，
所以∠CAB=12∠OAB，∠DAB=12∠BAM，
所以∠CAB+∠DAB=12（∠OAB+∠BAM）=12×180°＝90°，
即∠CAD＝90°，
所以∠CAE＝90°，
又由（1）可知∠ACB＝130°，
所以∠ACE＝50°，
在△AEC中，由∠CAE＝90°，∠ACE＝50°，得
∠E＝180°﹣90°﹣50°＝40°；

（3）∠ACB＝90°+12n，∠E=12n．
理由：因為AC、BC分別平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB=12∠OAB，∠CBA=12∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA=12（∠OAB+∠OBA），
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°-12（∠OAB+∠OBA）＝180°-12（180°﹣∠AOB）＝90°+12∠AOB＝90°+12n；
因為BC、AD分別平分∠OBA和∠BAM，
所以∠ABE=12∠OBA，∠DAB=12∠BAM，
因為∠BAM是△ABO的外角，
所以∠O＝∠BAM﹣∠ABO，
∵∠DAB是△ABE的外角，
∴∠E＝∠DAB﹣∠ABE=12∠BAM-12∠OBA=12（∠BAM﹣∠ABO）=12∠O=12n．
故答案為：90°+12n，12n．

【點評】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的運用，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識：①三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和；②三角形的內(nèi)角和是180°．

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