?2023年河北省唐山市路北區(qū)中考數(shù)學測評試卷（3月份）
一、選擇題（本大題共16個小題。1～10小題每題3分，11～16小題每題2分，共42分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．如圖，數(shù)軸上被遮擋住的整數(shù)的相反數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．﹣3 C．﹣1 D．0
2．如圖，有一個破損的扇形零件，小明利用圖中的量角器量出這個扇形零件的圓心角度數(shù)為50°，你認為小明測量的依據(jù)是（　?。?br />
A．垂線段最短 B．對頂角相等
C．圓的定義 D．三角形內(nèi)角和等于180°
3．實數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則（　　）

A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．|a|＜|b|
4．在探索因式分解的公式時，可以借助幾何圖形來解釋某些公式．如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解釋的因式分解公式是（　?。?br />
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a(chǎn)2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
5．如圖，直線l1∥l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億＝1萬×1萬，1兆＝1萬×1萬×1億．則1兆等于（　?。?br /> A．108 B．1012 C．1016 D．1024
7．從圖1的正方體上截去一個三棱錐后，得到如圖2所示的幾何體，則這個幾何體的主視圖是（　　）

A． B． C． D．
8．過直線l外一點P作直線l的垂線PQ．下列尺規(guī)作圖錯誤的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
9．試卷上一個正確的式子（+）÷★＝被小穎同學不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代數(shù)式為（　?。?br /> A． B． C． D．
10．我國某型號運載火箭的整流罩的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：米）計算該整流罩的側(cè)面積（單位：平方米）是（　?。?br />
A．13.44π B．12π C．11.52π D．7.2π
11．小明用四根長度相同的木條首尾相接制作了能夠活動的學具，他先活動學具成為圖1所示，并測得∠B＝60°，接著活動學具成為圖2所示，并測得∠ABC＝90°，若圖2對角線BD＝40cm，則圖1中對角線BD的長為（　　）

A．20cm B．20cm C．20cm D．20cm
12．為規(guī)范市場秩序、保障民生工程，監(jiān)管部門對某一商品的價格持續(xù)監(jiān)控．該商品的價格y1（元/件）隨時間t（天）的變化如圖所示，設(shè)y2（元/件）表示從第1天到第t天該商品的平均價格，則y2隨t變化的圖象大致是（　?。?br />
A．
B．
C．
D．
13．以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
14．甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)（單位：環(huán)）及方差S2（單位：環(huán)2）如下表所示：

甲
乙
丙
丁

9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)選擇（　?。?br /> A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
15．某工廠生產(chǎn)A、B兩種型號的掃地機器人．B型機器人比A型機器人每小時的清掃面積多50%；清掃100m2所用的時間A型機器人比B型機器人多用40分鐘．兩種型號掃地機器人每小時分別清掃多少面積？若設(shè)A型掃地機器人每小時清掃xm2，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br /> A．＝+ B．+＝
C．+＝ D．＝+
16．如圖，點A，B的坐標分別為A（2，0），B（0，2），點C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（　?。?br />
A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
二、填空題（本大題共3個小題，每小題0分，共9分.其中18小題第一空2分，第二空1分，19小題每空1分）
17．某班按課外閱讀時間將學生分為3組，第1、2組的頻率分別為0.2、0.5，則第3組的頻率是 　 　．
18．綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為 　 　cm．

19．根據(jù)圖中給出的信息．

（1）若在左邊水桶中放入一個小球和一個大球，則水桶中的水位高度是 　 　．
（2）若在左邊水桶中放入10個球，水桶中的水位升高到50cm，則放入大球的數(shù)量是 　 ?。?br /> 三、解答題（本大題共7個小題，共69分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．小紅在計算a（1+a）﹣（a﹣1）2時，解答過程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣1）…………第一步
＝a+a2﹣a2﹣1…………第二步
＝a﹣1…………第三步
小紅的解答從第 　 　步開始出錯，請寫出正確的解答過程．
21．在計算題目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”時，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的計算結(jié)果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判斷2M﹣N的化簡結(jié)果是否能為負數(shù)，并說明理由．
22．某校為了了解本校學生每天課后進行體育鍛煉的時間情況，在5月份某天隨機抽取了若干名學生進行調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)學生每天課后進行體育鍛煉的時間都不超過100分鐘，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表．請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
組別
鍛煉時間（分）
頻數(shù)（人）
百分比
A
0＜x≤20
12
20%
B
20＜x≤40
a
35%
C
40≤x≤60
18
b
D
60＜x≤80
6
10%
E
80＜x≤100
3
5%
（1）本次調(diào)查的樣本容量是 　 ?。槐碇衋＝　 　，b＝　 　；
（2）將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
（3）已知E組有2名男生和1名女生，從中隨機抽取兩名學生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 　 ?。?br /> （4）若該校學生共有2200人，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估計：該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有多少人？

23．一個四位數(shù)，若它的千位數(shù)字與個位數(shù)字相同，百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，那么稱這個四位數(shù)為“對稱數(shù)”．
（1）最小的四位“對稱數(shù)”是 　 　，最大的四位“對稱數(shù)”是 　 ??；
（2）若一個“對稱數(shù)”的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，請用含a，b的代數(shù)式表示該“對稱數(shù)”；
（3）判斷任意一個四位“對稱數(shù)”能否被11整除，若能，請說明理由，若不能，請舉出反例．
24．在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半徑OA＝12，點P為AO上任一點（不與A、O重合）．
（1）如圖1，Q是OB上一點，若OP＝OQ，求證：BP＝AQ．
（2）如圖2，將扇形沿BP折疊，得到O的對稱點O'．
①若點O'落在上，求的長．
②當BO'與扇形AOB所在的圓相切時，求折痕的長．（注：本題結(jié)果不取近似值）

25．閱讀理解：
在平面直角坐標系中，點M的坐標為（x1，y1），點N的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N為某矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關(guān)矩形”．如圖1中的矩形為點M、N的“相關(guān)矩形”．
（1）已知點A的坐標為（2，0）．
①若點B的坐標為（4，4），則點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為 　 ?。?br /> ②若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的解析式；
（2）已知點P的坐標為（3，﹣4），點Q的坐標為（6，﹣2）若使函數(shù)y＝的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個公共點，直接寫出k的取值．

26．如圖，在?ABCD中，∠A＝120°，AB＝2BC＝8，點M在BC邊所在的直線上，CM＝8，PQ＝6，以PQ為直徑的半圓O與BC相切于點P，點H為半圓弧PQ上一動點．
探索：如圖1，當點P與點M重合時，則BQ＝　 　，線段CH的最小值為 　 ??；
思考：若點H從Q開始繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)，速度為15度/秒，同時半圓O從M點出發(fā)沿MB做平移運動，速度為1個單位長度/秒，運動時間為t秒（0≤t≤12）．解決下列問題：
（1）如圖2，當PQ與D點在一條直線上時，求點O到CD的距離及扇形OHQ的面積；
（2）當圓O與CD相切于點K時，求∠HOQ的度數(shù)；
直接判斷此時：弧HQ長 　 　弦KQ長（填：＜、＞或＝）；
（3）當弧HQ（包括端點）與?ABCD邊有兩個交點時，直接寫出運動時間t的取值范圍．


2023年河北省唐山市路北區(qū)中考數(shù)學測評試卷（3月份）
（參考答案與詳解）
一、選擇題（本大題共16個小題。1～10小題每題3分，11～16小題每題2分，共42分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．如圖，數(shù)軸上被遮擋住的整數(shù)的相反數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．﹣3 C．﹣1 D．0
【解答】解：被遮住的左邊是整數(shù)﹣2，右邊是0，因此被遮擋的整數(shù)是﹣1，﹣1的相反數(shù)是1，
故選：A．
2．如圖，有一個破損的扇形零件，小明利用圖中的量角器量出這個扇形零件的圓心角度數(shù)為50°，你認為小明測量的依據(jù)是（　?。?br />
A．垂線段最短 B．對頂角相等
C．圓的定義 D．三角形內(nèi)角和等于180°
【解答】解：由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角．
因為對頂角相等，所以利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)．
故選：B．
3．實數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則（　　）

A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．|a|＜|b|
【解答】解：根據(jù)實數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的位置可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b．
故選：C．
4．在探索因式分解的公式時，可以借助幾何圖形來解釋某些公式．如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解釋的因式分解公式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a(chǎn)2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【解答】解：如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解釋的因式分解公式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故選：B．
5．如圖，直線l1∥l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．30°
【解答】解：由題意可得AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，
∴∠CAB＝∠CBA＝15°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CBA＝15°．
故選：B．
6．《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億＝1萬×1萬，1兆＝1萬×1萬×1億．則1兆等于（　?。?br /> A．108 B．1012 C．1016 D．1024
【解答】解：1億＝104×104
＝108，
1兆＝104×104×108
＝104+4+8
＝1016，
故選：C．
7．從圖1的正方體上截去一個三棱錐后，得到如圖2所示的幾何體，則這個幾何體的主視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：從正面看得到的圖形為有一條對角線的正方形，如圖所示：
，
故選：D．
8．過直線l外一點P作直線l的垂線PQ．下列尺規(guī)作圖錯誤的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【解答】解：選項A，連接PA，PB，QA，QB，

∵PA＝PB，
∴點P在線段AB的垂直平分線上，
∵QA＝QB，
∴點Q在線段AB的垂直平分線上，
∴PQ⊥l，故此選項不符合題意；
選項B，連接PA，PB，QA，QB，

∵PA＝QA，
∴點A在線段PQ的垂直平分線上，
∵PB＝QB，
∴點B在線段PQ的垂直平分線上，
∴PQ⊥l，故此選項不符合題意；
選項C，無法證明PQ⊥l，故此選項符合題意；
選項D，連接PA，PB，QA，QB，

∵PA＝QA，
∴點A在線段PQ的垂直平分線上，
∵PB＝QB，
∴點B在線段PQ的垂直平分線上，
∴PQ⊥l，故此選項不符合題意；
故選：C．
9．試卷上一個正確的式子（+）÷★＝被小穎同學不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代數(shù)式為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（+）÷★＝，
∴被墨汁遮住部分的代數(shù)式是（+）÷
＝?
＝?
＝；
故選：A．
10．我國某型號運載火箭的整流罩的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：米）計算該整流罩的側(cè)面積（單位：平方米）是（　?。?br />
A．13.44π B．12π C．11.52π D．7.2π
【解答】解：觀察圖形可知：
圓錐母線長為：＝2（米），
所以該整流罩的側(cè)面積為：π×2.4×4+π×（2.4÷2）×2＝12π（平方米）．
答：該整流罩的側(cè)面積是12π平方米．
故選：B．
11．小明用四根長度相同的木條首尾相接制作了能夠活動的學具，他先活動學具成為圖1所示，并測得∠B＝60°，接著活動學具成為圖2所示，并測得∠ABC＝90°，若圖2對角線BD＝40cm，則圖1中對角線BD的長為（　?。?br />
A．20cm B．20cm C．20cm D．20cm
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四邊形ABCD是菱形（圖1），
當∠ABC＝90°時，四邊形ABCD是正方形（圖2），
∴圖2中，∠A＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴AB＝AD＝BD＝20cm，
圖1中，連接AC，交BD于O，
∵∠B＝60°，四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠ABO＝30°，
∴OA＝AB＝10cm，OB＝OA＝10cm，
∴BD＝2OB＝20cm；
故選：D．

12．為規(guī)范市場秩序、保障民生工程，監(jiān)管部門對某一商品的價格持續(xù)監(jiān)控．該商品的價格y1（元/件）隨時間t（天）的變化如圖所示，設(shè)y2（元/件）表示從第1天到第t天該商品的平均價格，則y2隨t變化的圖象大致是（　?。?br />
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由商品的價格y1（元/件）隨時間t（天）的變化圖得：商品的價格從5增長到15，然后保持15不變，一段時間后又下降到5，
∴第1天到第t天該商品的平均價格變化的規(guī)律是先快后慢的增長，最后又短時間下降，但是平均價格始終小于15．
故選：A．
13．以下有關(guān)勾股定理證明的圖形中，不是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是中心對稱圖形，符合題意；
B．是中心對稱圖形，不符合題意；
C．是中心對稱圖形，不符合題意；
D．是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：A．
14．甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)（單位：環(huán)）及方差S2（單位：環(huán)2）如下表所示：

甲
乙
丙
丁

9
8
9
9
S2
1.6
0.8
3
0.8
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)選擇（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：甲、丙、丁射擊成績的平均環(huán)數(shù)較大，
∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴丁比較穩(wěn)定，
∴成績較好狀態(tài)穩(wěn)定的運動員是丁，
故選：D．
15．某工廠生產(chǎn)A、B兩種型號的掃地機器人．B型機器人比A型機器人每小時的清掃面積多50%；清掃100m2所用的時間A型機器人比B型機器人多用40分鐘．兩種型號掃地機器人每小時分別清掃多少面積？若設(shè)A型掃地機器人每小時清掃xm2，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br /> A．＝+ B．+＝
C．+＝ D．＝+
【解答】解：若設(shè)A型掃地機器人每小時清掃xm2，則B型掃地機器人每小時清掃（1+50%）xm2，
根據(jù)題意，得＝+．
故選：D．
16．如圖，點A，B的坐標分別為A（2，0），B（0，2），點C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝1，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（　?。?br />
A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
【解答】解：如圖，
∵點C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半徑為1，
取OD＝OA＝2，連接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM＝CD，
當OM最大時，即CD最大，而D，B，C三點共線時，當C在DB的延長線上時，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值為+；
故選：B．
二、填空題（本大題共3個小題，每小題0分，共9分.其中18小題第一空2分，第二空1分，19小題每空1分）
17．某班按課外閱讀時間將學生分為3組，第1、2組的頻率分別為0.2、0.5，則第3組的頻率是 　0.3　．
【解答】解：由各組頻率之和為1得，
1﹣0.2﹣0.5＝0.3，
故答案為：0.3．
18．綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為 　22　cm．

【解答】解：延長AT交BC于點P，

∵AP⊥BC，
∴?BC?AP＝24，
∴×8×AP＝24，
∴AP＝6（cm），
由題意，AT＝PT＝3（cm），
∴BE＝CD＝PT＝3（cm），
∵DE＝BC＝8cm，
∴矩形BCDE的周長為8+8+3+3＝22（cm）．
故答案為：22．
19．根據(jù)圖中給出的信息．

（1）若在左邊水桶中放入一個小球和一個大球，則水桶中的水位高度是 　31cm　．
（2）若在左邊水桶中放入10個球，水桶中的水位升高到50cm，則放入大球的數(shù)量是 　4個?。?br /> 【解答】解：（1）由已知得，在左邊水桶中放入一個小球水桶中的水位高度上升＝2（cm），放入一個大球水桶中的水位高度上升＝3（cm），
∴在左邊水桶中放入一個小球和一個大球，則水桶中的水位高度是26+2+3＝31（cm），
故答案為：31cm；
（2）設(shè)放入大球x個，則放入小球（10﹣x）個，
根據(jù)題意得：3x+2（10﹣x）＝50﹣26，
解得x＝4，
答：放入大球4個．
故答案為：4個．
三、解答題（本大題共7個小題，共69分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．小紅在計算a（1+a）﹣（a﹣1）2時，解答過程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣1）…………第一步
＝a+a2﹣a2﹣1…………第二步
＝a﹣1…………第三步
小紅的解答從第 　一　步開始出錯，請寫出正確的解答過程．
【解答】解：由完全平方公式可知，小紅的解答從第一步開始出錯，
故答案為：一．
正確的解答過程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）
＝a+a2﹣a2+2a﹣1
＝3a﹣1．
21．在計算題目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”時，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的計算結(jié)果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判斷2M﹣N的化簡結(jié)果是否能為負數(shù)，并說明理由．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：N＝[3x2﹣4x+2﹣（﹣x2+4x﹣4）]＝2x2﹣4x+3；
（2）2M﹣N＝2（3x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣4x+3）＝6x2﹣8+4﹣2x2+4x﹣3＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，
∵（2x﹣1）2≥0．
∴2M﹣N的化簡結(jié)果不能為負數(shù)．
22．某校為了了解本校學生每天課后進行體育鍛煉的時間情況，在5月份某天隨機抽取了若干名學生進行調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)學生每天課后進行體育鍛煉的時間都不超過100分鐘，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表．請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
組別
鍛煉時間（分）
頻數(shù)（人）
百分比
A
0＜x≤20
12
20%
B
20＜x≤40
a
35%
C
40≤x≤60
18
b
D
60＜x≤80
6
10%
E
80＜x≤100
3
5%
（1）本次調(diào)查的樣本容量是 　60?。槐碇衋＝　21　，b＝　30%??；
（2）將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
（3）已知E組有2名男生和1名女生，從中隨機抽取兩名學生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 　??；
（4）若該校學生共有2200人，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估計：該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有多少人？

【解答】解：（1）本次調(diào)查的樣本容量是：12÷20%＝60，
則a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，
故答案為：60，21，30%；
（2）將頻數(shù)分布直方圖補充完整如下：

（3）畫樹狀圖如圖：

共有6種等可能的結(jié)果，恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果有4種，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率為＝，
故答案為：；
（4）2200×（10%+5%）＝330（人），
即該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生大約有330人．
23．一個四位數(shù)，若它的千位數(shù)字與個位數(shù)字相同，百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，那么稱這個四位數(shù)為“對稱數(shù)”．
（1）最小的四位“對稱數(shù)”是 　1001　，最大的四位“對稱數(shù)”是 　9999??；
（2）若一個“對稱數(shù)”的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，請用含a，b的代數(shù)式表示該“對稱數(shù)”；
（3）判斷任意一個四位“對稱數(shù)”能否被11整除，若能，請說明理由，若不能，請舉出反例．
【解答】解：（1）最小的四位“對稱數(shù)”是1001，最大的四位“對稱數(shù)”是9999；
故答案為：1001，9999；
（2）根據(jù)題意得：1000a+100b+10b+a
＝1001a+110b；
（3）任意一個四位“對稱數(shù)”能被11整除，理由為：
1001a+110b
＝11（91a+10b），
∵91a+10b為整數(shù)，
∴這個四位“對稱數(shù)”能被11整除．
24．在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半徑OA＝12，點P為AO上任一點（不與A、O重合）．
（1）如圖1，Q是OB上一點，若OP＝OQ，求證：BP＝AQ．
（2）如圖2，將扇形沿BP折疊，得到O的對稱點O'．
①若點O'落在上，求的長．
②當BO'與扇形AOB所在的圓相切時，求折痕的長．（注：本題結(jié)果不取近似值）

【解答】（1）證明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，
∴△BOP≌△AOQ（SAS）．
∴BP＝AQ．
（2）解：①如圖1，點O'落在上，連接OO'，

∵將扇形沿BP折疊，得到O的對稱點O'，
∴OB＝O'B，
∵OB＝OO'，
∴△BOO'是等邊三角形，
∴∠O'OB＝60°．
∵∠AOB＝75°，
∴∠AOO'＝15°．
∴的長為．
②BO'與扇形AOB所在的圓相切時，如圖2所示，

∴∠OBO'＝90°．
∴∠OBP＝45°．
過點O作OC⊥BP于點C，
∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，
∴．
又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，
∴∠POC＝30°，
∴．
∴．
∴折痕的長為．
25．閱讀理解：
在平面直角坐標系中，點M的坐標為（x1，y1），點N的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N為某矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關(guān)矩形”．如圖1中的矩形為點M、N的“相關(guān)矩形”．
（1）已知點A的坐標為（2，0）．
①若點B的坐標為（4，4），則點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為 　12?。?br /> ②若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的解析式；
（2）已知點P的坐標為（3，﹣4），點Q的坐標為（6，﹣2）若使函數(shù)y＝的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個公共點，直接寫出k的取值．

【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），
∴點A、B的“相關(guān)矩形”的周長為（4﹣2+4）×2＝12，
故答案為：12；
②∵若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，

∴C（4，2）或（4，﹣2），
設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y＝kx+b
將（2，0）、（4，2）代入解得：k＝1，b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
將（2，0）、（4，﹣2）代入解得：k＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x+2，
∴直線AC的解析式為：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；
（2）∵點P的坐標為（3，﹣4），點Q的坐標為（6，﹣2），
設(shè)點P、Q的“相關(guān)矩形”為矩形MPNQ，則M（3，﹣2），N（6，﹣4），
當函數(shù)y＝的圖象過M時，k＝﹣6，
當函數(shù)y＝的圖象過N時，k＝﹣24，
若使函數(shù)y＝的圖象與點P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個公共點，則﹣24＜k＜﹣6．

26．如圖，在?ABCD中，∠A＝120°，AB＝2BC＝8，點M在BC邊所在的直線上，CM＝8，PQ＝6，以PQ為直徑的半圓O與BC相切于點P，點H為半圓弧PQ上一動點．
探索：如圖1，當點P與點M重合時，則BQ＝　6　，線段CH的最小值為 　　；
思考：若點H從Q開始繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)，速度為15度/秒，同時半圓O從M點出發(fā)沿MB做平移運動，速度為1個單位長度/秒，運動時間為t秒（0≤t≤12）．解決下列問題：
（1）如圖2，當PQ與D點在一條直線上時，求點O到CD的距離及扇形OHQ的面積；
（2）當圓O與CD相切于點K時，求∠HOQ的度數(shù)；
直接判斷此時：弧HQ長 ?。肌∠襅Q長（填：＜、＞或＝）；
（3）當弧HQ（包括端點）與?ABCD邊有兩個交點時，直接寫出運動時間t的取值范圍．

【解答】解：探索：如圖，連接BQ，CO，當點P與點M重合時，

∵以PQ為直徑的半圓O與BC相切于點P，
∴BM⊥QM，
∵AB＝2BC＝8，CM＝8，PQ＝6，
∴BC＝4，BM＝4+8＝12，
∴BQ＝＝6，
當C、H、O共線時，CH+HO的值最小，由HO為定值，即CH的值最小，
∵HO＝，
∴CH＝CO﹣3＝﹣3＝﹣3＝，
故答案為：6；．
思考：（1）如圖，當PQ與D點在一條直線上時，則PD⊥BM，

在?ABCD中，∠A＝120°，AB＝2BC＝8，
∴CD＝8，∠BCD＝120°，
∴∠DCP＝60°，
∴CP＝CD?cos60°＝4，DP＝CD?sin60°＝4，
∴DO＝4﹣3，
設(shè)O點到CD的距離為h，
∵S，
∴h＝，
∵PM＝CM﹣CP＝4，半圓O從M點出發(fā)沿MB做平移運動，速度為1個單位長度每秒，
∴運動了4秒，
∵點H從Q開始繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)，速度為15度/秒，
∴∠HOQ＝15°×4＝60°，
∴扇形OHQ的面積＝；
故O點到CD的距離為2，扇形OHQ的面積為；
（2）如圖，連接OK，CO，當⊙O與CD相切于點K時，則OK⊥CD，

∴CO平分∠DCM，
∴∠DCO＝∠OCM＝30°，
∴CO＝2OK＝6，
在Rt△COP中，CP＝，
∴PM＝CM﹣CP＝8﹣3，
∴運動時間為（8﹣3）秒，
∴∠HOQ＝（120﹣45）°，
∴的長為；
連接KQ，由∠DCP＝60°，∠OKC＝90°，∠OPC＝90°，
∴∠KOP＝120°，
∴∠KOQ＝60°，
∵OK＝OQ，
∴△KOQ是等邊三角形，
∴KQ＝3，
∴的長＜的長，
故答案為：＜；
（3）如圖，當AB與半圓相切時，切點記為N，連接ON，OB，

∴BO平分∠ABP，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABP＝60°，
∴∠OBP＝30°，
∴BP＝，
∴PM＝BM﹣BP＝12﹣3，
∴運動時間為（12﹣3）秒，
此時∠HOQ＝15°×（12﹣3）＝（180﹣45）°，
，
當點Q運動到AB上時，此時BP＝2，

∴PM＝12﹣2，
∴運動時間為（12﹣2）秒，
此時∠HOQ＞∠EOQ，
∴12﹣3．


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