?2022-2023學年湖北省咸寧市通城縣八年級（下）入學數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．要使分式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≠1 B．x≠0 C．0＜x＜1 D．x≠﹣1
2．如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．下列運算結果正確的是（　?。?br /> A．2 B．
C．a D．2﹣3＝﹣8
4．點M（﹣2，1）關于y軸的對稱點N的坐標是（　?。?br /> A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
5．已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長是（　?。?br /> A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是（　?。?br />
A．72° B．85° C．65° D．80°
7．若關于x的方程無解，則m的值是（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，DE∥AC交AB于點E，若AB＝8，則DE的長度是（　?。?br />
A．6 B．2 C．3 D．4
二、填空題（每小題3分，共24分）
9．若分式的值為0，則x＝　 ?。?br /> 10．分解因式：x2y﹣4y＝　 ?。?br /> 11．如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠DBE＝42°，則∠AEB＝　 ?。?br />
12．如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點M，N是射線CD上的一點．若∠B＝64°，∠MDN＝136°，則∠AMB＝　 ?。?br />
13．若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是 　 ?。?br /> 14．若三角形的三邊分別為a、b、c，且分式的值為0，則此三角形一定是 　 ?。?br /> 15．如圖∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF＝　 　．

16．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線分別交AC，AD于點E，F(xiàn)，M為EF的中點，連接AM并延長交BC于點N，連接DM，下列結論：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN； ④△ADM和△DMN的面積相等．其中正確的結論是 　 　．

三、解答題（共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．分解因式：
（1）5x2+10x+5；
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）．
19．先化簡，再求值：（），其中x＝2023．
20．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC∥DF，∠B＝∠E，BF＝CE，求證：△ABC≌△DEF．

21．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）請畫出△ABC關于x軸成軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標；
（2）在y軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請畫出點P的位置．

22．某小區(qū)為了排污，需鋪設一段全長為720米的排污管道，為減少施工對居民生活的影響，須縮短施工時間，實際施工時每天鋪設管道的長度是原計劃的1.2倍，結果提前2天完成任務，求原計劃每天鋪設管道的長度．
23．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．

24．如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．
（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關系？并對你的猜想加以證明．

25．如圖1，在等邊△ABC的頂點A，C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經過t分鐘后，它們分別爬行到D，E處．
（1）請直接寫出爬行過程中CD和BE的數(shù)量關系；
（2）如圖2，當蝸牛們分別爬行到線段AB，CA的延長線上的D，E處時，若EB的延長線與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小將會保持不變，猜想∠CQE的度數(shù)并證明你的猜想；
（3）如圖3，如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著線段BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，求證：DF＝EF．




參考答案
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．要使分式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x≠1 B．x≠0 C．0＜x＜1 D．x≠﹣1
【分析】根據分式有意義，分母不等于0列不等式求解即可．
解：分式有意義應滿足分母不為0，即x﹣1≠0，
解得x≠1．
故選：A．
【點評】本題考查了分式有意義的條件，正確記憶分式有意義的條件是解題關鍵．
2．如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（　?。?br /> A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】已知三角形的兩邊長分別為2和4，根據在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；即可求第三邊長的范圍．
解：設第三邊長為x，則由三角形三邊關系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．
因此，本題的第三邊應滿足2＜x＜6，把各項代入不等式符合的即為答案．
2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形三邊關系，此題實際上就是根據三角形三邊關系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．下列運算結果正確的是（　?。?br /> A．2 B．
C．a D．2﹣3＝﹣8
【分析】直接利用二次根式的加減運算法則、二次根式的性質、同底數(shù)冪的除法運算法則、負整數(shù)指數(shù)冪的性質分別化簡，進而判斷得出答案．
解：A．2+3＝8，故此選項不合題意；
B．＝6，故此選項不合題意；
C．a2÷a6＝（a≠0），故此選項符合題意；
D．2﹣3＝，故此選項不合題意．
故選：C．
【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算、二次根式的性質、同底數(shù)冪的除法運算、負整數(shù)指數(shù)冪的性質，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
4．點M（﹣2，1）關于y軸的對稱點N的坐標是（　?。?br /> A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】根據“關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)”解答．
解：點M（﹣2，1）關于y軸的對稱點N的坐標是（2，1）．
故選：A．
【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：
（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；
（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；
（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．
5．已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、2cm，則該等腰三角形的周長是（　?。?br /> A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4cm和2cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．
解：①5cm為腰，2cm為底，此時周長為12cm；
②5cm為底，2cm為腰，則兩邊和小于第三邊無法構成三角形，故舍去．
∴其周長是12cm．
故選：D．
【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質及三角形的三邊關系的掌握情況．已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．
6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是（　　）

A．72° B．85° C．65° D．80°
【分析】根據三角形內角和得出∠C＝60°，再利用角平分線得出∠DBC＝35°，進而利用三角形內角和得出∠BDC的度數(shù)．
解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，
∴∠C＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形內角和定理，解答本題的關鍵是根據三角形內角和得出∠C＝60°，再利用角平分線得出∠DBC＝35°．
7．若關于x的方程無解，則m的值是（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】方程無解，說明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值．
解：∵方程無解，
∴x＝4是方程的增根，
∴m+1﹣x＝0，
∴m＝3．
故選：D．
【點評】本題主要考查方程的增根問題，計算時要小心，是一道基礎題．
8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，DE∥AC交AB于點E，若AB＝8，則DE的長度是（　?。?br />
A．6 B．2 C．3 D．4
【分析】分別延長AC、BD交于點F，根據角平分線的性質得到∠BAD＝∠FAD，證明△BAD≌△FAD，根據全等三角形的性質得到BD＝DF，根據平行線的性質得到BE＝ED，EA＝ED，進一步計算即可求解．
解：分別延長AC、BD交于點F，

∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠FAD，∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△BAD和△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴∠ABD＝∠F，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠F，∠EDA＝∠FAD，
∴∠ABD＝∠EDB，∠EDA＝∠EAD，
∴BE＝ED，EA＝ED，
∴BE＝EA＝ED，
∴DE＝AB＝×8＝4，
故選：D．

【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質、平行線的性質，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
二、填空題（每小題3分，共24分）
9．若分式的值為0，則x＝　2?。?br /> 【分析】分母不為0，分子為0時，分式的值為0．
解：根據題意，
x﹣2＝0且2x+1≠0，
解得x＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
10．分解因式：x2y﹣4y＝　y（x+2）（x﹣2）?。?br /> 【分析】先提取公因式y(tǒng)，然后再利用平方差公式進行二次分解．
解：x2y﹣4y，
＝y(tǒng)（x2﹣4），
＝y(tǒng)（x+2）（x﹣2）．
故答案為：y（x+2）（x﹣2）．
【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式進行二次分解因式是解本題的難點，也是關鍵．
11．如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠DBE＝42°，則∠AEB＝　132°?。?br />
【分析】由等腰直角三角形的性質得AC＝BC，EC＝DC，由∠ACB＝∠DCE＝90°得∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠BCE，即可證明△ACE≌△BCD，得∠CAE＝∠CBD，則∠CAE+∠CBE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE＝42°，所以∠EAB+∠EBA＝45°+45°﹣42°＝48°，則∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝132°，于是得到問題的答案．
解：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠BCE，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠CBE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE＝42°，
∴∠EAB+∠EBA＝∠CAB+∠CBA﹣（∠CAE+∠CBE）＝45°+45°﹣42°＝48°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°﹣48°＝132°，
故答案為：132°．
【點評】此題重點考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識，證明△ACE≌△BCD是解題的關鍵．
12．如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點M，N是射線CD上的一點．若∠B＝64°，∠MDN＝136°，則∠AMB＝　72°　．

【分析】根據平行線的性質求出∠BAM，再由三角形的內角和定理可得出∠AMB．
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠MDN＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠MDN＝44°，
在△ABM中，∠AMB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°．
故答案為：72°．
【點評】本題考查了平行線的性質，解答本題的關鍵是掌握：兩直線平行同旁內角互補，及三角形的內角和定理．
13．若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是 　15°或75°?。?br /> 【分析】因為三角形的高有三種情況，而直角三角形不合題意，故舍去，所以應該分兩種情況進行分析，從而得到答案．
解：當?shù)妊切问卿J角三角形時，如圖1所示
∵CD⊥AB，CD＝AC，
∴sin∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
當?shù)妊切问氢g角三角形時，如圖2所示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
故其底角為15°或75°．
故答案為：15°或75°．

【點評】此題主要考查等腰三角形的性質；在解決與等腰三角形有關的問題，由于等腰所具有的特殊性質，很多題目在已知不明確的情況下，要進行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關的邊角問題時，要仔細認真，避免出錯．
14．若三角形的三邊分別為a、b、c，且分式的值為0，則此三角形一定是 　腰與底邊不等的等腰三角形?。?br /> 【分析】根據“分式的值為0，分子等于0且分母不等于0”進行解答．
解：依題意得 ab﹣ac+bc﹣b2＝0且a﹣c≠0．
整理得 （b﹣c）（a﹣b）＝0且a≠c，
解得 b＝c或a＝b且a≠c，
故該三角形是腰與底邊不等的等腰三角形，
故答案是：腰與底邊不等的等腰三角形．
【點評】本題考查了分式的值為零的條件和等腰三角形的判定．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
15．如圖∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF＝　60°?。?br />
【分析】根據三角形內角和定理，三角形外角和內角的關系以及等腰三角形的性質，逐步推出∠DEF的度數(shù)．
解：∵∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，
∴∠ACB＝15°，
∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ECD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠ECD＝∠CED＝45°
∴∠CDE＝180°﹣45°×2＝90°，
∵∠EDF＝∠EFD＝180°﹣（∠CDB+∠CDE）＝180°﹣（30°+90°）＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣（60°+60°）＝60°．
故答案為：60°．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關鍵．
16．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線分別交AC，AD于點E，F(xiàn)，M為EF的中點，連接AM并延長交BC于點N，連接DM，下列結論：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN； ④△ADM和△DMN的面積相等．其中正確的結論是 ?、冖邰堋。?br />
【分析】根據題意可得：AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，即可證AE＝AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM＝MN；即可得結論．
解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∵BE是平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB＝67.5°，∠AFD＝67.5°＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE≠EF，
故①不符合題意，
∵M是EF的中點，AE＝AF，
∴AM⊥BE，∠DAM＝∠CAM＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CBE＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ADN，AD＝BD，
∴△ADN≌△BDF（ASA），
∴DF＝DN，
故②符合題意，
∵AB＝AC，∠ACB＝∠DAB＝45°，∠ABF＝∠CAN＝22.5°，
∴△ABF≌△ACN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AE＝AF，
∴AE＝CN；
故③符合題意，
∵∠BAN＝∠BAD+∠DAN＝67.5°，∠BNA＝∠ACB+∠NAC＝67.5°，
∴∠BAN＝∠BNA，
∴BA＝BN，
∵AM⊥BE，
∴AM＝MN，
∴△AMD和△DMN的面積相等．
故④符合題意，
故答案為：②③④．
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，熟練運用全等三角形的判定解決問題是本題的關鍵．
三、解答題（共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根據解分式方程的步驟求解即可；
（2）根據解分式方程的步驟求解即可．
解：（1）去分母，得3+（x﹣2）＝﹣（x﹣3），
解得x＝1，
經檢驗，x＝1是原方程的根，
∴x＝1；
（2）去分母，得2（x﹣1）+3（x+1）＝11，
解得x＝2，
經檢驗，x＝2是原方程的根，
∴x＝2．
【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關鍵，注意驗根．
18．分解因式：
（1）5x2+10x+5；
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先提公因式，再將括號內整式化簡即可．
解：5x2+10x+5
＝5（x2+2x+1）
＝5（x+1）2；
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+4）
＝（a+4）（a﹣4+3）
＝（a+4）（a﹣1）．
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
19．先化簡，再求值：（），其中x＝2023．
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．
解：原式＝（）×
＝×
＝，
當x＝2023時，原式＝．
【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
20．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC∥DF，∠B＝∠E，BF＝CE，求證：△ABC≌△DEF．

【分析】根據平行線的性質和ASA證明△ABC≌△DEF即可．
【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．
21．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）請畫出△ABC關于x軸成軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標；
（2）在y軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請畫出點P的位置．

【分析】（1）分別作出點A，B，C關于x軸的對稱點，再首尾順次連接即可得；
（2）作點A關于y軸的對稱點A′，再連接A′B，與y軸的交點即為所求．
解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，

由圖知，A1的坐標為（1，﹣1）、B1的坐標為（4，﹣2）、C1的坐標為（3，﹣4）；

（2）如圖所示，點P即為所求．
【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱變換的定義和性質及利用軸對稱性質求最短路徑．
22．某小區(qū)為了排污，需鋪設一段全長為720米的排污管道，為減少施工對居民生活的影響，須縮短施工時間，實際施工時每天鋪設管道的長度是原計劃的1.2倍，結果提前2天完成任務，求原計劃每天鋪設管道的長度．
【分析】設原計劃每天鋪設管道為xm，故實際施工每天鋪設管道為1.2xm．等量關系為：原計劃完成的天數(shù)﹣實際完成的天數(shù)＝2，根據這個關系列出方程求解即可．
解：設原計劃每天鋪設管道x米．
由題意，得．
解得x＝60．
經檢驗，x＝60是原方程的解．且符合題意．
答：原計劃每天鋪設管道60米．
【點評】本題考查分式方程的應用，列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．期中找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
23．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．

【分析】利用已知得出BD的長，進而得出PC的長，利用SAS證明△BPD≌△CQP即可．
解：△BPD≌△CQP，理由如下：
∵t＝1s，
∴BP＝CQ＝3×1＝3（cm），
∵AB＝10cm，點D為AB的中點，
∴BD＝5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，
∴PC＝8﹣3＝5（cm），
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及動點問題，利用運動路線得出對應邊是解題關鍵．
24．如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．
（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關系？并對你的猜想加以證明．

【分析】（1）①根據平行線的性質得到∠ADB＝∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD＝∠DBC，等量代換得到∠ABD＝∠ADB，根據等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根據平行線的性質得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代換得到AC＝AD，根據等腰三角形的性質得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到結論；
（2）根據角平分線的定義得到∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，即可得到結論．
解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE；

（2）∠BDC＝∠BAC，
∵BD、CD分別平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，
∴∠BDC＝∠BAC．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，角平分線的定義，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．
25．如圖1，在等邊△ABC的頂點A，C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經過t分鐘后，它們分別爬行到D，E處．
（1）請直接寫出爬行過程中CD和BE的數(shù)量關系；
（2）如圖2，當蝸牛們分別爬行到線段AB，CA的延長線上的D，E處時，若EB的延長線與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小將會保持不變，猜想∠CQE的度數(shù)并證明你的猜想；
（3）如圖3，如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著線段BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，求證：DF＝EF．


【分析】（1）證明△ADC≌△CEB，根據全等三角形的性質證明；
（2）根據△ADC≌△CEB，得到∠ADC＝∠E，再根據三角形的外角性質計算，得到答案；
（3）過點D作DH∥BC交AC于H，證明△DFH≌△EFC，根據全等三角形的性質證明．
【解答】（1）解：CD＝BE，
理由如下：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
由題意得：AD＝CE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴CD＝BE；
（2）∠CQE＝60°，
證明如下：由（1）可知△ADC≌△CEB，
∴∠ADC＝∠E，
∵∠E+∠ABE＝∠BAC＝60°，∠DBQ＝∠ABE，
∴∠CQE＝∠ADC+∠DBQ＝60°；
（3）證明：過點D作DH∥BC交AC于H，
∴∠HDF＝∠CEF，
∵△ABC為等邊三角形，
∴△ADH為等邊三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DFH和△EFC中，
，
∴△DFH≌△EFC（AAS），
∴DF＝EF．

【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質、平行線的性質，掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．

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