數(shù)列綜合及劣構(gòu)問(wèn)題專題講義-2023二輪復(fù)習(xí)

這是一份數(shù)列綜合及劣構(gòu)問(wèn)題專題講義-2023二輪復(fù)習(xí)，共30頁(yè)。
\l "_Tc129959525" 4 劣構(gòu)問(wèn)題之?dāng)?shù)列 PAGEREF _Tc129959525 \h 22
3 數(shù)列的綜合應(yīng)用
【課前診斷】
成績(jī)（滿分10）： 完成情況： 優(yōu)/中/差
1.成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于，并且這三個(gè)數(shù)分別加上、、后成為等比數(shù)列中的、、，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
A.B.C.D.
2.某地對(duì)生活垃圾使用填埋和環(huán)保兩種方式處理．該地2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中15萬(wàn)噸以填埋方式處理，5萬(wàn)噸以環(huán)保方式處理．預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量比前一年增加1萬(wàn)噸，同時(shí)，因垃圾處理技術(shù)越來(lái)越進(jìn)步，要求從2021年起每年通過(guò)環(huán)保方式處理的生活垃圾量是前一年的倍，若要使得2024年通過(guò)填埋方式處理的生活垃圾量不高于當(dāng)年生活垃圾總量的50%，則的值至少為
A．B．
C．D．
3. 已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和,并求的最大值
【知識(shí)點(diǎn)一：求通項(xiàng)常用方法】
1.定義
（1）數(shù)列的定義——表示①解析法——數(shù)列是特殊的函數(shù)
②圖象法
③列表法
（2）通項(xiàng)公式
（3）遞推公式
（4）與的關(guān)系：
2.常見(jiàn)遞推公式及方法
（1）（這里可求和）——累加法
（2）（這里可求積）——累乘法
（3）——構(gòu)造等比數(shù)列
（4）——，構(gòu)造等差數(shù)列
（5）——當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造等差數(shù)列
當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)化為（3）
【典型例題】
例1.數(shù)列的前項(xiàng)和，,且,則的值為
A．B．C．D．
練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式
例2.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,,試寫出一組滿足條件的數(shù)列和的通項(xiàng)公式:,.
練2.已知數(shù)列,其中,,則滿足的不同數(shù)列一共有
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
例3.已知函數(shù),數(shù)列滿足,,.則與中,較大的是;,,的大小關(guān)系是.
練1.數(shù)列滿足:,給出下述命題:
= 1 \* GB3 ①若數(shù)列滿足:,則成立0;
= 2 \* GB3 ②存在常數(shù),使得成立;
= 3 \* GB3 ③若,則;
= 4 \* GB3 ④存在常數(shù),使得都成立.
上述命題正確的是____.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
例4.已知等差數(shù)列的公差d>0，且滿足
求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
練1.已知遞增數(shù)列滿足：，，且、、成等比數(shù)列。
（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
例5.（2014北京15）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足， ，且是等比數(shù)列
求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
練1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,.
（Ⅰ）寫出的值,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和,求;
（Ⅲ）若數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【知識(shí)點(diǎn)二：求和常用方法】
（1）公式法——已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列
（2）分組求和法——數(shù)列通項(xiàng)由等差及等比或其他可求和通項(xiàng)構(gòu)成
（3）倒序相加法
（4）裂項(xiàng)相消法
（5）錯(cuò)位相減法
（6）分類討論
【典型例題】
例1.數(shù)列{an}中，a1＝1,an＋1＝－2an，數(shù)列{bn}滿足bn＝| an |，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝
A．B．C．D．
練1.若數(shù)列滿足，且與的等差中項(xiàng)是5，則等于
A．B．C．D．
例2.設(shè)，則等于
A．B．
C．D．
練2.已知等差數(shù)列()中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式____________；______
例3.在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于
(A)(B)(C)(D)
例4 已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
練1.已知數(shù)列{an}是公比為13的等比數(shù)列，且a2+6是a1和a3的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，求Tn的最大值．
例5. 已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和。
【知識(shí)點(diǎn)三：?jiǎn)握{(diào)性與最值】
1.前項(xiàng)的和或積最大（最?。﹩?wèn)題
2.數(shù)列的單調(diào)性
3.數(shù)列與不等式的綜合
【典型例題】
例1. 已知是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，,數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）求證:對(duì)任意的，數(shù)列為遞減數(shù)列
例2. 已知等差數(shù)列的公差，，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(Ⅱ)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積為，求的最大值
練1.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為整數(shù)，其前項(xiàng)和為
(Ⅰ)若，且，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)若對(duì)任意，且時(shí)，都有，求的最小值
例3. 已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列。
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，分別是等比數(shù)列的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)，求使數(shù)列的前項(xiàng)和的最大正整數(shù)。
【小試牛刀】
1.已知是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，,數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）求證:對(duì)任意的，數(shù)列為遞減數(shù)列
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求證:;
（Ⅲ）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由.
3.等差數(shù)列的首項(xiàng),其前項(xiàng)和為,且.
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）求滿足不等式的的值.
【鞏固練習(xí)——基礎(chǔ)篇】
1.已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是公比大于零的等比數(shù)列,且,.
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2.已知數(shù)列滿足,且其前項(xiàng)和.
（Ⅰ）求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列,公比為,且其前項(xiàng)和滿足,求的取值范圍.
3.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）若數(shù)列滿足,,且是等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4. 在等差數(shù)列中,,.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）設(shè),其中,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【鞏固練習(xí)——提高篇】
1.已知數(shù)列,其中,,則滿足的不同數(shù)列一共有
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
2.已知數(shù)列滿足
，則
A． B．
C． D．
3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,則數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值是
A．B．C．D．
4.數(shù)列的前項(xiàng)和,若,且,則的值為
A．B．C．D．
5.數(shù)列滿,
則（1）;（2）此數(shù)列最多有項(xiàng).
6.數(shù)列滿足:,給出下述命題:
= 1 \* GB3 ①若數(shù)列滿足:,則成立0;
= 2 \* GB3 ②存在常數(shù),使得成立;
= 3 \* GB3 ③若,則;
= 4 \* GB3 ④存在常數(shù),使得都成立.
上述命題正確的是____.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
7. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列滿足．若，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
4 劣構(gòu)問(wèn)題之?dāng)?shù)列
【課前診斷】
成績(jī)（滿分10）： 完成情況： 優(yōu)/中/差
1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則
________，的最小值為________．
2.在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1=2，且a1，a3，a7依次成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于 .
3.已知等差數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，．問(wèn)：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？
【?？碱}型】
通項(xiàng)公式
等差數(shù)列
等比數(shù)列
數(shù)列求和
常用求和方法
（1）公式法——已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列
（2）分組求和法——數(shù)列通項(xiàng)由等差及等比或其他可求和通項(xiàng)構(gòu)成
（3）倒序相加法
（4）裂項(xiàng)相消法
（5）錯(cuò)位相減法
（6）分類討論
三．?dāng)?shù)列應(yīng)用
（1）前項(xiàng)的和或積最大（最?。﹩?wèn)題
（2）數(shù)列的單調(diào)性
（3）數(shù)列與不等式的綜合
【典型例題】
例1.已知有限數(shù)列共有30項(xiàng) QUOTE {an}(n∈N*,n≤30) ，其中前20項(xiàng)成公差為的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為的等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．從條件 = 1 \* GB3 ①、條件 = 2 \* GB3 ②、條件 = 3 \* GB3 ③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（Ⅰ） QUOTE S6 的值；
（Ⅱ）數(shù)列 QUOTE {an} 中的最大項(xiàng)．
條件 = 1 \* GB3 ①：；
條件 = 2 \* GB3 ②：； QUOTE b=π4
條件 = 3 \* GB3 ③： QUOTE 2b=3a ．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
練1．己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，滿足b2＝12,b5＝30.再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求解下列問(wèn)題：
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和它的前n項(xiàng)和Sn；
（II）若對(duì)任意n∈N*不等式kSn ≥ bn恒成立，求k的取值范圍.
條件①
條件②a1＝9，當(dāng)n≥2，a2＝2，an+1＝an＋2
注：如果選擇條件①、條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。
練2.已知是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,.是否存在正整數(shù),使得？若存在,求的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
從①, ②, ③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
例2. 已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，. 為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，如圖____，的圖象經(jīng)過(guò),兩個(gè)點(diǎn)．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在正整數(shù)，使得，求的最小值.
從圖①，圖②，圖③中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。
圖① 圖② 圖③
練1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，， ．是否存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．
從 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。
練2. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等比數(shù)列滿足，且公比為，從 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的已知條件，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
例3.已知等比數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
條件①：設(shè)；
條件②：設(shè)．
注：如果選擇條件①、條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
練1.已知數(shù)列中，，且滿足 .
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
從①；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
練2. 已知是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為.又_______,且,是否存在大于1的正整數(shù),使得？若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.
從①,②這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
【小試牛刀】
1.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，， .
（Ⅰ）判斷2024是否是數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）求的最值.
從 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②， = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。
2.從①前項(xiàng)和 ,② ,③ 且
這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中,并完成解答.
在數(shù)列 中, , _______,其中 .
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若 成等比數(shù)列,其中 m,n∈N*,且 m>n>1,求 m 的最小值.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分
3. 已知是公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且， ．若存在正整數(shù)，使得有最小值．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求的最小值．
從 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
4. 已知是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為.又_______,且,是否存在大于1的正整數(shù),使得？若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.
從①,②這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
【鞏固練習(xí)——基礎(chǔ)篇】
1.已知是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,.是否存在正整數(shù),使得.若存在,求的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
從①, ②, ③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，， .
（Ⅰ）判斷2024是否是數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）求的最值.
從 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②， = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。
3. 已知是公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且， ．若存在正整數(shù)，使得有最小值．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求的最小值．
從 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【鞏固練習(xí)——提高篇】
1.已知數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，再?gòu)臈l件 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①、條件 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②、條件 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③中選擇一個(gè)作為已知，解答下列問(wèn)題：
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.
條件 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①: 成等差數(shù)列；
條件 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②: ；
條件 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③: .
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,, 從條件 = 1 \* GB3 ①、條件 = 2 \* GB3 ②和條件 = 3 \* GB3 ③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答：
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
條件 = 1 \* GB3 ①： ；
條件 = 2 \* GB3 ②：；
條件 = 3 \* GB3 ③：.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
等差數(shù)列
等比數(shù)列
定義
（常數(shù)，公差）
（非零常數(shù)）
通項(xiàng)公式
中項(xiàng)性質(zhì)
求和公式

性質(zhì)應(yīng)用
若
性質(zhì)推廣，若
等差
等比
如何證明
定義：
中項(xiàng)性質(zhì)：
定義：
中項(xiàng)性質(zhì)：