?2023年上海市普陀區(qū)中考數學一模試卷
一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.
1．（4分）下列函數圖象中，與軸交點的坐標是的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）在中，已知，，，那么的長是　　
A．6 B．3 C． D．．
3．（4分）如果二次函數的圖象如圖所示，那么下列說法中正確的是　　

A．， B．， C．， D．，
4．（4分）如圖，已知是的中點，，，，那么下列結論中錯誤的是　　

A． B． C． D．
5．（4分）已知為實數，是非零向量，下列關于的說法中正確的是　　
A．如果，那么
B．如果是正整數，那么表示個相加
C．如果，那么
D．如果，與的方向一定相同
6．（4分）在和中，已知，，如果從下列條件中增添一個條件，與仍不一定相似，那么這個條件是　　
A． B． C． D．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）已知，，那么　　．
8．（4分）已知反比例函數的圖象在第一、三象限，如果，那么　?。ㄌ睢啊薄ⅰ?”或“ “
9．（4分）已知二次函數的圖象有最高點，那么的取值范圍是 　　．
10．（4分）已知拋物線的對稱軸是直線，那么的值等于 　?。?br /> 11．（4分）已知點在拋物線上，將此拋物線沿著軸向上平移3個單位，點隨之平移到點的位置，那么點的坐標是 　?。?br /> 12．（4分）已知是線段的中點，設，那么　　（用向量表示）
13．（4分）在中，，，，那么　?。?br /> 14．（4分）如圖，在四邊形中，，，如果，，那么　　．

15．（4分）如圖，方格紙上各小正方形的邊長都為1，點、、、都在小正方形頂點的位置上，與交于點，那么的長是 　　．

16．（4分）如圖，中的一邊與雙邊平行且單位相同的刻度尺的一邊重合，邊、分別與刻度尺的另一邊交于點、，點、、、在刻度尺上的讀數分別為0、5、1、3，如果刻度尺的寬度為3，那么的面積是 　?。?br />
17．（4分）如圖，點、在的邊上，，，如果，，那么的值是 　　．

18．（4分）如圖，在中，為邊上的中線，，，．將繞點以逆時針方向旋轉得到△，點、分別與點、對應．聯(lián)結，與線段交于點．如果點、、在同一條直線上，那么　　．

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：．
20．（10分）如圖，已知梯形中，，是上一點，，、相交于點，．
（1）求的值；
（2）聯(lián)結，設，，那么　　，　?。ㄓ孟蛄?、表示）

21．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于點．
（1）求這個正比例函數的解析式；
（2）將這個正比例函數的圖象向上平移個單位，新函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，如果點的縱坐標是橫坐標的3倍，求的值．

22．（10分）如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角；入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角．，、為法線．入射光線、和折射光線、及法線、都在同一平面內，點到直線的距離為6米．
（1）求的長；（結果保留根號）
（2）如果米，求水池的深．（參考數據：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取


23．（12分）已知：如圖，在四邊形中，為上一點，，．
（1）求證：；
（2）如果、、分別是、、的中點，聯(lián)結、、、．求證：．

24．（12分）在平面直角坐標系中（如圖），拋物線與軸交于點、，其中點的坐標為，與軸交于點．拋物線的頂點為．
（1）求拋物線的表達式，并寫出點的坐標；
（2）拋物線的對稱軸上有一點，且點在第二象限，如果點到軸的距離與它到直線的距離相等，求點的坐標；
（3）拋物線上有一點，直線恰好經過的重心，求點到軸的距離．

25．（14分）如圖，在矩形中，，是邊上一動點，是線段延長線上一點，且，與矩形對角線交于點．
（1）當點與點重合時，如果，求的長；
（2）當點在線段的延長線上，
①求的值；
②如果，求的余切值．




參考答案
一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.
1．（4分）下列函數圖象中，與軸交點的坐標是的是　　
A． B． C． D．
【分析】把代入解析式，解答即可．
解：．當時，，不符合題意；
．當時，，不符合題意；
．當時，，符合題意；
．當時，，不符合題意；
故選：．
【點評】本題考查的是二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象上的點都在該函數的圖象上．
2．（4分）在中，已知，，，那么的長是　　
A．6 B．3 C． D．．
【分析】根據三角函數中正切值的定義解決此題．
解：如圖．

在中，，，，
．
．
故選：．
【點評】本題主要考查正切值，熟練掌握正切值的定義是解決本題的關鍵．
3．（4分）如果二次函數的圖象如圖所示，那么下列說法中正確的是　　

A．， B．， C．， D．，
【分析】根據解析式知，，是拋物線的頂點坐標，再根據函數圖象得出結論．
解：，
頂點坐標為，
由圖象可得，，，
故選：．
【點評】本題考查了二次函數圖象和系數的關系，解題的關鍵是能根據圖象找出二次函數的頂點存在的特點、性質．
4．（4分）如圖，已知是的中點，，，，那么下列結論中錯誤的是　　

A． B． C． D．
【分析】用證明，得，可證，從而說明、、正確．
解：設交于點．

點是的中點，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
故選項，，正確．
故選：．

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質等知識，證明是解題的關鍵．
5．（4分）已知為實數，是非零向量，下列關于的說法中正確的是　　
A．如果，那么
B．如果是正整數，那么表示個相加
C．如果，那么
D．如果，與的方向一定相同
【分析】若，則；當時，；當時，與的方向相反，由此可得答案．
解：．若，則，
故選項錯誤，不符合題意；
．若是正整數，則表示個相加，
故選項正確，符合題意；
．當時，，
故選項錯誤，不符合題意；
．當時，與的方向相反，
故選項錯誤，不符合題意．
故選：．
【點評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的性質是解答本題的關鍵．
6．（4分）在和中，已知，，如果從下列條件中增添一個條件，與仍不一定相似，那么這個條件是　　
A． B． C． D．
【分析】利用等腰三角形的性質以及相似三角形的判定解決問題即可．
解：、由，可以根據兩邊成比例夾角相等，推出兩三角形相似．本選項不符合題意；
、由，可以推出根據兩邊成比例夾角相等，推出兩三角形相似．本選項不符合題意；
、由，不能判定兩三角形相似．本選項符合題意；
、由，可以推出，根據三邊成比例兩三角形相似，本選項不符合題意．
故選：．
【點評】本題考查相似三角形的判定，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考常考題型．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）已知，，那么　2　．
【分析】直接利用已知代入求出的值，即可得出的值，進而得出答案．
解：，，
，則，
解得：，
故，
那么．
故答案為：2．
【點評】此題主要考查了比例的性質，正確將已知代入是解題關鍵．
8．（4分）已知反比例函數的圖象在第一、三象限，如果，那么　?。ㄌ睢啊薄ⅰ?”或“ “
【分析】先根據反比例函數的圖象在第一、三象限可知，故在每一象限內隨的增大而減小，據此可得出結論．
解：反比例函數的圖象在第一、三象限，
，在每一象限內隨的增大而減小．
，
．
故答案為：．
【點評】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，先根據題意判斷出函數的增減性是解題的關鍵．
9．（4分）已知二次函數的圖象有最高點，那么的取值范圍是 　　．
【分析】根據二次函數的圖象與性質即可求出答案．
解：由題意可知：，
，
故答案為：．
【點評】本題考查二次函數圖象與系數關系，解題的關鍵是熟練運用二次函數的圖象與性質，本題屬于中等題型．
10．（4分）已知拋物線的對稱軸是直線，那么的值等于 　2　．
【分析】由對稱軸公式可得到關于的方程，可求得答案．
解：的對稱軸是直線，
，
解得：．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的對稱軸公式是解題的關鍵，即的對稱軸為．
11．（4分）已知點在拋物線上，將此拋物線沿著軸向上平移3個單位，點隨之平移到點的位置，那么點的坐標是 　?。?br /> 【分析】確定平移后得頂點坐標，再根據頂點式寫出最后拋物線的解析式，進而解答即可．
解：拋物線上，將此拋物線沿著軸向上平移3個單位，得到的拋物線是，即，
把，代入中，可得：，
解得：，
點的坐標是，
故答案為：．
【點評】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，關鍵是根據平移的規(guī)律解答．
12．（4分）已知是線段的中點，設，那么　　（用向量表示）
【分析】由題意得，則．
解：是線段的中點，，
，
．
故答案為：．
【點評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的加法運算法則是解答本題的關鍵．
13．（4分）在中，，，，那么　　．
【分析】首先根據題意得出為直角三角形，再畫出圖形，其中，，；然后根據計算即可．
解：，，，
，
是直角三角形，
如圖所示：

在中，，，，
則．

【點評】本題考解直角三角形，牢記銳角三角函數的定義是解題關鍵．
14．（4分）如圖，在四邊形中，，，如果，，那么　?。?br />
【分析】先根據平行線的性質得到，加上，則利用相似三角形的判定方法可判斷，然后利用相似比可求出的長．
解：，
，
，
，
，
即，
解得，
即的長為．
故答案為：．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．在應用相似三角形的性質時利用相似比進行幾何計算．
15．（4分）如圖，方格紙上各小正方形的邊長都為1，點、、、都在小正方形頂點的位置上，與交于點，那么的長是 　2.5　．

【分析】先根據勾股定理，得，再根據比例線段求出．
解：連接，

根據勾股定理，得，
，
，
，
，
解得：，
故答案為：2.5．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理，掌握兩個知識點的應用，推出比例線段是解題關鍵．
16．（4分）如圖，中的一邊與雙邊平行且單位相同的刻度尺的一邊重合，邊、分別與刻度尺的另一邊交于點、，點、、、在刻度尺上的讀數分別為0、5、1、3，如果刻度尺的寬度為3，那么的面積是 　?。?br />
【分析】過點作，垂足為，并延長交于點，根據題意得：，，，，從而可得，，然后證明字模型相似三角形，從而利用相似三角形的性質求出的長，最后利用三角形的面積公式進行計算，即可解答．
解：過點作，垂足為，并延長交于點，

由題意得：，，，，
，，
，
，
，
解得：，
的面積，
故答案為：．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積，平行線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
17．（4分）如圖，點、在的邊上，，，如果，，那么的值是 　　．

【分析】由，，得，有，同理可得，故，即可得答案．
解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．
18．（4分）如圖，在中，為邊上的中線，，，．將繞點以逆時針方向旋轉得到△，點、分別與點、對應．聯(lián)結，與線段交于點．如果點、、在同一條直線上，那么　　．

【分析】以為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，過作于，設交軸于，由為邊上的中線，，，可得，，設，由，可得，故，，，，直線解析式為，根據將繞點以逆時針方向旋轉得到△，可證，得四邊形是矩形，從而求得，，直線解析式為，聯(lián)立得，，即可得到答案．
解：以為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，過作于，設交軸于，如圖：

為邊上的中線，，，
，
，
設，則，
，
，
解得，
，，
，，
由，，得直線解析式為，
將繞點以逆時針方向旋轉得到△，
，，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，，
由，，得直線解析式為，
聯(lián)立得，
，，
，
故答案為：．
【點評】本題考查三角形中的旋轉問題，解題的關鍵是建立直角坐標系，求出相關點的坐標．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：．
【分析】把特殊角的三角函數值代入計算即可．
解：原式


．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
20．（10分）如圖，已知梯形中，，是上一點，，、相交于點，．
（1）求的值；
（2）聯(lián)結，設，，那么　　，　　（用向量、表示）

【分析】（1）根據題意可證明四邊形為平行四邊形，得到，則，，易證明，由相似三角形的性質即可求解；
（2）由得，，由三角形法則求出和，再求出，最后利用三角形法則即可求出．
解：，，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，，
，
，
；
（2）聯(lián)結，如圖，

由（1）可得，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案為：，．
【點評】本題主要考查平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平面向量，熟練三角形法則是解題關鍵．
21．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于點．
（1）求這個正比例函數的解析式；
（2）將這個正比例函數的圖象向上平移個單位，新函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，如果點的縱坐標是橫坐標的3倍，求的值．

【分析】（1）將點代入反比例函數，求出的值，再待定系數法求正比例函數解析式即可；
（2）設點橫坐標為，則縱坐標為，根據點的縱坐標是橫坐標的3倍，列方程求出的值，即可確定點坐標，再將點坐標代入，即可求出的值．
解：（1）根據題意，將點代入反比例函數，
得，
解得，
點坐標為，
將點代入正比例函數，
得，
解得，
正比例函數解析式為；
（2）這個正比例函數的圖象向上平移個單位，得，
設點橫坐標為，則縱坐標為，
點的縱坐標是橫坐標的3倍，
，
解得或（舍，
點坐標為，
將點坐標代入，
得，
解得．
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求解析式，一次函數的圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數法求解析式是解題的關鍵．
22．（10分）如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角；入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角．，、為法線．入射光線、和折射光線、及法線、都在同一平面內，點到直線的距離為6米．
（1）求的長；（結果保留根號）
（2）如果米，求水池的深．（參考數據：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取


【分析】（1）根據題意和銳角三角函數，可以求得和的值，然后即可計算出的值；
（2）根據（1）中的結果和銳角三角函數，可以求得水池的深．
解：（1）作，交的延長線于點，
則，
，，
，，
，，
米，
（米，（米，
（米，
即的長為米；
（2）設水池的深為米，則米，
由題意可知：，．米，
（米，（米，
，
，
解得，
即水池的深約為4米．

【點評】本題考查解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
23．（12分）已知：如圖，在四邊形中，為上一點，，．
（1）求證：；
（2）如果、、分別是、、的中點，聯(lián)結、、、．求證：．

【分析】（1）將變形為，由，根據三角形的內角和定理推導出，即可證明；
（2）根據三角形的中位線定理得，，，，，可證明四邊形是平行四形，則，再證明，得，所以．
【解答】證明：（1）如圖1，，
，
，
，
，，
，
．
（2）如圖2，、、分別是、、的中點，
，，，，，
，，
四邊形是平行四形，
，
，，
，
，
，
．


【點評】此題重點考查三角形的內角和定理、相似三角形的判定與性質、三角形的中位線定理、平行線邊形的判定等知識，證明四邊形是平行四形及是解題的關鍵．
24．（12分）在平面直角坐標系中（如圖），拋物線與軸交于點、，其中點的坐標為，與軸交于點．拋物線的頂點為．
（1）求拋物線的表達式，并寫出點的坐標；
（2）拋物線的對稱軸上有一點，且點在第二象限，如果點到軸的距離與它到直線的距離相等，求點的坐標；
（3）拋物線上有一點，直線恰好經過的重心，求點到軸的距離．

【分析】（1）用待定系數法即可求解；
（2）設點，則，在中，，則，即可求解；
（3）直線恰好經過的重心，則為邊上的中線，由點、的坐標得的中點坐標為，進而求解．
解：（1）由題意得：，
解得：，
故拋物線的表達式為：，
則拋物線的對稱軸為，則點；

（2）設拋物線的對稱軸交軸于點，過點作于點，

設點，則，
在中，，
則，
解得：，
即點的坐標為：；

（3）直線恰好經過的重心，
則為邊上的中線，
由點、的坐標得的中點坐標為，
則直線的表達式為：，
聯(lián)立和并解得：（不合題意的值已舍去），
即點的坐標為，，
故點到軸的距離為：．

【點評】本題考查了二次函數綜合運用，涉及到重心的定義、解直角三角形、一次函數的應用等知識點，數形結合是本題解題的關鍵．
25．（14分）如圖，在矩形中，，是邊上一動點，是線段延長線上一點，且，與矩形對角線交于點．
（1）當點與點重合時，如果，求的長；
（2）當點在線段的延長線上，
①求的值；
②如果，求的余切值．


【分析】（1）設，根據矩形的性質即解直角三角形推出，，根據勾股定理得到，據此求解即可；
（2）①交于點，連接，根據相似三角形的判定與性質推出，，，根據相似三角形的性質得出，設，則，根據勾股定理求出，據此求解即可；
②設，則，設，且，，則，根據銳角三角函數得到，根據勾股定理求出，，根據平行線的性質得出，根據相似三角形的性質得，進而求出，據此即可得解．
解：（1）如圖，當點與點重合時，設，

四邊形是矩形，
，，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
（2）①如圖，交于點，連接，

由（1）得，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
設，則，
，
；
②如圖，連接，

，
設，則，設，且，，則，
，
，
，，，
，
，
，
即，
，
由①得，，
，
，
兩邊平方并整理得，
，
，，
，，
，
，
，
即的余切值．
【點評】此題是相似綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、解直角三角形等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質、矩形的性質、解直角三角形并作出合理的輔助線是解題的關鍵．

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