2022-2023學(xué)年山東省菏澤市鄆城縣鄆城第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，且，則的公差（    ）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差中項(xiàng)化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】，，成等差數(shù)列，且，，，解得．故選：D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則直線與的位置關(guān)系是（     ）A．垂直 B．平行 C．異面 D．相交但不垂直【答案】B【詳解】因?yàn)?/span>，，，，所以,,可得，所以，線與的位置關(guān)系是平行，故選B．3．已知直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值為A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－1【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行，列方程，求的a的值.【詳解】已知兩直線平行，可得a?a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可得：a=2時(shí)兩條直線重合，舍去．∴a=-1．故選D【點(diǎn)睛】對(duì)于直線 若直線4．設(shè)AB是橢圓（）的長(zhǎng)軸，若把AB一百等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，寫(xiě)出，可求出的和，又根據(jù)關(guān)于縱軸成對(duì)稱分布，得到結(jié)果．【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，由橢圓的定義知，2，，，．由題意知，，，關(guān)于軸成對(duì)稱分布，．又，故所求的值為．故選：D．5．若異面直線l1，l2的方向向量分別是，則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積公式求異面直線的夾角的余弦值即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求異面直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題.6．在正數(shù)等比數(shù)列中，若，，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知求出首項(xiàng)和公比，即可利用求和公式求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，∴，∵，∴.∵，∴，∴.故選：B.7．已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意都有，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，兩式相除可得，從而可得數(shù)列 為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公比為，進(jìn)而可求出的值，可得答案【詳解】∵數(shù)列 滿足， 時(shí)， 時(shí)， ，可得 . ，數(shù)列 為等比數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公比為 ..∵對(duì)任意 都有，則 的取值范圍為 故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題8．設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，        故離心率e＝選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等. 9．已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，如果，，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（    ）A． B．C．是平面ABCD的法向量 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，一一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，所以，故B正確；由A，B知，C正確；與不平行，故D錯(cuò)誤．故選：D. 二、多選題10．已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．C． D．與之間的距離為4【答案】ABC【分析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，于是根據(jù)二級(jí)結(jié)論可判斷選項(xiàng)A；點(diǎn)與均在直線上，于是可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)拋物線的定義可知，，可判斷選項(xiàng)C；由于與平行，所以與之間的距離，可判斷選項(xiàng)D．【詳解】如圖所示，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過(guò)焦點(diǎn)，，即選項(xiàng)A正確；由題意可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即選項(xiàng)B正確；由拋物線的定義可知，，即選項(xiàng)C正確；與平行，與之間的距離，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和作圖分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．12．素?cái)?shù)（大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做素?cái)?shù)，否則稱為合數(shù)）在密碼學(xué)、生物學(xué)、金融學(xué)等方面應(yīng)用十分廣泛.1934年，一個(gè)來(lái)自東印度（現(xiàn)孟加拉國(guó)）的學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了以下以他的名字命名的“森德拉姆素?cái)?shù)篩選數(shù)陣”，這個(gè)成就使他青史留名．4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184…………………… 該數(shù)陣的特點(diǎn)是每行、每列的數(shù)均成等差數(shù)列，如果正整數(shù)n出現(xiàn)在數(shù)陣中，則一定是合數(shù)，反之如果正整數(shù)n不在數(shù)陣中，則一定是素?cái)?shù)，下面結(jié)論中正確的是（    ）A．第4行第9列的數(shù)為80；????????????? B．第6行的數(shù)公差為13；C．592不會(huì)出現(xiàn)在此數(shù)陣中； D．第10列中前10行的數(shù)之和為1255．【答案】BD【分析】依次判斷選項(xiàng)正誤即可.【詳解】對(duì)于A，第四行是以為首項(xiàng)，公差為9的等差數(shù)列，則第九列數(shù)為：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題第六行為等差數(shù)列，又，故B正確；對(duì)于C，若592不在數(shù)陣中，則一定是素?cái)?shù)，但為合數(shù)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由題可得第10列第1行為，第10列第2行，則第10列為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，則第10列中前10行的數(shù)之和為，故D正確.故選：BD 三、填空題13．過(guò)點(diǎn)且傾斜角是直線：的傾斜角的兩倍的直線的方程為______．【答案】【分析】求出直線的傾斜角，進(jìn)而可得出所求直線的方程.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以所求直線的傾斜角為，又過(guò)點(diǎn)，所以所求直線的方程為．故答案為：14．已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則______.【答案】6【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，將項(xiàng)的比轉(zhuǎn)化為和的比值.【詳解】由已知得，，令n=5，則，，所以，故答案為：6.15．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距離為________．【答案】【解析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用即可求解.【詳解】∵在長(zhǎng)方體 中,,，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：∴, ,,，即，， 設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以 ∴點(diǎn) 到平面的距離： 故答案為： 四、雙空題16．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為__________；雙曲線N的離心率為__________．【答案】          2【分析】方法一：由正六邊形性質(zhì)得漸近線的傾斜角，解得雙曲線中關(guān)系，即得雙曲線N的離心率；由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，解得橢圓M的離心率.【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】數(shù)形結(jié)合＋定義法由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，所以橢圓M的離心率為雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為， 故答案為：；．［方法二］： 數(shù)形結(jié)合＋齊次式求離心率設(shè)雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為．由題可知，為正六邊形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，所以（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．所以．因此雙曲線的離心率．由與聯(lián)立解得．因?yàn)?/span>是正三角形，所以，因此，可得．將代入上式，化簡(jiǎn)、整理得，即，解得，（舍去）．所以，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為2．故答案為：；．［方法三］：數(shù)形結(jié)合＋橢圓定義＋解焦點(diǎn)三角形 由條件知雙曲線N在第一、三象限的漸近線方程為，于是雙曲線N的離心率為．設(shè)雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為．在中，．由正弦定理得．于是．即橢圓的離心率．故答案為：；．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接根據(jù)橢圓的定義以及正六邊形性質(zhì)求解，是該題的最優(yōu)解；方法二：利用正六邊形性質(zhì)求出雙曲線的離心率，根據(jù)平面幾何條件創(chuàng)建齊次式求出橢圓的離心率，運(yùn)算較為復(fù)雜；方法三：利用正六邊形性質(zhì)求出雙曲線的離心率，再根據(jù)通過(guò)解焦點(diǎn)三角形求橢圓離心率． 五、解答題17．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)的公比為，根據(jù)題意求得的值，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)的公比為，因?yàn)?/span>，，則，又因?yàn)?/span>，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（2）解：由，可得，則，所以.18．如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：平面； (2)若為棱的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）先證明和，再利用線面垂直的判定定理證明出平面；（2）以為軸?軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，.為的中點(diǎn)，.平面，平面，平面.（2），為的中點(diǎn)，，.又平面，平面.分別以為軸?軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.所以,,,,,所以.記為平面的法向量，則，即，不妨令，則而平面的法向量，易知二面角的平面角為銳角記為，則.19．某海面上有三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì))，島在島的北偏東45°方向處，島在島的正東方向處．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．(1)試寫(xiě)出的坐標(biāo)，并求兩島之間的距離；(2)已知在經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)的圓形區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一艘船在島的南偏西30°方向距島處，正沿北偏東45°方向行駛，若不改變方向，該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？【答案】(1)，(2)有觸礁的危險(xiǎn) 【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)的表示方法和兩點(diǎn)間的距離公式求解；（2）利用點(diǎn)和直線的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】（1）在的北偏東45°方向，在的正東方向，由兩點(diǎn)間的距離公式知．（2）設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為．將代入上式，得，解得．圓的方程為，則該圓的圓心為，半徑．設(shè)船起初所在的點(diǎn)為，則，又該船航線所在直線的斜率為1，該船航線所在的直線方程為．圓心到此直線的距離．若不改變方向，該船有觸礁的危險(xiǎn)．．20．已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答.已知數(shù)列滿足__________，求的前項(xiàng)和.（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）利用遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）若選①：利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可；若選②：根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；若選③：根據(jù)裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又，于是，所以是以4為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列.所以，兩邊除以得，.又，所以是以2為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列.所以，即.（2）若選①：，即.因?yàn)?/span>，所以.兩式相減得，，所以.若選②：，即.所以若選③：，即.所以21．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記．（1）求MN的長(zhǎng)；（2）a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小？（3）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）時(shí)，最小，最小值為；（3）【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得、、、、、的坐標(biāo)．（1）直接由兩點(diǎn)間的距離公式可得；（2）把（1）中求得利用配方法求最值；（3）由（2）可知，當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，最短，求出、的坐標(biāo)，取的中點(diǎn)，連接，，可得的坐標(biāo)，連接，，得到是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，再由與的夾角求解．【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，， ， ，，， ．（1）；（2），當(dāng)時(shí)，最小，最小值為；（3）由（2）可知，當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，最短，則，0，，，，，取的中點(diǎn)，連接，，則，，，，，，，是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角．，，．平面與平面夾角的余弦值是．22．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，兩條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程； （2）雙曲線上有兩個(gè)點(diǎn)，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線的傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點(diǎn)到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）8；（3）存在且【詳解】分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，求出，，可證；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個(gè)解，設(shè)，得到，根據(jù)得，整理得，由，則符合題目要求，存在直線．詳解：（1）雙曲線；（2）設(shè)直線的斜率，顯然，聯(lián)立得，，，；（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立，（*），∵，方程總有兩個(gè)解，設(shè)，，根據(jù)得，整理得，∵，∴符合題目要求，存在直線．點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的求法，直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬難題. 

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