2022-2023學(xué)年廣西北海市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（    ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故選：B2．雙曲線的焦距為（    ）A．8 B．12 C．6 D．4【答案】B【分析】利用雙曲線的方程得到，再利用之間的關(guān)系求出，即可求得焦距【詳解】由雙曲線可得，則，所以焦距為.故選：B3．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：A4．已知直線經(jīng)過焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線與兩坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)為，.根據(jù)，可設(shè)橢圓的方程為，求出即可.【詳解】令，可得；令，可得.則由已知可得，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，.因?yàn)?/span>，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.設(shè)橢圓的方程為，則，，所以橢圓的方程為.故選：C.5．在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，則（    ）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以，.故選：D6．2022年11月11日下午，國務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制綜合組發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步優(yōu)化新冠肺炎疫情防控措施科學(xué)精準(zhǔn)做好防控工作的通知》二十條．后疫情時(shí)代，北海市某中學(xué)為了廣大師生能夠更好地掌握關(guān)于新冠疫情防控注意事項(xiàng)，準(zhǔn)備組織一次主題宣講活動(dòng)．特從某醫(yī)院的3名醫(yī)生和4名護(hù)士中，選出3人參加“新冠疫情防疫宣講”主題活動(dòng)．要求入選的3人中至少有一名醫(yī)生，則不同的選取方案的種數(shù)是（    ）A．20 B．25 C．31 D．34【答案】C【分析】先求出從3名醫(yī)生和4名護(hù)士中，選出3人的方法總數(shù)，再求出若入選的3人沒有醫(yī)生的方法總數(shù)，相減即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，從3名醫(yī)生和4名護(hù)士中，選出3人，有種選法．若入選的3人沒有醫(yī)生，即全部為護(hù)士的選法有種，則有種不同的選取方案．故選：C.7．在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值，從而求出余弦值.【詳解】因?yàn)槿庵?/span>是直三棱柱，且，所以以B為原點(diǎn)、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?/span>，所以，故．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得．設(shè)直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．8．已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)，求出為定值，從而能求出的值，然后根據(jù)求解.【詳解】設(shè)代入橢圓方程，則整理得：設(shè)，又，,所以而，所以，所以故選：B 二、多選題9．某醫(yī)院婦產(chǎn)科對(duì)該院歷年來新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X~N（2，4），則下列結(jié)論正確的是（    ）A．該正態(tài)分布的均值為2 B．該正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為4C． D．【答案】ACD【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)?/span>X~N（2，4），所以正態(tài)分布的均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2，所以A正確，B錯(cuò)誤，因?yàn)檎龖B(tài)分布的均值為2，所以由正態(tài)曲線的性質(zhì)可得，，所以CD正確，故選：ACD10．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，記點(diǎn)P到直線的距離為d，則的值可以?。?/span>    ）A．7 B． C．5 D．【答案】ABC【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為，利用拋物線定義得到，數(shù)形結(jié)合得到，得到答案.【詳解】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，由拋物線定義可知：故，連接，此時(shí)與拋物線的交點(diǎn)即為的最小值，故，故選：ABC11．已知圓，則下列說法正確的是（    ）A．圓C的半徑為16B．圓C截x軸所得的弦長為4C．圓C與圓E：相外切D．若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】BC【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個(gè)半徑;根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1【詳解】A:將一般式配方可得：，A錯(cuò)；B：圓心到x軸的距離為2，弦長為B對(duì)；C:外切，C對(duì)；D: 圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，解之: ,D錯(cuò)；故選：BC12．下列說法中正確的是（    ）A．將4個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有3種放法B．被7除后的余數(shù)為2C．若，則D．拋擲兩枚骰子，取其中一個(gè)的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，另一個(gè)的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，則點(diǎn)P在圓內(nèi)的次數(shù)的均值為【答案】ACD【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算即可判斷A,根據(jù)二項(xiàng)式定理即可判斷B，根據(jù)賦值法即可判斷C，根據(jù)古典概型求解概率，由獨(dú)立重復(fù)事件的均值計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：選一個(gè)盒子放兩個(gè)球，另外兩個(gè)盒子放一個(gè)球，共有種放法，故A正確；對(duì)于B, ，展開式中只有最后一項(xiàng)-2不是7的倍數(shù)，所以被7除后的余數(shù)為5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在中，令，得，令，得，，兩式相加除以2，得，故C正確；對(duì)于D：在一次拋擲兩枚骰子的過程中，點(diǎn)P共有36種情況，其中在圓內(nèi)的有，共8種，所以擲這兩枚骰子一次，點(diǎn)P在圓內(nèi)的概率為．因?yàn)?/span>，所以的均值為，故D正確，故選:ACD 三、填空題13．的展開式中的系數(shù)是___________.【答案】40【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即得解【詳解】因?yàn)?/span>，所以的展開式中的系數(shù)是40.故答案為：4014．已知向量，，若，則 ___________.【答案】【分析】根據(jù)，列出，分別求出，然后得到，進(jìn)而計(jì)算，可求出的值.【詳解】，故，解得，故，，，則故答案為：15．某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為，則看不清的數(shù)據(jù)★的值為__________．x23456y1925★4044  【答案】32【分析】計(jì)算出，代入回歸直線方程，求出，從而求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，將代入，故，設(shè)看不清的數(shù)據(jù)為，所以.故答案為：3216．若直線l過點(diǎn)，且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有__________條．【答案】4【分析】分情況討論直線有斜率和無斜率，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)即可求解直線的條數(shù).【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線為，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，代入曲線方程整理得，若，則，此時(shí)有兩條分別平行于雙曲線的兩條漸近線的直線，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則由，得，此時(shí)有一條直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上，這樣的直線共有4條．故答案為：4 四、解答題17．已知圓的方程為．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若圓與直線交于M，N兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）將圓的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到，解之即可；（2）利用弦長公式求得，進(jìn)而得到，易得的值.【詳解】（1）方程可化為，∵此方程表示圓，∴，即，即.（2）由（1）可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，由弦長公式及，得，解得，∴，得．18．已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．(1)求拋物線的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出，可得拋物線的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線的方程，消元寫出韋達(dá)定理，將用坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理化簡計(jì)算，可得的值．【詳解】（1）準(zhǔn)線為，，拋物線的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，得，，得，則，因?yàn)?/span>，則，則，即，或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，又，符合題意；綜上，m的值為．19．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，．點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求平面PAB與平面BDE所成銳角二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)． 【分析】（1）由題意可證得，，再線面垂直的判定定理證明平面PAC，即可證明；（2）記，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OE所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，分別求出平面PAB與平面BDE的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）證明：連接AC．在菱形ABCD中，，所以．在中，，所以，所以．在中，，所以，所以．又，AC，平面ABCD，所以平面ABCD．又平面ABCD，所以；因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是菱形，所以．又，AC，平面PAC，所以平面PAC．又平面PAC，所以；（2）解：記，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OE所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則．所以．設(shè)平面BAP的一個(gè)法向量為．則即令，解得，所以平面BAP的一個(gè)法向量為．因?yàn)?/span>E是PC的中點(diǎn)，所以，所以，又．設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為．則即令，解得，所以平面BDE的一個(gè)法向量為．所以，即平面PAB與平面BDE所成銳角二面角的余弦值為．20．已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知條件和橢圓定義求出，再由離心率求出，根據(jù)求出，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）使用點(diǎn)差法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由橢圓的定義知，，∴，又∵橢圓的離心率，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）∵為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，∴直線與橢圓必交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，不合題意，故，∵為線段的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，均在橢圓上，∴，兩式相減，得，即，∴，∴，即，∴直線的方程為，即．21．自疫情以來，與現(xiàn)金支付方式相比，手機(jī)支付作為一種更方便快捷并且無接觸的支付方式得到了越來越多消費(fèi)者和商家的青睞．某金融機(jī)構(gòu)為了調(diào)查研究“支付方式的選擇與年齡是否有關(guān)”，從某市市民中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查，得到部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 手機(jī)支付現(xiàn)金支付合計(jì)60歲以下40105060歲以上302050合計(jì)7030100 (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為支付方式的選擇與年齡有關(guān)；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該市60歲以上的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中選擇“現(xiàn)金支付”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中．0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828  【答案】(1)沒有99%的把握認(rèn)為支付方式的選擇與年齡有關(guān)(2)分布列見解析，， 【分析】（1）計(jì)算的觀測值，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想求解即可；（2）由題知，再根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：的觀測值，    所以沒有99%的把握認(rèn)為支付方式的選擇與年齡有關(guān)；（2）由題意可知：在60歲以上的市民中抽到1人選擇“現(xiàn)金支付”的概率為，所以，X的所有可能取值為0，1,2，3，    ，    ，，    ，    所以X的分布列為X0123P ，．22．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與該雙曲線的兩支分別交于 兩點(diǎn)，設(shè)，．(1)若，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)E，，，證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析； 【分析】(1)由題意知C： ，進(jìn)而設(shè)直線l的方程為 ，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可；(2）設(shè)直線l的方程為），進(jìn)而結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得 ， 再結(jié)合在雙曲線上,推得得是方程的兩根，進(jìn)而得 ，證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng) 時(shí) ，雙曲線C：，過點(diǎn)的直線l與該雙曲線的兩支分別交于 兩點(diǎn)，則直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，與C聯(lián)立得， ，則，則 ，由，可得 ，所以 ，所以．（2）證明：由題意可知直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為 ，則，由 , 得 ，所以 ， ， 由點(diǎn)M在雙曲線C上，可得 ，化簡得 ，同理 ，故是方程的兩根，則為定值. 

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