2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市東北育才雙語學(xué)校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則A的子集共有（    ）A．3個 B．4個 C．8個 D．16個【答案】C【分析】根據(jù)題意先求得集合，再求子集的個數(shù)即可.【詳解】由，得集合所以集合A的子集有個，故選： C2．若命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來求得的取值范圍.【詳解】依題意命題“，”為真命題，當時，成立，當時，成立，當時，函數(shù)開口向下，不恒成立.綜上所述，.故選：B3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出，然后令求出，然后即可求出．【詳解】因為所以令時有，所以所以所以故選：C4．基本再生數(shù)與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型來描述累計感染病例數(shù)隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T近似滿足，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加2倍需要的時間約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．2天 B．5天 C．4天 D．3天【答案】D【分析】根據(jù)題中所給的函數(shù)模型求出指數(shù)增長率的值，然后根據(jù)求出答案即可.【詳解】因為，，，則指數(shù)增長率設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加2倍需要的時間為天所以，則所以，即．所以（天）．故選：D5．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，數(shù)列是首項為?公差為的等差數(shù)列，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的對稱性首先求出函數(shù)是以2為周期的函數(shù)，且，而數(shù)列的通項公式為，則可將所求轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，從而有，即可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，即是以2為周期的函數(shù)，而，∴，又∵數(shù)列是首項為?公差為的等差數(shù)列，∴，∴，又∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，而，∴，∴，∴.故選：B.6．已知均為等差數(shù)列的與的前n項和分別為，，且，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由，，即可求解結(jié)果．【詳解】因為，又因為，所以可設(shè)，，則，所以，即.故選：A7．已知定義在上的奇函數(shù)，當時，，當時，有解，則實數(shù)的最大值（    ）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得時，，且在上單調(diào)遞增，進而，當分時，恒成立；當時，結(jié)合單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，進而得，再解不等式即可得最大值.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)，當時，，所以當時，，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，時，單調(diào)遞增，；所以，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當時，由于，故，，此時恒成立，當時，，所以，當時，有解等價于在上有解，所以，由在上單調(diào)遞增得在上有解，即在上有解，所以，即.所以，實數(shù)m的最大值為.故選：A8．已知為函數(shù)的零點，，，則、、的大小關(guān)系正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】對、，同時進行6次方運算，利用的單調(diào)性比較大??；先利用零點存在定理判斷出：.對、，同時進行3次方運算，利用的單調(diào)性比較大?。?/span>對、b，同時進行平方運算，利用的單調(diào)性比較大小.【詳解】因為，，所以，，所以.因為在上單增，所以.因為為函數(shù)的零點，所以因為為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，所以有且僅有一個零點a.又，因為，所以,所以；，因為，所以，所以；由零點存在定理，可得：.所以，，所以.因為在上單調(diào)遞增，所以因為，所以，而，所以.因為在上單調(diào)遞增，所以所以.故選：B 二、多選題9．下列敘述中正確的是（    ）A．B．若，則C．已知，則“”是“”的充要條件D．命題“，”的否定是“，”【答案】ABD【分析】對于A，利用子集的定義即可判斷；對于B，利用并集和補集的定義即可判斷；對于C，舉反例即可判斷；對于C，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即可判斷【詳解】對于A：集合中包括0，故，故A正確；對于B：若，說明集合A和B中均包括元素x，則，故B正確；對于C：已知，當時，滿足，而，所以“”是“”的充要條件為假命題，故C錯誤；對于D：由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，則命題“，”的否定是“，”，故D正確．故選：ABD10．以下結(jié)論正確的是（    ）A．具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的一組觀測數(shù)據(jù)，，，，由此得到的線性回歸方程為，回歸直線至少經(jīng)過點，，，中的一個點；B．相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強C．已知隨機變量服從二項分布，若，，則D．設(shè)服從正態(tài)分布，若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)可判斷選項A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的強弱關(guān)系可判斷選項B，根據(jù)二項分布的特征可判斷選項C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷選項D.【詳解】對于A，由回歸直線的特征可知：樣本點不一定在回歸直線上，故選項A錯誤；對于B，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，故選項B正確；對于C，因為隨機變量服從二項分布，且，，則，解得：，故選項C正確；對于D，若隨機變量服從正態(tài)分布，則其圖象關(guān)于軸對稱，若，則，所以，故選項D正確.故選：.11．已知為等差數(shù)列的前項和，，，記，，其中是高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式和等差中項，可的，再根據(jù)和等差數(shù)列通項公式，可求出等差數(shù)列的公差為，進而求出，即可判斷選項A正確；根據(jù)可得，即再利用裂項相消法即可求出，進而判斷B是否正確；根據(jù)可得，，可證數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，又相當于數(shù)列前項和，由此即可求出結(jié)果，進而判斷C是否正確；根據(jù)可得，分別求出正自然數(shù)在區(qū)間，，中的通項公式，以及時的值，再求，即可判斷D是否正確.【詳解】由為等差數(shù)列的前項和，所以，即；又，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，所以，故A正確；由選項A可知，所以，所以，故B錯誤；由選項A可知，所以，，所以，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以 ，故C正確；由選項A可知，當且時，；當且時，；當且時，；當時，；所以，故D正確.故選:ACD.12．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．B．C．不等式的解集為D．若存在實數(shù)滿足，則的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件計算判斷選項A，B；解不等式判斷選項C；作出函數(shù)的圖象與直線，數(shù)形結(jié)合計算判斷D作答.【詳解】因函數(shù)，則，，A不正確；，，B正確；當時，，則不等式化為，解得，的解集為，C正確；因存在實數(shù)滿足，令，則方程有4個互異實根，即函數(shù)的圖象與直線有4個公共點，作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，因當時，，則，又在上的圖象關(guān)于直線對稱，在上的圖象關(guān)于直線對稱，因此有：，則，而函數(shù)在上遞增，則有，所以的取值范圍為，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及用分段函數(shù)零點特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨立分析各段上的零點，再綜合考查所有零點是解決問題的關(guān)鍵. 三、填空題13．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，則______．【答案】36【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，再利用前項和公式與等差中項，即可求得的值.【詳解】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，所以，又，即，所以，則.故答案為：.14．函數(shù)的零點個數(shù)為___．【答案】2【分析】當x≤0時，令函數(shù)值為零解方程即可；當x＞0時，根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【詳解】當x≤0時，，∵，故此時零點為；當x＞0時，在上單調(diào)遞增，當x＝1時，y＜0，當x＝2時，y＞0，故在(1,2)之間有唯一零點；綜上，函數(shù)y在R上共有2個零點.故答案為：2.15．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，前n項和為，且，數(shù)列滿足對于任意正整數(shù)均有，求數(shù)列的前66項和為______．【答案】【分析】根據(jù)的關(guān)系求出數(shù)列通項公式，再利用等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】由可得，兩式相減得，，則有，因為是各項均為正數(shù)的數(shù)列，所以，所以，即，所以數(shù)列從第二項起為等差數(shù)列，且，解得，所以，首項也滿足上式，所以，因為，所以數(shù)列的前66項和為，故答案為: . 四、雙空題16．一般地，若的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”．（1）若為的跟隨區(qū)間，則______．（2）若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則的最大值是______．【答案】     2；     【分析】根據(jù)所給的定義，給合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；根據(jù)所給的定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用新構(gòu)成函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為為的跟隨區(qū)間，所以函數(shù)的值域為，因為，對稱軸為，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此根據(jù)題中所給的定義有；函數(shù)的定義域為：，因為函數(shù)存在跟隨區(qū)間，設(shè)跟隨區(qū)間為：，所以的值域為，而函數(shù)是定義域內(nèi)的遞減函數(shù)，因此有：，因為，所以，綜上，，所以，令，所以，，則有，同理，設(shè)函數(shù)因為，，所以，因為，所以方程在時，有兩個不相等的實數(shù)根.因此直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此有.故答案為：2；【點睛】關(guān)鍵點睛：一是利用因式分解法由得到；二是由得到方程在時，有兩個不相等的實數(shù)根. 五、解答題17．已知函數(shù)，x∈[，9].(1)當a=0時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為-6，求實數(shù)a的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由題意可得，結(jié)合定義域，逐步可得函數(shù)的值域；（2）利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題，分類討論即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當a=0時，，x∈[，9].∴，，∴，∴函數(shù)f(x)的值域為；（2）令，即函數(shù)的最小值為，函數(shù)圖象的對稱軸為，當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得（舍）；綜上，實數(shù)a的值為或.18．為實施鄉(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請來專家進行技術(shù)指導(dǎo)．根據(jù)統(tǒng)計，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下.（千克）24568（千克）300400400400500 （1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測當液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少千克?附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】（1）0.95，答案見解析；（2）700千克．【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)先求出，再求，，，然后利用公式求出相關(guān)系，再作判斷即可，（2）根據(jù)線性回歸方程公式求出回歸方程，然后將代入回歸方程中可求得西紅柿畝產(chǎn)量的增加量【詳解】解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，，，所以相關(guān)系數(shù)．因為，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），，所以回歸方程為．當時，，即當液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿由產(chǎn)量的增加量約為700千克．19．已知數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)令，證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析 【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量代換求出，利用前n項和的定義求出；（2）用錯位相減法求和后即可證明.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因為，，所以，解得：，所以.因為數(shù)列滿足，所以n=1時，有，解得：.當時， ，因為，所以.經(jīng)檢驗，對也成立，所以.（2）由（1）知，.記是數(shù)列的前項和.則①，①式同乘以得：②，①-②得：，所以因為，所以，所以.20．2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀?/span>n次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。?/span>【答案】(1)分布列見解析，(2)①證明見解析；② 【分析】（1）先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學(xué)期望；（2）遞推求解，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，滿足.【詳解】（1）解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P 期望．（1）解析2：二項分布依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：X0123P 期望．（2）解析：遞推求解①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，∴是以為首項．公比為的等比數(shù)列．②由①可知，，，故．21．已知等比數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項和，且.(1)求{}和{}的通項公式；(2)設(shè)，記數(shù)列{}的前n項和為.求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，解得．由，利用通項公式解得，可得．由數(shù)列的前項和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，即，化為：，解得．，，即，解得，．數(shù)列的前項和，且，時，，化為：，，數(shù)列是每項都為1的常數(shù)列，，化為．（2）證明：，數(shù)列的前項和為，．22．已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m,n ,n 2）,這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，……，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號為k的抽屜（k=1,2,3，……，m+n）.（1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;（2）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學(xué)期望，證明 【答案】（1）（2）見解析【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件先確定總事件數(shù)為，而編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的事件數(shù)為，最后根據(jù)古典概型的概率公式即可求概率；（2）先確定最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)為，所對應(yīng)的概率，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得，利用性質(zhì)，進行放縮變形：，最后利用組合數(shù)性質(zhì)化簡，可得結(jié)論．試題解析：解:(1) 編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為: . (2) 隨機變量 X 的概率分布為: X……P…… 隨機變量 X 的期望為：.所以.點睛:求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：（1）“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；（2）“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；（3）“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；（4）“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度． 

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