2022-2023學(xué)年遼寧省東北育才學(xué)校高三高考適應(yīng)性測試（二）數(shù)學(xué)含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

絕密★使用前東北育才學(xué)校2022-2023學(xué)年度高考適應(yīng)性測試（二）高三數(shù) 學(xué)考生注意：1.本試卷共150分,考試時間120分鐘。分四大題，22小題，共6頁2.請將各題答案填寫在答題卡上。 3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容一、單選題（每題只有一個選項是正確答案，每題5分，共40分）1．歐拉恒等式（i為虛部單位，為自然對數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙的公式，它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當(dāng)自變量時，，得．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．魔方又叫魯比克方塊（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑學(xué)教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機械益智玩具，與華容道?獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個，恰好抽到中心方塊的概率為（）A． B． C． D．3．已知為橢圓上不同的三點，直線，直線交于點，直線交于點，若，則（）A．0 B． C． D．4．在計算機尚未普及的年代，人們在計算三角函數(shù)時常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函數(shù)表的制作最早可追測到古希臘數(shù)學(xué)家托勒密．下面給出了正弦表的一部分，例如，通過查表可知的正弦值為0.0384，的正弦值為0.5135，等等.則根據(jù)該表，416．5°的余弦值為（） 0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'0°0.000000170035005200700087010501220140015701751°017501920209022702440262027902970314033203492°03490366038404010419043604540471048805060523……………………30°0.5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736……………… A．0.5461 B．0.5519 C．0.5505 D．0.57365．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．6．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知正方體棱長為2，P為空間中一點.下列論述正確的是（）A．若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B．若，三棱錐的體積不是定值C．若，有且僅有一個點P，使得平面D．若，則異面直線BP和所成角取值范圍是二、多選題（每題至少有一個選項為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書中先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠，若，則下面結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則有最小值C．若，則 D．若，則有最大值110．重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外．經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展成為具有獨特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛．古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長，偏稱游人攜袖里，不勞侍女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中，動點P在上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（）圖1 圖2A．若，則 B．若，則C． D．11．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，，，，，，.該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，若有6個不同的零點分別為，且，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時， B．的取值范圍為C．當(dāng)時，的取值范圍為D．當(dāng)時，的取值范圍為三、填空題（每題5分，共20分）13．古希臘哲學(xué)家芝諾提出了如下悖論：一個人以恒定的速度徑直從點走向點，先走完總路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，會產(chǎn)生無限個“剩下的路程”，因此他有無限個“剩下路程的二分之一”要走，這個人永遠走不到終點，因古代人們對無限認識的局限性，所以芝諾得到了錯誤的結(jié)論．設(shè)，這個人走的第段距離為，則滿足這個人走的前段距離的總和的的一個值可以為__________．14．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)與橢圓＋＝1的焦點重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為右支上任意一點，則的最小值為________．15．我們常常運用對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如：從裝有編號為的個球的口袋中取出個球，共有種取法.在種取法中，不取號球有種取法；取號球有種取法.所以.試運用此方法，寫出如下等式的結(jié)果：___________.16．當(dāng)a＞0時，若不等式恒成立，則的最小值是__________．四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．設(shè)首項為2的數(shù)列的前項和為，前項積為，且滿足__________.條件①：；條件②：；條件③：.請在以上三個條件中，選擇一個補充在上面的橫線處，并解答以下問題：（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列的前項和. （參考公式：） 18．如圖，平面四邊形ABCD中，，，．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足． (1)求四邊形ABCD的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍． 19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，平面，且，點在棱上，點為中點. (1)證明：若，直線平面；(2)求二面角的正弦值；(3)是否存在點，使與平面所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說明理由. 20．近年來，學(xué)生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進入課堂，考生選擇大學(xué)就讀專業(yè)時不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報考專業(yè)分布更加廣泛，之前較冷門的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等專業(yè)報考的人數(shù)也逐年上升.下表是某高校數(shù)學(xué)專業(yè)近五年的錄取平均分與當(dāng)年該學(xué)校的最低提檔線對照表：年份20172018201920202021年份代碼12345該校最低提檔分數(shù)線510511520512526數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分522527540536554提檔線與數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分之差1216202428(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年數(shù)學(xué)專業(yè)的錄取分數(shù)X服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)的數(shù)學(xué)錄取平均分，假設(shè)2022年該校最低提檔分數(shù)線為540分.①若該大學(xué)2022年數(shù)學(xué)專業(yè)錄取的學(xué)生成績在584分以上的有3人，本專業(yè)2022年錄取學(xué)生共多少人？進入本專業(yè)高考成績前46名的學(xué)生可以獲得一等獎學(xué)金，則一等獎學(xué)金分數(shù)線應(yīng)該設(shè)定為多少分？②在①的條件下，若從該專業(yè)獲得一等獎學(xué)金的學(xué)生中隨機抽取3人，用表示其中高考成績在584分以上的人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，， 21．已知雙曲線C：的左頂點為A，右焦點為F，P是直線l：上一點，且P不在x軸上，以點P為圓心，線段PF的長為半徑的圓弧AF交C的右支于點N.(1)證明：；(2)若直線PF與C的左、右兩支分別交于E，D兩點，過E作l的垂線，垂足為R，試判斷直線DR是否過定點.若是，求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由. 22．已知函數(shù)(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，求證：. 東北育才學(xué)校2022-2023學(xué)年度高考適應(yīng)性測試（二）數(shù)學(xué)參考答案（含客觀題詳解）1．C2．A3．B4．B5．B6．B7．C8．D9．ABD10．ABD11．BC12．AC13．7（7、8、9，只需寫出一個答案即可）14．815．16．17．(1)(2)證明見解析【分析】(1)選擇①，由條件證明為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項公式求的通項公式；選擇②，由條件，結(jié)合關(guān)系，證明，利用累乘法求數(shù)列的通項公式；選擇③，先證明，由此得為常數(shù)，再求數(shù)列的通項公式；(2)求，利用裂項相消法求，由此完成證明.【詳解】（1）若選擇條件①：因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．所以，所以．若選擇條件②：因為，所以．當(dāng)時，，整理得，，所以，累乘得，，當(dāng)時，，符合上式，所以．若選擇條件③：因為，所以，即，所以，所以數(shù)列為常數(shù)列，又，所以，即．（2）證明：由（1）知：，結(jié)合參考公式可得，所以，所以，即因為，所以，即.18．(1)(2) 【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，進而得到A，B，C，D四點共圓，利用正弦理即可求解.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和輔助角公式以及正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以.因為，所以，所以A，B，C，D四點共圓，則四邊形ABCD的外接圓半徑就等于外接圓的半徑.又，所以.（2）由（1）可知：，則.，則.在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，所以.19．(1)證明見解析(2)(3)存在，或【分析】（1）利用面面平行證明線面平行；（2）利用坐標(biāo)法求二面角余弦值與正弦值；（3）設(shè)，可表示點與，再根據(jù)線面夾角求得的值.【詳解】（1）如圖所示，在線段上取一點，使，連接，，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，所以平面平面，平面，平面；（2）如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又是中點，則，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，則二面角的正弦值為；（3）存在，或假設(shè)存在點，設(shè)，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，則，，則，，解得或，故存在點，此時或.20．(1)(2)①；580分；②詳見解析. 【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別求得，，，寫出線性回歸方程.（2）①由（1）中的線性回歸方程求得時的，進而得到該大學(xué)2022年的數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分，然后利用原則求解，再由584分以上的有3人可計算出本專業(yè)2022年錄取學(xué)生共多少人；再由前46名占比計算出一等獎學(xué)金分數(shù)線應(yīng)該設(shè)定為多少分；②若從該專業(yè)獲得一等獎學(xué)金的學(xué)生中隨機抽取3人，用表示其中高考成績在584分以上的人數(shù)，其中該專業(yè)獲得一等獎學(xué)金的學(xué)生為46人，其中高考成績在584分以上的有3人，則的可能取值為0，1，2，3，再由超幾何分布的概率求解計算出概率并列出分布列進而求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意知，，，，所以，，故所求線性回歸方程為．（2）①由（1）知，當(dāng)時，，故該大學(xué)2022年的數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分約為．即因為，又，若該大學(xué)2022年數(shù)學(xué)專業(yè)錄取的學(xué)生成績在584分以上的有3人，則本專業(yè)2022年錄取學(xué)生共；進入本專業(yè)高考成績前46名的學(xué)生占錄取人數(shù)的，設(shè)一等獎學(xué)金分數(shù)線應(yīng)該設(shè)定為分，則，，故一等獎學(xué)金分數(shù)線應(yīng)該設(shè)定為580分；②若從該專業(yè)獲得一等獎學(xué)金的學(xué)生中隨機抽取3人，用表示其中高考成績在584分以上的人數(shù)，其中該專業(yè)獲得一等獎學(xué)金的學(xué)生為46人，其中高考成績在584分以上的有3人，則的可能取值為0，1，2，3；；；；0123 .21．(1)證明見解析(2)是，【分析】（1）過N作l的垂線，垂足為H，且與圓弧AF交于點M，則，結(jié)合圓的知識可得，，設(shè)點，則，由，可得，即得，由相等弦長所對的圓心角相等，得，進而求解；（2）設(shè)直線PF的方程為，由題意可得，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理可得，，由題知，直線DR的方程為，令，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：過N作l的垂線，垂足為H，且與圓弧AF交于點M，則，因為直線l：為雙曲線C：的準(zhǔn)線，根據(jù)雙曲線的第二定義，可知，即，即得.連接AM，PM，NF.因為在圓P中，，，所以，.由題易知右焦點，設(shè)點，則，整理得.因為，所以，所以.在圓P中，由相等弦長所對的圓心角相等，得，所以.（2）由題知直線PF的斜率不為0，設(shè)直線PF的方程為.因為直線PF與C的左，右兩支分別交于E，D兩點，則.設(shè)，，，聯(lián)立方程組得，則，.由題知，直線DR的方程為，令，得，所以直線DR過定點.22．(1)(2)見解析【分析】（1）設(shè)，首先根據(jù)題意得到,從而將題意等價為,再結(jié)合的單調(diào)性分類討論求解即可;（2）根據(jù)（1）知:,從而得到,再化簡得到,累加即可證明.【詳解】（1）恒成立，即恒成立，設(shè)因為,所以恒成立等價于恒成立.由已知的定義域為.令,有兩根,因為，時,單調(diào)遞減;,時,單調(diào)遞增，,當(dāng)時,,故滿足題意.當(dāng)時,時，單調(diào)遞減，故不滿足題意.當(dāng)時,時, 單調(diào)遞增，故不滿足題意.綜上可知：.（2）證明:由（1）可知:時,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故當(dāng)時,可得即，即.故故【點睛】關(guān)鍵點睛：本題對于第一問恒成立問題的處理是移項構(gòu)造新函數(shù)，不使用較為復(fù)雜的分離參數(shù)法，而是將0代換為，變成恒成立，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解值，第二問的關(guān)鍵是在（1）的基礎(chǔ)上得到，然后當(dāng)時，則得到，再通過累加即可證明不等式.

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