2022-2023學(xué)年廣東省東莞市九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中專項(xiàng)突破模擬試卷 一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　　）A．            B． C． D． 2．一元二次方程x2+3x＝0的解是（　?。?/span>A．x＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x＝3 3．拋物線y＝3（x﹣1）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） 4．一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情況是（　　）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定 5．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面積為2cm2，△DEF的面積為8cm2，則△ABC與△DEF的相似比是（　?。?/span>A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 6．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，則∠BAC的度數(shù)是（　?。?/span>A．18° B．36° C．54° D．72° 7．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截，AB＝6，BC＝8，DE＝4，則EF的長(zhǎng)為（　?。?/span>A．12 B．3 C． D．58．若點(diǎn)（0，a），（4，b）都在二次函數(shù)y＝（x﹣2）2的圖象上，則a與b的大小關(guān)系是（　　）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．無(wú)法確定 9．如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置．若∠CAB′＝25°，則∠CAC'的度數(shù)為（　?。?/span>A．25° B．40° C．65° D．70° 10．如圖，以邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（　?。?/span>A． B． C． D． 二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分.11．點(diǎn)（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 　            　． 12．將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是         　   　． 13．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 　   　，使△ADE∽△ABC．14．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為60π，底面半徑為6的圓錐模型（如圖所示），則此圓錐的母線長(zhǎng)為 　   　．15．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)它的長(zhǎng)與寬各多少步？利用方程思想，設(shè)寬為x步，則依題意列方程為　   　   　   　   　． 三、解答題（一）：本題共3小題，每小題8分，共24分16．解方程：x2﹣6x+8＝0．    17．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，連接DE，且∠AED＝∠B，AD＝6，AB＝8，AC＝10，求AE的長(zhǎng)．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°．（1）找到△ABC的外心，畫出△ABC的外接圓．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫過(guò)程）（2）若△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為8，BC＝12，請(qǐng)求出⊙O的面積．四、解答題（二）：本小題共3小題，每小題9分，共27分.19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．         20．如圖，從某建筑物9米高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直），如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1米，離地面12米，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．（1）求拋物線的解析式；（2）求水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB．      21．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F，連接DA、BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF．（1）求證：DA∥BC；（2）猜想線段AD、AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．            五、解答題（三）：本小題共2小題，每小題12分，共24分.22．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）當(dāng)AB＝5cm，AC＝12cm時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)．   23．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交BD所在直線于點(diǎn)M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)F（0，），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？（3）點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（答案與解析）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.1．解：A．該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．該圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C． 2．解：x2+3x＝0，x（x+3）＝0，x＝0，x+3＝0，x1＝0，x2＝﹣3，故選：C． 3．解：拋物線y＝3（x﹣1）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），故選：D． 4．解：∵一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的判別式，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×3＝﹣8＜0，∴一元二次方程2x2﹣4x+3＝0沒有實(shí)數(shù)根．故選：C． 5．解：∵△ABC的面積為2cm2，△DEF的面積為8cm2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：4，∵△ABC～△DEF，∴△ABC與△DEF的相似比為1：2，故選：C． 6．解：∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，∴∠BAC＝∠BOC＝36°．故選：B． 7．解：∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴EF＝．故選：C． 8．解：∵y＝（x﹣2）2，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸是直線x＝2，∴點(diǎn)（0，a），（4，b）離直線x＝2一樣近，∴a＝b，故選：C． 9．解：∠BAB′＝∠BAC﹣∠CAB′＝65°﹣25°＝40°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠CAC′＝∠BAB′＝40°．故選：B． 10．解：由題意，以A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，設(shè)切點(diǎn)為F，連接AF，則AF⊥BC．在等邊△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF＝＝，∴S陰影＝S△ABC﹣S扇形ADE＝×2×﹣＝﹣，故選：D． 二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分.11．解：∵點(diǎn)M（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)M（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故答案為（2，﹣3）． 12．解：∵拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，∴平移后的解析式為：y＝x2+3． 13．解：∵∠A＝∠A，∴當(dāng)∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝時(shí)，△ADE∽△ABC，故∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）． 14．解：設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，所以此圓錐的母線長(zhǎng)為10．故答案為10． 15．解：∵矩形的寬為x（步），且寬比長(zhǎng)少12（步），∴矩形的長(zhǎng)為（x+12）（步）．依題意，得：x（x+12）＝864．故x（x+12）＝864． 三、解答題（一）：本題共3小題，每小題8分，共24分16．解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4． 17．解：∵∠AED＝∠B，∠A公共，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AC＝AE：AB，而AD＝6，AB＝8，AC＝10，∴6：10＝AE：8，∴AE＝4.8． 18．解：（1）如圖，點(diǎn)O為所作； （2）過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D，如圖，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝6，∴AD垂直平分BC，∴△ABC的外接圓的圓心O在AD上，連接OB，如圖，OD＝8，在Rt△OBD中，OB＝＝＝10，即⊙O的半徑為10，∴⊙O的面積＝π×102＝100π． 四、解答題（二）：本小題共3小題，每小題9分，共27分.19．解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＞；（2）∵方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程為x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2． 20．解：（1）根據(jù)題意，得A（0，9），頂點(diǎn)M（1，12），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以拋物線的解析式為y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：拋物線的解析式為y＝﹣3x2+6x+9．（2）當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣3x2+6x+9，解得x1＝3，x2＝﹣1，所以B（3，0）．答：水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB為3米． 21．解：（1）∵AB＝BD，∠ABD＝α＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠DAB＝60°，∵∠ABC＝60°，∴AD∥BC；（2）AD＝2AE．證明：∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，在△ADF和△BDF中∴△ADF≌△BDF（SSS），∴∠ADF＝∠BDF＝30°，∴DF⊥AB，∴AD＝2AE．五、解答題（三）：本小題共2小題，每小題12分，共24分.22．解：（1）如圖，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC＝90°，∵DP∥BC，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半徑，∴PD是⊙O的切線； （2）∵PD∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠P，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，∴∠DCP＝∠ABD，∴△ABD∽△DCP， （3）∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴BD＝CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，∴BD＝CD＝BC＝，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP＝16.9cm．       23．解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2．（2）設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，拋物線y＝﹣x2+x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴C（0，2），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C（0，2）關(guān)于x軸對(duì)稱，∴D（0，﹣2），將B（4，0），D（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，解得：，∴直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣2，∵QM⊥x軸于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)Q，交BD所在直線于點(diǎn)M．且P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2），M（m，m﹣2），則QM＝（﹣m2+m+2）﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，∵F（0，），D（0，﹣2），∴DF＝﹣（﹣2）＝，∵QM∥DF，∴當(dāng)QM＝DF時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，∴﹣m2+m+4＝，解得m1＝3或m2＝﹣1，如圖1、圖2，∴m1＝3或m2＝﹣1時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形．（3）∵QM∥DF，∴∠QMB＝∠ODB，①如圖3，當(dāng)∠MBQ＝∠DOB＝90°時(shí)，△MBQ∽△DOB，則，∴，∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMQ＝90°，∴∠BMQ＝∠PBQ，∵∠MBQ＝∠BPQ＝90°，∴△MBQ∽△BPQ，∴，∴＝，∴，解得m1＝3，m2＝4（不符合題意，舍去），∴Q（3，2）；②如圖4，當(dāng)∠BQM＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BQM∽△BOD，此時(shí)m＝﹣1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，0），綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）或（﹣1，0）時(shí)，以點(diǎn)B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似．
  

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