機(jī)密★啟用前2023年湖北省七市（州）高三年級(jí)3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)  學(xué)宜昌市教育科學(xué)研究院命制本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分．考試用時(shí)120分鐘．★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（    ）．A．1 B．2 C．3 D．42．若，則（    ）．A． B． C． D．3．一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1，2，3，5，6，8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為n，則二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（    ）．A． B．60 C．120 D．2404．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟嵌玫?/span>．如圖，將棱長(zhǎng)為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面截角得到所有棱長(zhǎng)均為2的截角四面體，則該截角四面體的體積為A． B． C． D．5．已知，則的值為（    ）．A． B． C． D．6．已知，，直線y=-與曲線相切，則的最小值是（    ）．A．16 B．12 C．8 D．47．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（    ）．A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）．A．  B．C．  D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題中正確的是（    ）．A．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的樣本方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為7B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)C．對(duì)于隨機(jī)事件A與B，，，若，則事件A與B相互獨(dú)立D．若，則取最大值時(shí)10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則（    ）．A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>C．D．曲線在處的切線斜率為11．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F，G分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）．A．兩條異面直線和所成的角為B．存在點(diǎn)P，使得平面C．對(duì)任意點(diǎn)P，平面平面D．點(diǎn)到直線的距離為412．已知直線交y軸于點(diǎn)P，圓，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線與交于點(diǎn)C，則（    ）．A．若直線l與圓M相切，則B．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為C．直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)D．已知點(diǎn)，則為定值三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．14．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)口袋，其中甲口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球．第一次從甲口袋中任取1個(gè)球，將取出的球放入乙口袋中，第二次從乙口袋中任取一個(gè)球，則第二次取到2號(hào)球的概率為__________．15．函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．16．已知為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，則__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）設(shè)，若點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積．18．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．已知，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（12分）某市舉行招聘考試，共有4000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過(guò)后參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，試求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；（2）若所有考生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)初試成績(jī)不低于88分的人數(shù)；（3）復(fù)試共三道題，第一題考生答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩題考生每答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績(jī)．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)?/span>Y，求Y的分布列及均值．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：，，．20．（12分）如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．（1）當(dāng)時(shí)，求三棱柱的體積；（2）設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．21．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作斜率不為零的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，連接，分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于的直線交直線于點(diǎn)R．（1）求證：點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)；（2）記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有3個(gè)零點(diǎn)，，，其中．（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．  2023年湖北省七市（州）高三年級(jí)3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1．B【解析】因?yàn)?/span>，，所以，所以的子集個(gè)數(shù)為4．故選B．2．A【解析】由，得，所以．故選A．3．B【解析】因?yàn)?/span>％，所以．所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．故選B．4．C【解析】截角四面體的體積為大正四面體的體積減去四個(gè)相等的小正四面體體積，所以．故選C．5．A【解析】．故選A．6．D【解析】對(duì)求導(dǎo)得，由得，則，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選D．7．A【解析】因?yàn)?/span>，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)?/span>平分，由角分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡(jiǎn)得，把①代入上式得，所以離心率為．故選A．8．C【解析】因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞增．所以，兩邊平方，化簡(jiǎn)得，解得．故選C．9．BC【解析】對(duì)于A，數(shù)據(jù)，，…，的方差為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，回歸方程的直線斜率為負(fù)數(shù)，所以變量x與y呈負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，所以B正確；對(duì)于C，由，得，故事件A與事件B獨(dú)立，所以C正確；對(duì)于D，由，解得或，所以D錯(cuò)誤．故選BC．10．AC【解析】由，即，而，所以，由，得（五點(diǎn)法），所以，則．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令得，由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性得，所以，所以C正確；對(duì)于D，，則，所以D錯(cuò)誤．故選AC．11．BCD【解析】對(duì)于A，兩條異面直線和所成的角即為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，，則平面，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，，所以平面，所以對(duì)任意點(diǎn)P，平面平面，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以D正確．故選BCD．12．ACD【解析】對(duì)于A，若直線l與圓M相切，則，解得，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則直線，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)C的軌跡是以為直徑的圓，即，圓心，所以為定值，所以D正確．故選ACD．13．【解析】在方向上的投影為．故應(yīng)填．14．【解析】記事件，分別表示第一次、第二次取到i號(hào)球，，2，3，依題意，，兩兩互斥，其和為，并且，，，所以，，，應(yīng)用全概率公式，有．故應(yīng)填．15．【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象知；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故應(yīng)填．16．2【解析】由點(diǎn)在拋物線上得：，即．所以?huà)佄锞€C的方程為：．設(shè)直線的方程為，，．由直線與的傾斜角互補(bǔ)得，即，所以．聯(lián)立，得，所以，．所以，即，所以．．17．【解析】（1）由及正弦定理得，即，所以．（2分）因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以．（4分）（2）因?yàn)?/span>，所以，．又，所以．在中，由余弦定理得，即．①（6分）又，所以，兩邊平方得，即，所以．②（8分）②－①得，所以，代入①得，在中，，所以是以為直角的三角形，所以的面積為．（10分）18．【解析】（1）①，當(dāng)時(shí)時(shí)，②，①－②得：即，（4分）所以，且，所以是以1為公差的等差數(shù)列．（5分）（2）由（1）得，．（6分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又滿(mǎn)足上式，所以．（7分）所以，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．方法一：（兩次錯(cuò)位相減），①，②①－②得，③（9分）則，④③－④得，（11分）所以．（12分）方法二：（裂項(xiàng)）因?yàn)?/span>，（9分）所以．（12分）19．【解析】（1）樣本平均數(shù)的估計(jì)值為．（2分）（2）因?yàn)閷W(xué)生初試成績(jī)X服從正態(tài)分布，其中，，則，所以，所以估計(jì)初試成績(jī)不低于88分的人數(shù)為人．（5分）（3）Y的取值分別為0，5，10，15，20，25，則，，，，，，（10分）故Y的分布列為：Y0510152025P所以數(shù)學(xué)期望為．（12分）20．【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)為O，由于和為正三角形，則，，且．（1分），所以，所以．又，所以三棱柱的體積．（4分）在中，，，由余弦定理可得，所以．（2）由（1），，又，所以平面．因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．所以在平面內(nèi)作，則平面．以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，．（7分）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，，則，即，（9分）取得．設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，（11分）令，則在單調(diào)遞增，所以，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．（12分）21．【解析】（1），，設(shè)，，，聯(lián)立，得，則，，（2分）直線，令得，所以，同理，．（4分）所以．直線，令得，所以，則，點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)．（6分）（2）由（1）知，，又，所以．（8分）而，（10分）所以．故存在使得．（12分）22．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，（1分）則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．（2分）（2）（ⅰ），，，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，（3分），令，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，所以在單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足，舍去；當(dāng)時(shí)，要是除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，（5分）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，，所以．當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，即有3個(gè)零點(diǎn)，，．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（7分）（ⅱ）因?yàn)?/span>，所以若，則，所以．當(dāng)時(shí)，先證明不等式恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．（10分）由，可得，因?yàn)?/span>，所以，即，兩邊同除以，得，所以．（12分） 

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