高中數(shù)學(xué)高考專(zhuān)題07 平面向量——2020年高考真題和模擬題文科數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（教師版含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專(zhuān)題07 平面向量1．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b【答案】D【解析】由已知可得：.A：因?yàn)?/span>，所以本選項(xiàng)不符合題意；B：因?yàn)?/span>，所以本選項(xiàng)不符合題意；C：因?yàn)?/span>，所以本選項(xiàng)不符合題意；D：因?yàn)?/span>，所以本選項(xiàng)符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個(gè)平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【解析】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3．【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)單題目.4．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】設(shè)向量，若，則 .【答案】5【解析】由可得，又因?yàn)?/span>，所以，即，故答案：5.【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.5．【2020年高考天津】如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．【答案】 (1). (2). 【解析】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則(其中)，，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．【2020年高考北京】已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．【答案；【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．【2020年高考浙江】已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是_______．【答案】【解析】，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.8．【2020年高考江蘇】在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若(m為常數(shù))，則CD的長(zhǎng)度是 ▲ ．【答案】【解析】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．1．【2020四川省閬中中學(xué)高三二模】已知向量，且，則m=A．?8 B．?6C．6 D．8【答案】D【解析】∵，又，∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．【2020寧夏回族自治區(qū)高三二模】已知向量滿足,且與的夾角為,則A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．【2020陜西省西安中學(xué)高三模擬】已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，∴，又，∴，∴.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟練地利用向量的坐標(biāo)表示求平行，垂直以及夾角和模長(zhǎng)等問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．4．【2020河北省高三月考】已知向量，滿足，，且，則向量與的夾角的余弦值為A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：，解得：..本題正確選項(xiàng)D.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平方運(yùn)算求得向量的數(shù)量積.5．【2020湖南省高三月考】如圖所示，在中，點(diǎn)在線段上，且，若，則A． B． C．2 D．【答案】B【解析】，所以，從而求得，故選B．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的基本定理，在解題的過(guò)程中，需要利用向量直角的關(guān)系，結(jié)合三角形法則，求得結(jié)果.6．【2020·威遠(yuǎn)中學(xué)校高三月考】已知向量，且∥，若均為正數(shù)，則的最小值是A．24 B．8 C． D．【答案】B【解析】由∥得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以選B．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.7．【2020屆安徽省蕪湖市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】在中，，，則為A． B． C． D．【答案】D【解析】故選：D8．【2020屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】已知向量，，，若，則b在c上的投影為A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，得，所以由，得，所以b在c上的投影為.故選A．9．【2020重慶南開(kāi)中學(xué)高三月考】向量，，若，的夾角為鈍角，則的范圍是A． B． C．且 D．【答案】C【解析】若，的夾角為鈍角，則且不反向共線，，得.向量，共線時(shí)，，得.此時(shí).所以且.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積研究向量的夾角，當(dāng)為鈍角時(shí)，數(shù)量積為0，容易忽視反向共線時(shí)，屬于易錯(cuò)題.10．【2020湖北省高三零模】已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】在上投影為，即.，，又，，，.本題選B．【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解，通常先求解模長(zhǎng)的平方，再開(kāi)平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析，得到的最小值.11．【2020四川省瀘縣第二中學(xué)高三三模】已知向量滿足，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)A． B．2 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?/span>滿足，，所以，若向量的夾角為，則，所以，即，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的投影及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， (此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解)；(2)求投影，在上的投影是；(3)向量垂直則;(4)求向量的模(平方后需求).12．【2020湖南省高三二模】正方形邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，若，則A．3 B．5 C． D．【答案】D【解析】由題意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中點(diǎn)，則，，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得到，再利用勾股定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.13．【2020河南省高考模擬】已知平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量，，它們的夾角是60°，與、向量的夾角都為30°，且，若，則值為A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】由題意，可得在的角平分線上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記平面向量的基本定理，得到，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【2020屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)】正三角形中，是線段上的點(diǎn)，，，則A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系,易得,,.故,,故故選：B．15.【2020屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)文科數(shù)學(xué)試題】是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為&科&網(wǎng)Z&X&X&K]A． B． C． D．【答案】B【解析】[來(lái)設(shè)，，∴，，，∴.16．【2020湖北省高考模擬】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，向量與夾角的余弦值為A． B． C． D．【答案】D【解析】，，對(duì)兩邊用點(diǎn)乘，與夾角的余弦值為.故選D．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量的模長(zhǎng)的求法以及向量點(diǎn)積的運(yùn)算，題目比較簡(jiǎn)單基礎(chǔ)；平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， (此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解)；(2)求投影，在上的投影是；(3)向量垂直則;(4)求向量的模(平方后需求).17．【2020寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三模擬】在中，，，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，A．24 B． C． D．【答案】A【解析】由可得：，則，即，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則：，當(dāng)，即時(shí)取得最小值，此時(shí).本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．18．【2020屆湖南省高三上學(xué)期期末統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)】已知向量，的夾角為，則__________.【答案】【解析】依題意，所以.故答案為.19．【2020屆安徽省皖東縣中聯(lián)盟上學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)】已知向量，滿足，，若，則與的夾角為______.【答案】【解析】由已知知，，則，所以，故夾角為.故答案為.20．【2020甘肅省武威十八中高三期末】已知向量，，，若，則_____.【答案】4【解析】，∵，∴，∴．故答案為4．【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積有兩個(gè)應(yīng)用：(1)計(jì)算長(zhǎng)度或模長(zhǎng)，通過(guò)用；(2)計(jì)算角，.特別地，兩個(gè)非零向量垂直的等價(jià)條件是.21．【2020安徽省高三月考】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，若，則__________．【答案】-3【解析】∵為所在平面內(nèi)一點(diǎn), ，∴B，C，D三點(diǎn)共線.若∴，化為： =+，與=?+，比較可得：，解得.即答案為-3.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算及相關(guān)的恒等變換問(wèn)題．22．【2020柳州高級(jí)中學(xué)高三月考】如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若，則______.【答案】【解析】設(shè)，，則，.由于，可得，且，解得，，所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用，考查向量的加法運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題，23．【2020·江西省寧都中學(xué)高三月考】如圖所示,已知點(diǎn)是的重心,過(guò)點(diǎn)作直線分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，且，，則的最小值為______.【答案】【解析】根據(jù)條件：,,又,.又,,三點(diǎn)共線,.,,.的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基底向量與向量的共線定理性質(zhì)運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于中等題型.24．【2020天津高三二模】在平行四邊形中，已知，，，若，，則_______.【答案】【解析】由題意，如圖所示，設(shè)，則，又由，，所以為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，則，，所以．故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．25．【2020·河北省衡水中學(xué)高三月考】已知的一內(nèi)角，，，為所在平面上一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為__________.【答案】【解析】因?yàn)?/span>可知O為三角形ABC的外心所以而，且即化簡(jiǎn)得，解得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了向量線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到各向量間的關(guān)系，屬于難題．

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