?重難點(diǎn)06兩種數(shù)列最值求法（核心考點(diǎn)講與練）
能力拓展

題型一：單調(diào)性法求數(shù)列最值

一、單選題
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則數(shù)列（???????）
A．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng) B．有最小項(xiàng)，無最大項(xiàng)
C．既無最大項(xiàng)，又無最小項(xiàng) D．既有最大項(xiàng)，又有最小項(xiàng)
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng) ,公差列方程,可得和,進(jìn)而可得,通項(xiàng),進(jìn)而根據(jù)的單調(diào)性,即可得最值.
【詳解】等差數(shù)列的首項(xiàng)為 ,公差為, 由得 ,故

當(dāng)時, 單調(diào)遞減,故,且
當(dāng)時, 單調(diào)遞減,故,且
故有最大值為2,最小值為
故選:D
2．（2022·北京·二模）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的首項(xiàng)均為－3，且，，則數(shù)列（???????）
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
【答案】A
【分析】求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出，確定數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)都是正數(shù)，然后設(shè)，用作差法得出的單調(diào)性，從而可得數(shù)列的最值．
【詳解】，，則，，
，，，，，
，顯然奇數(shù)項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)都是正數(shù)，
設(shè)，
則，
，即時，，，
時，，，即數(shù)列，從到遞增，從往后遞減，
由于中奇數(shù)項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)都是正數(shù)，
所以中，最大，
又，，所以是最小項(xiàng)．
故選：A．
3．（2022·安徽·蕪湖一中三模（文））已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，且，正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，且，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的最大項(xiàng)的值為（???????）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】先求出，的得到，再求出，從而得出，然后分析出數(shù)列的單調(diào)性，得出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公比為，由，則
即，故，則
則
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，則
所以，解得，則
，設(shè)，則
當(dāng)時，，即
當(dāng)時，，即
所以最大.
故選：C
4．（2022·廣東·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，當(dāng)最大時，的值為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先令，兩邊取對數(shù)，再分析的最值即可求解.
【詳解】令，兩邊取對數(shù)，有，
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以時，取到最大值，從而有最大值，
因此，對于，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
而，因此，當(dāng)最大時，.
故選：B
二、多選題
5．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．
B．
C．
D．滿足的n的最大值為2020
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，對化簡后得到結(jié)果；B選項(xiàng)，對通項(xiàng)公式分離常數(shù)后利用裂項(xiàng)相消法求和；C選項(xiàng)，是單調(diào)遞減數(shù)列，故；D選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解即可..
【詳解】，故A正確；
因?yàn)椋?br /> 所以，故B錯誤；
因?yàn)?，所以，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，故C正確；
因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，且，，所以滿足的n的最大值為2020，故D正確．
故選：ACD
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（???????）
A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減
C．當(dāng)時，最大 D．當(dāng)時，最小
【答案】BC
【分析】由等比數(shù)列基本量求得等比數(shù)列的公比，由可得數(shù)列的增減性，然后由判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得到的最值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，
等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，
，，數(shù)列單調(diào)遞減；
，，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
數(shù)列中，從到遞增，從開始遞減，時，數(shù)列中最大.
故選：BC
7．（2021·河北·高三階段練習(xí)）已知，分別是等差數(shù)列的公差及前項(xiàng)和，，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．滿足的最小值為 B．
C． D．時，取得最小值
【答案】AC
【分析】由已知可得，，，公差，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷A；由可判斷B；作差結(jié)合可判斷C；由的單調(diào)性以及的符號即可求出的最小值可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】由題意知：，，，
選項(xiàng)A中：，，所以滿足的最小值為，故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B中：，即，故選項(xiàng)B錯誤；
選項(xiàng)C中：由，可知公差，
則
所以，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D中：當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，；，，當(dāng)時，，
所以，；當(dāng)時，，
，
所以，所以當(dāng)時，取得最小值，故選項(xiàng)D不正確，
故選：AC.
8．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在（）中，內(nèi)角的對邊分別為，的面積為，若，，，且，，則（???????）
A．一定是直角三角形 B．為遞增數(shù)列
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ABD
【解析】先結(jié)合已知條件得到，進(jìn)而得到，得A正確，再利用面積公式得到遞推關(guān)系，通過作差法判定數(shù)列單調(diào)性和最值即可.
【詳解】由，得，，故，
又，，，故一定是直角三角形，A正確；
的面積為，而，
故，
故，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
，又由，知不是恒成立，即，故，故為遞增數(shù)列，有最小值，無最大值，故BD正確，C錯誤.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系得到，進(jìn)而得到，再逐步突破.數(shù)列單調(diào)性常用作差法判定，也可以借助于函數(shù)單調(diào)性判斷.
9．（2021·江蘇·鹽城中學(xué)一模）對于數(shù)列，若存在數(shù)列滿足（），則稱數(shù)列是的“倒差數(shù)列”，下列關(guān)于“倒差數(shù)列”描述正確的是（???????）
A．若數(shù)列是單增數(shù)列，但其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列；
B．若，則其“倒差數(shù)列”有最大值；
C．若，則其“倒差數(shù)列”有最小值；
D．若，則其“倒差數(shù)列”有最大值.
【答案】ACD
【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行判斷．
【詳解】A．若數(shù)列是單增數(shù)列，則，
雖然有，但當(dāng)時，，因此不一定是單增數(shù)列，A正確；
B．，則，易知是遞增數(shù)列，無最大值，B錯；
C．，則，易知是遞增數(shù)列，有最小值，最小值為，C正確；
D．若，則，
首先函數(shù)在上是增函數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)時，，∴，
當(dāng)為奇數(shù)時，，顯然是遞減的，因此也是遞減的，
即，∴的奇數(shù)項(xiàng)中有最大值為，
∴是數(shù)列中的最大值．D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義，解題關(guān)鍵正確理解新定義，把問題轉(zhuǎn)化為利用數(shù)列的單調(diào)性求最值．
三、填空題
10．（2022·上海徐匯·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，．設(shè)在區(qū)間上的最小值為．若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用換元法，分別求出當(dāng)，，時，的解析式，進(jìn)而求出，然后，得到存在，使得有解，則有有解，進(jìn)而必有，進(jìn)而求出,即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，
，令，則，所以，當(dāng)時，有，所以，當(dāng)時，，
，令，則，，有
，所以，當(dāng)時，，同理可得，時，，根據(jù)規(guī)律，明顯可見當(dāng)，，且此時的必為增函數(shù)，又因?yàn)闉樵趨^(qū)間上的最小值，所以，
，所以，若存在，使得有解，則有有解，進(jìn)而必有，根據(jù)該函數(shù)的特性，明顯可見，當(dāng)時，有，所以，此時有
故答案為：
11．（2022·浙江臺州·二模）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為___________.（用數(shù)字作答）
【答案】1
【分析】由等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)可判定該數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前和公式，可判定數(shù)列為遞減數(shù)列，進(jìn)而可得到該數(shù)列的最大項(xiàng).
【詳解】由題，等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，，
且，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
又，
所以，
即是遞減數(shù)列，
所以當(dāng)時，得到數(shù)列的最大項(xiàng)為，
故答案為：1
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}對任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實(shí)數(shù)λ的最大值為____.
【答案】7
【分析】先求出的通項(xiàng)公式，然后參變分離轉(zhuǎn)化為求最值
【詳解】令m=1，則an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，所以an=n，
所以λan ≤+12?λn≤n2+12?λ≤n+，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)或時，
所以
故答案為：7
13．（2022·天津市新華中學(xué)高三期末）在數(shù)列中，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)的________ .
【答案】6或
【分析】利用作商法判斷數(shù)列的單調(diào)性即可求出其最大項(xiàng).
【詳解】，
令，解得，
即時，，
當(dāng)時，，
所以或最大，
所以或.
故答案為：6或7.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，則Sn－的最大值與最小值的積為________.
【答案】－
【分析】先計算出公比，求出Sn，分奇偶性討論得出Sn－的最大值與最小值，即可求解.
【詳解】因?yàn)閍n＋2an＋1＝0，所以，
所以等比數(shù)列{an}的公比為，
因?yàn)閍1＝，
所以Sn＝.
①當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝，Sn隨著n的增大而減小，則1＜Sn≤S1＝，又Sn－隨著Sn的增大而增大，故0＜Sn－≤；
②當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝，Sn隨著n的增大而增大，則＝S2≤Sn＜1，又Sn－隨著Sn的增大而增大，故≤Sn－＜0.
綜上，Sn－的最大值與最小值分別為，.
故Sn－的最大值與最小值的積為.
故答案為：－.
15．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則的最大值為________．
【答案】
【分析】令，分為奇偶性，分別求出，通過判斷的單調(diào)性可求出其最大值
【詳解】令，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以當(dāng)為奇數(shù)時，數(shù)列為遞減數(shù)列，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，最大，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)增大時，在減小，
所以為偶數(shù)時，最大，，
因?yàn)椋?br /> 所以數(shù)列的最大值為，
故答案為：
16．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，則的最大值為__________.
【答案】
【分析】由題意求出，再求出，令，求出的單調(diào)性即可求出的最大值.
【詳解】由題意知，則，則，
，
令，則
.
由，易得當(dāng)時，，
所以；當(dāng)時，，
所以…，
故的最大值為，
即當(dāng)時，取得最大值，為.
故答案為 : .
四、解答題
17．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用即項(xiàng)與和的關(guān)系方法求得，再利用求得；
（2）再由定義求得，并利用作差法得出是遞減的，從而易得最大值．
(1)∵①，∴②，
由①②可得，由①也滿足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
(2)由（1）可知，則，
記，
∴，
∴，
∴，即單調(diào)遞減，
∴的最大值為．
18．（2022·天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）利用與的關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法和錯位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，再將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題即可求解.
(1)由題意,當(dāng) 時，,
當(dāng) 時， ，
所以， 即 ，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)，
由 (1)，得當(dāng)為偶數(shù)時，，
當(dāng)為奇數(shù)時， ，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，
所以，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為，
，
由兩，得
，
整理得
故，，
.
不等式對一切恒成立, 即不等式對一切恒成立,
在上是單調(diào)增
所以，易知在上為遞增數(shù)列，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
當(dāng)為奇數(shù)時, ， 解得，
所以的取值范圍為.
19．（2022·天津·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求的前項(xiàng)和取最小值時的值；
(3)證明：
【答案】(1)(2)或(3)證明見解析
【分析】（1）利用遞推關(guān)系，當(dāng)時，，兩式相減得，再用構(gòu)造法得：，即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）先求出的通項(xiàng)公式，由二次函數(shù)求最值即可求出答案.
（3）對進(jìn)行放縮得：，再求的前項(xiàng)和即可證明此題.
因?yàn)椋?
時，，
時，②
①-②得，所以，，
所以數(shù)列是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
故
(2)，所以，
于是當(dāng)時，；；當(dāng)時，.所以當(dāng)或時，取最小值.
(3)．故
20．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）分析數(shù)列的單調(diào)性，確定的符號，由此可求得的最小值.
(1)解：因?yàn)?，則，且，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
(2)解：由（1）知，，則.
所以，，
所以，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，
，，，，，，
故當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以，的最小值為.
21．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【分析】（1）利用關(guān)系可得，即有，將兩式相減并整理有，即可證結(jié)論.
（2）由（1）結(jié)論及題設(shè)可得，令、，應(yīng)用作差法比較它們的大小，即可確定的單調(diào)性并求其最大值，結(jié)合恒成立求m的取值范圍．
(1)由題設(shè)，，則，
所以，整理得，則，
所以，即，，
所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，得證.
(2)由，可得，又，結(jié)合（1）結(jié)論知：公差，
所以，故，則，
所以，且，
所以，即，
所以，在且上遞減，則，
要使對任意恒成立，即，
所以.
題型二：不等法求數(shù)列最值
一、單選題
1．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知曲線在點(diǎn)處的切線為l，數(shù)列的首項(xiàng)為1，點(diǎn)為切線l上一點(diǎn)，則數(shù)列中的最小項(xiàng)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，則，從而求出的通項(xiàng)公式，再構(gòu)造不等式組求出數(shù)列中的最小項(xiàng)；
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.
所以切線l的方程為.
所以.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.
所以.
所以由，解得.
因?yàn)椋?
所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為.
故選：C.
2．（2021·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，若，且存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，令，進(jìn)而證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故可得，，在結(jié)合題意將問題轉(zhuǎn)化為，再求數(shù)列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.
【詳解】，．
令，

，
又，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，即，
，
∵存在，使得成立，
．
令得則，，
或．，
，即，解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
3．（2021·浙江·高三期中）已知數(shù)列滿足，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意化簡可得，根據(jù)，利用累加法可得；根據(jù)，利用累加法計算化簡可得，進(jìn)而得出，令計算即可.
【詳解】解：顯然，對任意，．，
化簡可得，所以，則，
累加可得，所以．
又，所以，
則
，
注意到，
所以，則，
所以．綜上．
當(dāng)時，，即.
故選：B
4．（2020·江西·鷹潭一中高三期中（文））數(shù)列通項(xiàng)公式為：，則中的最大項(xiàng)為（???????）
A．第1項(xiàng) B．第1010項(xiàng) C．第1011項(xiàng) D．第1012項(xiàng)
【答案】B
【分析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以．由得，從而求得結(jié)果.
【詳解】解：依題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以．
由，即且，，解得，
故最大項(xiàng)為第1010項(xiàng)，
故選：B．
二、多選題
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1) n，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)可以是（???????）
A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)
C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)
【答案】AB
【分析】假設(shè)an最大，則有解不等式組，可求出的范圍，從而可得答案
【詳解】假設(shè)an最大，則有即且，
所以，即6≤n≤7，所以最大項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．
故選：AB
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，下列命題正確的有（???????）
A．當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列
B．當(dāng)時，數(shù)列一定有最大項(xiàng)
C．當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列
D．當(dāng)為正整數(shù)時，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)
【答案】BCD
【分析】分別代入和計算判斷AB選項(xiàng)；再利用放縮法計算判斷C選項(xiàng)；按k的范圍分類，可判斷D；
【詳解】當(dāng)時，，知A錯誤；
當(dāng)時，，當(dāng)，，，，
所以可判斷一定有最大項(xiàng)，B正確；
當(dāng)時，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，C正確；
當(dāng)為正整數(shù)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，令，
解得，則，當(dāng)時，，
結(jié)合B，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)，故D正確；
故選：BCD.
7．（2020·河北·滄州市民族中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，著不等式對任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的為（???????）
A． B．
C．的最大值為 D．的最小值為
【答案】ABC
【分析】先用兩式相減的方法消去，求出，判斷A選項(xiàng)；再代入已知求出，判斷B選項(xiàng)；然后將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，最后利用數(shù)列的單調(diào)性，求出最值即可判斷C，D選項(xiàng).
【詳解】依題意得當(dāng)時，，
由于，解得；
當(dāng)時，，因此有：；
整理得：，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
因此，故A正確；
，故B正確；
由得：，
令，則取2時，取最小值，所以
①當(dāng)為偶數(shù)時，，，
②當(dāng)為奇數(shù)時，，
，，
故C正確，D錯誤.
所以A、B、C正確；D錯誤.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求，利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，此時一定要注意分類討論.
（2）數(shù)列與不等式的恒成立問題常用構(gòu)造函數(shù)的方式，通過函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題，注意只能取正整數(shù).
三、填空題
8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知數(shù)列滿足，，若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得，由參變量分離法可得出，利用數(shù)列的單調(diào)性求得數(shù)列的最大項(xiàng)的值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時，在等式兩邊同時除以可得且，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，，
因?yàn)閷θ我夂愠闪?，即?br /> 令，則.
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時， ，即.
故數(shù)列中的最大項(xiàng)為，，解得.
故答案為：.
9．（2021·湖北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且滿足，則當(dāng)取得最小值時，___________.
【答案】5
【分析】首先根據(jù)得到，令得到，從而得到，再求當(dāng)取得最小值時的值即可.
【詳解】由題意，
可得，.
令，則，即是常數(shù)列，
所以，故.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故當(dāng)時，取得最小值.
故答案為：5
四、解答題
10．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）當(dāng)時，有，兩式作商求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得到，結(jié)合乘公比錯位相減法求得，進(jìn)而求得，再根據(jù)的單調(diào)性，即可求解.
(1)解：數(shù)列滿足，且，
當(dāng)時，有，
兩式作商，可得，
又由，得.
(2)解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以對任意的，均有，
則，
可得②，
兩式相減可得，
求得，
由，可得，
令，則，
因?yàn)椋?，即隨著增大，減小，
所以．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，
(1)求的值；
(2)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(3)令，，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)已知條件，分別取n＝1，2，3即可依次算出；
(2)用作差法求出的通項(xiàng)公式，再求其前n項(xiàng)和；
(3)求，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明；用導(dǎo)數(shù)證明，令，得，用這個不等式對放縮即可得證.
(1)依題，
；
(2)依題當(dāng)時，，
，又也適合此式，
，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故；
(3)，，
，
，
，
猜想：???①
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(i)當(dāng)n＝1，2時，已證明①成立；
(ii)假設(shè)當(dāng)時，①成立，即.
從而
.
故①成立.
先證不等式???②
令，
則.
，即②成立.
在②中令，得到???③
當(dāng)時，；
當(dāng)時，由①及③得：



.
證明完畢.
【點(diǎn)睛】本題是數(shù)列的綜合性大題，關(guān)鍵是猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；根據(jù)結(jié)論構(gòu)造不等式，令，得，然后用這個不等式對放縮.
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的正整數(shù)的最小值．
【答案】(1)；(2)5.
【分析】（1）由已知條件求得，，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組求基本量，寫出等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可.
（2）由（1）得，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，由求的范圍，即可確定正整數(shù)的最小值．
(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，又，，且是遞增的等比數(shù)列，
∴，，則，解得，
∴；
(2)設(shè)，由（1）知：，
∴，
由，得：，解得或，
∴使成立的正整數(shù)的最小值為5．
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，.
（1）求，，的的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【分析】（1）在已知等式中，令n=1求得a1,令n=2求得a2,令n=3,求得a3;
（2）根據(jù)一般數(shù)列和與項(xiàng)的關(guān)系，利用作差法消去和，得到項(xiàng)的遞推關(guān)系，分解因式化簡得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；
（3）令，利用作差法研究其單調(diào)性，求得最大值，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】解：（1）令得，故
令得，
又，故，
令，得，
又，故；
（2），
當(dāng)時相減整理得，
∴，
∴，，
∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
故；
（3）由恒成立，
令，
，n = 1時為正，n ≥ 2時為負(fù).

的最大值為，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
14．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，在等差數(shù)列中，，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本題首先可通過得出，然后根據(jù)得出，最后根據(jù)等比數(shù)列定義即可得出結(jié)果；
（2）本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得出，然后根據(jù)得出、，再然后得出，最后將其分為、、三種情況進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
，即，，
當(dāng)時，，解得，
則數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，.
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則即，，
因?yàn)?，所以，，?br /> 則，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，
故當(dāng)或時，最大，.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意可得當(dāng)時與已知條件兩式相減，即可得，再檢驗(yàn)是否滿足即可.
（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，由不等式分離出，轉(zhuǎn)化為最值問題，再利用基本不等式求最值即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br /> 所以
兩式相減可得：
所以，
當(dāng)時，滿足，
所以，
（2），
由可得：，
所以，
令，只需.

，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，此時，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16．（2021·河南洛陽·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的，都滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的最小項(xiàng)的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；
（2）利用商比法判斷數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：（1）∵，
∴當(dāng)時，．
兩式相減，得：．
又，∴是以2為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴，
（2）∵，易于知，，
∴，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又，，，
∴當(dāng)時，有最小值．



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