?
2023 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷） 理科數(shù)學(xué)
一、選擇題



1. 設(shè)
z = 2 + i

1+ i2 + i5 ，則 z = （ ）



A 1- 2i
B. 1+ 2i
C. 2 - i
D. 2 + i


2. 設(shè)集合U = R ，集合 M = {x x < 1} ， N = {x -1 < x < 2}，則{x x 3 2} = （ ）


A. eU (M U N )
C. eU (M I N )
B. N U eU M
D. M è eU N


3. 如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為 1，則該零件的表面積為（ ）
A. 24 B. 26 C. 28 D. 30


4. 已知 f (x) =
xex


eax -1
是偶函數(shù)，則 a = （ ）



A. -2
B. -1
C. 1 D. 2

5. 設(shè) O 為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域{( x, y ) 1 ￡ x2 + y 2 ￡ 4} 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為 A，則直線 OA
π

的傾斜角不大于

1
A.
8
的概率為（ ）
4
1 1
B. C.
6 4



D. 1 2

6. 已知函數(shù) f (x) = sin(wx +j) 在區(qū)間? π , 2π ? 單調(diào)遞增，直線 x = π 和 x = 2π 為函數(shù) y = f ( x) 的圖像的
? 6 3 ÷ 6 3
è ?

兩條對(duì)稱軸，則 f ? - 5π ? = （ ）
? 12 ÷
è ?



3
A. - B. - 1
2 2

C. 1 2
D. 2


7. 甲乙兩位同學(xué)從 6 種課外讀物中各自選讀 2 種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有 1 種相同的選法共有
（ ）

A. 30 種 B. 60 種 C. 120 種 D. 240 種


3
8. 已知圓錐 PO 的底面半徑為
，O 為底面圓心，PA，PB 為圓錐的母線， DAOB = 120° ，若VPAB 的面

積等于 9 3 ，則該圓錐的體積為（ ）
4
B. 6p
A. p


C. 3p D. 3 6p


9. 已知VABC 為等腰直角三角形，AB 為斜邊，△ABD 為等邊三角形，若二面角C - AB - D 為150° ，則直線 CD 與平面 ABC 所成角的正切值為（ ）


A. 1 B. 2
5 5
C. 3 D. 2
5 5

10. 已知等差數(shù)列{a }的公差為 2p，集合 S = {cosa n ? N*}，若 S = {a,b} ，則 ab = （ ）

n 3
A －1 B. - 1
2
n

C. 0 D. 1
2

2 y2
11. 設(shè) A，B 為雙曲線 x - = 1 上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段 AB 中點(diǎn)的是（ ）
9

A. (1,1)
B. (-1, 2)
C. (1, 3)
D. (-1, -4)

2
12. 已知eO 的半徑為 1，直線 PA 與eO 相切于點(diǎn) A，直線 PB 與eO 交于 B，C 兩點(diǎn)，D 為 BC 的中點(diǎn)， 若 PO = ，則 PA× PD 的最大值為（ ）

A. 1+ 2
2
B. 1+ 2 2
2


2
2
C. 1+ D. 2 +
二、填空題
13. 已知點(diǎn) A(1, 5 ) 在拋物線 C： y2 = 2 px 上，則 A 到 C 的準(zhǔn)線的距離為 .
?
ìx - 3y ￡ -1
14. 若 x，y 滿足約束條件í x + 2 y ￡ 9 ，則 z = 2x - y 的最大值為 .
?
? 3x + y 3 7
15. 已知{an}為等比數(shù)列， a2a4a5 = a3a6 ， a9a10 = -8 ，則 a7 = .

16. 設(shè) a ?(0,1) ，若函數(shù) f ( x) = ax + (1+ a )x 在(0, +￥) 上單調(diào)遞增，則 a 的取值范圍是 .
三、解答題
試驗(yàn)序號(hào)i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率 xi

545

533

551

522

575

544

541

568

596

548
伸縮率 yi

536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

17. 某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行 10 次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為 xi ， yi (i = 1, 2,×××,10) ．試驗(yàn)結(jié)果如下：




記 zi = xi - yi (i = 1, 2,×××,10) ，記 z1, z2,× × ×, z10 的樣本平均數(shù)為 z ，樣本方差為 s2 ．
（1） 求 z ， s2 ；
（2） 判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果




z 3 2
，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否



s2
10
則不認(rèn)為有顯著提高）
18. 在VABC 中，已知DBAC = 120° ， AB = 2 ， AC = 1 .
（1） 求sin DABC ；
（2） 若 D 為 BC 上一點(diǎn)，且DBAD = 90° ，求△ADC 的面積.
2
19. 如圖，在三棱錐 P - ABC 中， AB ^BC ， AB = 2 ， BC = 2






， PB = PC =






6 ，BP，AP，BC 的


中點(diǎn)分別為 D，E，O， AD = 5DO ，點(diǎn) F 在 AC 上， BF ^ AO .


（1） 證明： EF / / 平面 ADO ；
（2） 證明：平面 ADO ^平面 BEF；

（3） 求二面角 D - AO - C 的正弦值.



20. 已知橢圓
y2 + x2 =

?
> > 的離心率是
，點(diǎn) A(-2, 0) 在 上．

5
C : 1(a
b
0)
C
a2 b2 3
（1） 求C 的方程；
（2） 過點(diǎn)(-2,3) 的直線交C 于 P, Q 兩點(diǎn)，直線 AP, AQ 與 y 軸的交點(diǎn)分別為 M , N ，證明：線段 MN 的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
21. 已知函數(shù) f (x) = ? 1 + a ? ln(1+ x) .
? x ÷
è ?
（1） 當(dāng)a = -1 時(shí)，求曲線 y = f ( x) 在點(diǎn)(1, f (1)) 處的切線方程；
? x ÷
（2） 是否存在 a，b，使得曲線 y = f ? 1 ? 關(guān)于直線x = b 對(duì)稱，若存在，求 a，b 的值，若不存在，說明理
è ?

由.
（3） 若 f ( x ) 在(0, +￥) 存在極值，求 a 的取值范圍.
四、選做題
【選修 4-4】（10 分）
22. 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1 的極坐標(biāo)方程


為r= 2sinq? π ￡q￡ π ?

?
，曲線C ： ìx = 2 cosa
a為參數(shù)， p < a< p ）.


? ÷ 2
4 2
è ?
í y = 2 sina（ 2

?
（1） 寫出C1 的直角坐標(biāo)方程；

（2） 若直線 y = x + m 既與C1 沒有公共點(diǎn)，也與C2 沒有公共點(diǎn)，求m 的取值范圍.
【選修 4-5】（10 分）
23. 已知 f ( x) = 2 x + x - 2 .
（1） 求不等式 f ( x) ￡ 6 - x 的解集；


íx + y - 6 ￡ 0
（2） 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，求不等式組ì f (x) ￡ y
?

所確定的平面區(qū)域的面積.


2023 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷） 理科數(shù)學(xué)
一、選擇題



1. 設(shè)
z = 2 + i

1+ i2 + i5 ，則 z = （ ）



A. 1- 2i
【答案】B
B. 1+ 2i
C. 2 - i
D. 2 + i


【解析】

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù) z 的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.
2 + i 2 + i i (2 + i) 2i -1
【詳解】由題意可得 z = = = = = 1- 2i ，



則z =

1 + 2i.
1+ i2 + i5
1-1+ i i2 -1

故選：B.
2. 設(shè)集合U = R ，集合 M = {x x < 1} ， N = {x -1 < x < 2}，則{x x 3 2} = （ ）


A. eU (M U N )
C. eU (M I N )
B. N U eU M
D. M è eU N


【答案】A
【解析】
【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x | x 3 2} 即可.
【詳解】由題意可得 M U N = {x | x < 2} ，則eU (M U N ) = {x | x 3 2} ，選項(xiàng) A 正確；
eU M = {x | x 3 1} ，則 N U eU M = {x | x > -1} ，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
M I N = {x | -1 < x < 1} ，則eU (M ? N ) = {x | x ￡ -1或 x 3 1}，選項(xiàng) C 錯(cuò)誤； eU N = {x | x ￡ -1或 x 3 2}，則 M U eU N = {x | x < 1或 x 3 2}，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤； 故選：A.
3. 如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為 1，則該零件的表面積為（ ）



A. 24 B. 26 C. 28 D. 30

【答案】D
【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = BC = 2 ， AA1 = 3 ，
點(diǎn) H , I , J , K 為所在棱上靠近點(diǎn) B1,C1, D1, A1 的三等分點(diǎn)， O, L, M , N 為所在棱的中點(diǎn)，

則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長方體 ABCD - A1B1C1D1 去掉長方體ONIC1 - LMHB1 之后所得的幾何體，

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少 2 個(gè)邊長為 1 的正方形， 其表面積為： 2 ′(2 ′ 2) + 4 ′ (2 ′ 3)- 2 ′ (1′1) = 30 .

故選：D.

4. 已知 f (x) =

xex


eax -1


是偶函數(shù)，則 a = （ ）



A. -2
B. -1
C. 1 D. 2


【答案】D
【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.


-1 ax -ax ax
xex



xex
(-x) e- x
x éex - e(a-1)x ù

【詳解】因?yàn)?f ( x ) =
eax


為偶函數(shù)，則 f ( x ) - f (-x ) = - = ? ? = 0 ，
e -1 e -1 e -1


又因?yàn)?x 不恒為 0，可得ex - e(a-1)x = 0 ，即ex = e(a-1)x ， 則 x = (a -1) x ，即1 = a - 1 ，解得a = 2 .
故選：D.
5. 設(shè) O 為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域{( x, y ) 1 ￡ x2 + y 2 ￡ 4} 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為 A，則直線 OA
π

的傾斜角不大于

1
A.
8
【答案】C
【解析】
的概率為（ ）
4
1 1
B. C.
6 4



D. 1 2


【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)閰^(qū)域{( x, y) |1 ￡ x2 + y2 ￡ 4} 表示以O(shè) (0, 0) 圓心，外圓半徑 R = 2 ，內(nèi)圓半徑r = 1 的圓環(huán)， 則直線OA 的傾斜角不大于 π 的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角DMON = π ，
4 4
2 ′ π
結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率 P = 4 = 1 .
2π 4
故選：C.


6. 已知函數(shù) f (x) = sin(wx +j) 在區(qū)間? π , 2π ? 單調(diào)遞增，直線 x = π 和 x = 2π 為函數(shù) y = f ( x) 的圖像的
? 6 3 ÷ 6 3
è ?

兩條對(duì)稱軸，則 f ? - 5π ? = （ ）
? 12 ÷

è ?

3
A. - B. - 1
2 2




C. 1 2


D. 3 2


【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入 x = - 5π 即可得到答案.
12
【詳解】因?yàn)?f (x) = sin(wx +j) 在區(qū)間? π , 2π ? 單調(diào)遞增，
? 6 3 ÷
è ?
所以 T = 2π - π = π ，且w> 0 ，則T = π ， w = 2π = 2 ，
2 3 6 2 T
當(dāng) x = π 時(shí)， f ( x ) 取得最小值，則 2 × π +j= 2kπ - π ， k ? Z ，
6 6 2

5π f x = ?


5π ?


則j= 2kπ -
6
， k ? Z ，不妨取 k = 0 ，則 ( )
sin ? 2x -
6 ÷ ，

è ?

則 f ? - 5π ? = sin? - 5π ? = 3 ，
? 12 ÷ ? 3 ÷ 2
è ? è ?

故選：D.

7. 甲乙兩位同學(xué)從 6 種課外讀物中各自選讀 2 種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有 1 種相同的選法共有
（ ）

A. 30 種 B. 60 種 C. 120 種 D. 240 種

【答案】C
【解析】

【分析】相同讀物有 6 種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

6
【詳解】首先確定相同得讀物，共有C1 種情況，

5
6 5
然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的 5 種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A2 種， 根據(jù)分步乘法公式則共有C1 ×A2 = 120 種，
故選：C.


3
8. 已知圓錐 PO 的底面半徑為
，O 為底面圓心，PA，PB 為圓錐的母線， DAOB = 120° ，若VPAB 的面

積等于 9 3 ，則該圓錐的體積為（ ）
4
B. 6p
A. p


C. 3p D. 3 6p


【答案】B
【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.


3
【 詳解】 在 VAOB 中， DAOB = 120o ， 而 OA = OB = ， 取 AC 中點(diǎn) C ， 連接 OC, PC ， 有

OC ^ AB, PC ^ AB ，如圖，


∠ABO = 30o ， OC = 3 , AB = 2BC = 3，由VPAB 的面積為 9 3 ，得 1 ′ 3′ PC = 9 3 ，

2

PC 2 - OC 2
解得 PC = 3 3 ，于是 PO = =
2
4 2 4

(3
2
3 )2 - (
3 )2
2
6
= ，

所以圓錐的體積V = 1 π′ OA2 ′ PO = 1 π′ ( 3)2 ′ 6 =
3 3

6π .

故選：B
9. 已知VABC 為等腰直角三角形，AB 為斜邊，△ABD 為等邊三角形，若二面角C - AB - D 為150° ，則直線 CD 與平面 ABC 所成角的正切值為（ ）


A. 1 B. 2
5 5
C. 3 D. 2
5 5


【答案】C
【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取 AB 的中點(diǎn) E ，連接CE, DE ，因?yàn)?VABC 是等腰直角三角形，且 AB 為斜邊，則有CE ^AB ， 又△ABD 是等邊三角形，則 DE ^AB ，從而DCED 為二面角C - AB - D 的平面角，即DCED = 150o ，


顯然CE ? DE = E, CE, DE ì 平面CDE ，于是 AB ^平面CDE ，又 AB ì平面 ABC ， 因此平面CDE ^ 平面 ABC ，顯然平面CDE ? 平面 ABC = CE ，
直線CD ì 平面CDE ，則直線CD 在平面 ABC 內(nèi)的射影為直線CE ，
3
從而DDCE 為直線CD 與平面 ABC 所成的角，令 AB = 2 ，則CE = 1, DE = ，在VCDE 中，由余弦


定理得：


CE 2 + DE 2 - 2CE × DE cos DCED
CD =


1+ 3 - 2 ′1′ 3 ′ (-
3 )
2
= = 7 ，




由正弦定理得
DE


sin DDCE
CD


=
sin DCED
，即sin DDCE = = ，


3 sin150o
7
3
2 7
1 - sin 2 DDCE
1 - (
3 ) 2
2 7
5
2 7
顯然DDCE 是銳角， cos DDCE = = = ，

所以直線CD 與平面 ABC 所成的角的正切為 3 .
5

故選：C
10. 已知等差數(shù)列{a } 的公差為 2p，集合 S = {cosa n ? N*}，若 S = {a,b} ，則 ab = （ ）

n 3
A. －1 B. - 1
2
【答案】B
【解析】
n

C. 0 D. 1
2


【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理


作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列{a } 中， a = a + (n -1) × 2π = 2π n + (a


- 2π) ，


n n 1
3 3 1 3

顯然函數(shù) y = cos[ 2π n + (a - 2π)] 的周期為 3 ， 而 n?N* ， 即 cos a 最多 3 個(gè)不同取值， 又

3 1 3 n
n
{cos a | n ? N*} ={a, b} ，

則在cos a1 , cos a2 , cos a3 中， cos a1 = cos a2 1 cos a3 或cos a1 1 cos a2 = cos a3 ，
于是有cosq= cos(q+ 2π) ，即有q+ (q+ 2π) = 2kπ, k ? Z ，解得q= kπ - π , k ? Z ，
3 3 3
所以k?Z ， ab = cos(kπ - π) cos[(kπ- π) + 4π] = - cos(k π- π) cosk π= - cos2k π cos π= - 1 .


故選：B
3 3 3 3 3 2



2 y2
11. 設(shè) A，B 為雙曲線 x - = 1 上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段 AB 中點(diǎn)的是（ ）
9

A. (1,1)
B. (-1, 2)
C. (1, 3)
D. (-1, -4)


【答案】D
【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得 kAB × k = 9 ，對(duì)于 A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷； 對(duì)于 C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè) A( x , y ), B (x , y
) ，則 AB 的中點(diǎn) M ? x1 + x2 , y1 + y2 ? ，



1 1 2 2
? 2 2 ÷




可得 k
è ?
y1 + y2


= y1 - y2 ,k = 2 = y1 + y2 ，


AB x - x
x + x
x + x

1 2 1 2 1 2
2
ì 2 y2
2 2
?x1 - 1 = 1

因?yàn)?A, B 在雙曲線上，則í 9 ，兩式相減得( x2 - x2 ) - y1 - y2
= 0 ，

? 2 y
2
x - 2 = 1

1 2 9



y2 - y2
所以 kAB × k = 1 2
1 2
x2 - x2
?? 2 9

= 9 .


對(duì)于選項(xiàng) A： 可得 k = 1, k AB = 9 ，則 AB : y = 9x - 8 ，
ì y = 9x - 8

?
聯(lián)立方程
y2 ，消去 y 得 2 - ′ 72x + 73 = 0 ，

íx2 - = 1


72x 2

?? 9

此時(shí)D = (-2′ 72)2 - 4′ 72′ 73 = -288 < 0 ，所以直線 AB 與雙曲線沒有交點(diǎn)，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng) B：可得 k = -2, k = - 9 ，則 AB : y = - 9 x - 5 ，

AB 2 2 2
ì y = - 9 x - 5


?
聯(lián)立方程í
? 2
2 2 ，消去 y 得45x2 + 2′ 45x + 61 = 0 ，
y2


??x
- = 1
9


此時(shí)D = (2′ 45)2 - 4′ 45′ 61 = -4′ 45′16 < 0 ，


所以直線 AB 與雙曲線沒有交點(diǎn)，故 B 錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng) C：可得 k = 3, k AB = 3 ，則 AB : y = 3x
由雙曲線方程可得 a = 1, b = 3 ，則 AB : y = 3x 為雙曲線的漸近線， 所以直線 AB 與雙曲線沒有交點(diǎn)，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng) D： k = 4, k = 9 ，則 AB : y = 9 x - 7 ，
AB 4 4 4
ì y = 9 x - 7

?
聯(lián)立方程í
? 2
4 4 ，消去 y 得63x2 +126x -193 = 0 ，
y2


??x
- = 1
9


此時(shí)D = 1262 + 4′ 63′193 > 0 ，故直線 AB 與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故 D 正確； 故選：D.
12. 已知eO 的半徑為 1，直線 PA 與eO 相切于點(diǎn) A，直線 PB 與eO 交于 B，C 兩點(diǎn)，D 為 BC 的中點(diǎn)，
2
若 PO = ，則 PA× PD 的最大值為（ ）


A. 1+ 2
2
B. 1+ 2 2
2


2
2
C. 1+ D. 2 +
【答案】A
【解析】

【 分 析 】 由 題 意 作 出 示 意 圖 ， 然 后 分 類 討 論 ， 利 用 平 面 向 量 的 數(shù) 量 積 定 義 可 得


2
? a-
p? ，或 PA× PD =
1
+
2
? a+
p?
2
è
4 ÷
2

2
è
4 ÷
?

PA× PD = 1 -
2
sin ? 2 ?
sin ? 2

然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定


PA× PD 的最大值.

2
【詳解】如圖所示， OA = 1, OP = ，則由題意可知: DAPO = 45o ，

OP 2 - OA2
由勾股定理可得 PA = = 1



當(dāng)點(diǎn) A, D 位于直線 PO 異側(cè)時(shí)，設(shè)DOPC = a, 0 ￡ a￡ p，
4

uur uuur
? p?

è ?
則： PA× PD =| PA | × | PD | cos ?a+ 4 ÷


= 1′
2 cosacos?a+ p?



? 4 ÷
è ?



= 2 cos

? 2 cosa- 2 sin ?

a?? 2 2 a÷÷
è ?
= cos2 a- sinacosa
= 1+ cos 2a- 1 sin 2a 2 2
= 1 - 2 ? p?

sin ? 2a- ÷
4
2 2 è ?
0 ￡ a￡ p ，則 p 2 p p

- ￡ a- ￡
4 4 4 4
4 4
\當(dāng) 2a- π = - π 時(shí)， PA× PD 有最大值1.

當(dāng)點(diǎn) A, D 位于直線 PO 同側(cè)時(shí)，設(shè)DOPC = a, 0 ￡ a￡ p，
4

uur uuur
? p?

è ?
則： PA× PD =| PA | × | PD | cos ?a- 4 ÷


= 1′
2 cosacos?a- p?



? 4 ÷
è ?


= 2 cos

? 2 cosa+ 2 sin ?

a?? 2 2 a÷÷
è ?
= cos2 a+ sinacosa
= 1+ cos 2a+ 1 sin 2a 2 2
= 1 + 2 ? p?

sin ? 2a+ ÷
4
2 2 è ?
0 ￡ a￡ p ，則p ￡ 2 p p

a+ ￡
4 4 4 2

\ 2 p p

?
1+ 2

當(dāng) a+ 4 = 2 時(shí)， PA× PD 有最大值 2 .

1+ 2
2
綜上可得， PA× PD 的最大值為 .

故選：A.
【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
二、填空題
13. 已知點(diǎn) A(1, 5 ) 在拋物線 C： y2 = 2 px 上，則 A 到 C 的準(zhǔn)線的距離為 .
9
【答案】
4
【解析】
【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為 x = - 5 ，最后利
4
用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A 到C 的準(zhǔn)線的距離即可.
【詳解】由題意可得： ( 5 )2 = 2 p ′1 ，則 2 p = 5 ，拋物線的方程為 y 2 = 5 x ，

準(zhǔn)線方程為 x = - 5 ，點(diǎn)A 到C 的準(zhǔn)線的距離為1- ? - 5 ? = 9 .
4 ? 4 ÷ 4


9
故答案為： .
4
è ?


ìx - 3y ￡ -1

í
14. 若 x，y 滿足約束條件? x + 2 y ￡ 9 ，則 z = 2x - y 的最大值為 .
?
? 3x + y 3 7

【答案】8


【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.
【詳解】作出可行域如下圖所示：

z = 2x - y ，移項(xiàng)得 y = 2x - z ，


ìx - 3y = -1
?
聯(lián)立有íx + 2 y = 9
ìx = 5
?
，解得í y = 2 ，


設(shè) A(5, 2) ，顯然平移直線 y = 2x 使其經(jīng)過點(diǎn)A ，此時(shí)截距-z 最小，則 z 最大， 代入得 z = 8 ，
故答案為：8.

15. 已知{an}為等比數(shù)列， a2a4a5 = a3a6 ， a9a10 = -8 ，則 a7 = .
【答案】 -2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì) a2a4a5 = a3a6 化簡(jiǎn)得 a1q = 1 ， 聯(lián)立 a9a10 = -8 求出 q3 = -2 ， 最后得

a = a q × q5 = q5 = -2 .
7 1

【詳解】設(shè){an}的公比為 q (q 1 0) ，則 a2 a4 a5 = a3a6 = a2 q × a5q ，顯然 an 1 0 ，

則 a = q2 ，即 a q3 = q2 ，則 a q = 1 ，因?yàn)?a a = -8 ，則 a q8 × a q9 = -8 ，
4 1 1 9 10 1 1
則 q15 = (q5 )3 = -8 = (-2)3 ，則 q3 = -2 ，則 a = a q × q5 = q5 = -2 ，
7 1

故答案為： -2 .
16. 設(shè) a ?(0,1) ，若函數(shù) f ( x) = ax + (1+ a )x 在(0, +￥) 上單調(diào)遞增，則 a 的取值范圍是 .
【答案】 é 5 -1 ,1?
ê 2 ÷
? ?

【解析】

( )
【分析】原問題等價(jià)于 f ￠( x) = ax ln a + (1+ a )x ln (1+ a ) 3 0 恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，


? 1 + a ? x
ln a

÷
可得? a
3 - ，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)a 的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)
ln 1 + a

è ?

數(shù)a 的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的解析式可得 f ￠( x) = ax ln a + (1+ a )x ln (1+ a ) 3 0 在區(qū)間(0, +￥) 上恒成立，


則(1+ a)x
x
? 1 + a ?
ln (1+ a) 3 -ax ln a ，即? ÷ 3 -


ln a
在區(qū)間(0, +￥) 上恒成立，


? 1+ a ?0


ln a
è a ? ln (1 + a )

故? ÷


= 1 3 -
，而 a +1?(1, 2) ，故ln (1+ a) > 0 ，

è a ?
ln (1 + a )

ìln (a +1) 3 - ln a
?
故í0 < a < 1
ìa (a +1) 3 1
即í ，故
?0 < a < 1

5 -1
2

￡ a < 1，


結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)a 的取值范圍是é 5 -1 ,1? .
ê 2 ÷
? ?
故答案為： é 5 -1 ,1? .
ê 2 ÷
? ?
三、解答題
試驗(yàn)序號(hào)i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率 xi

545

533

551

522

575

544

541

568

596

548
伸縮率 yi

536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

17. 某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行 10 次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為 xi ， yi (i = 1, 2,×××,10) ．試驗(yàn)結(jié)果如下：




記 zi = xi - yi (i = 1, 2,×××,10) ，記 z1, z2,× × ×, z10 的樣本平均數(shù)為 z ，樣本方差為 s2 ．
（1） 求 z ， s2 ；
s2
10
（2） 判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果




z 3 2
，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否


則不認(rèn)為有顯著提高）

【答案】（1） z = 11， s2 = 61 ；
（2）認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
【解析】

【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出 x, y ，再得到所有的 zi 值，最后計(jì)算出方差即可；


（2）根據(jù)公式計(jì)算出 2 的值，和 z 比較大小即可.

s2
10
【小問 1 詳解】
x = 545 + 533 + 551+ 522 + 575 + 544 + 541+ 568 + 596 + 548 = 552.3，
10
y = 536 + 527 + 543 + 530 + 560 + 533 + 522 + 550 + 576 + 536 = 541.3 ，
10
z = x - y = 552.3 - 541.3 = 11 ，


zi = xi - yi
的值分別為: 9, 6,8, -8,15,11,19,18, 20,12 ，


61
故 s
2 = (9 -11)2 + (6 -11)2 + (8 -11)2 + (-8 -11)2 + (15 -11)2 + 0 + (19 -11)2 + (18 -11)2 + ( 20- 11)2 + (12- 11)2 =
10
【小問 2 詳解】

s2
10
6.1
24.4
s2
10
由（1）知: z = 11， 2 = 2 = ，故有 z 3 2 ,

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
18. 在VABC 中，已知DBAC = 120° ， AB = 2 ， AC = 1 .
（1） 求sin DABC ；
（2） 若 D 為 BC 上一點(diǎn)，且DBAD = 90° ，求△ADC 的面積.

【答案】（1） 21 ；
14

（2） 3 .
10

【解析】

7
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長 BC 的值為 BC = ，然后由余弦定理可得cos B = 5 7 ，最后由同
14



角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin B =
21 ；
14



S△ ABD
S
(2)由題意可得
△ ACD
= 4 ，則 S△ ACD
= 1 S
5


△ABC

，據(jù)此即可求得△ADC 的面積.


【小問 1 詳解】由余弦定理可得：
BC2 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

= 4 +1- 2 ′ 2 ′1′ cos120o = 7 ，

7
5 7
a2 + c2 - b2 7 + 4 -1
2′ 2′ 7
則 BC = ， cos B = = = ，
2ac 14

sin B =
= = 21 .
1 - cos 2 B
1 - 25
28
14


【小問 2 詳解】

由三角形面積公式可得 S△ ABD
S△ ACD

1 ′ AB ′ AD ′ sin 90o
= 2 = 4 ，
1 ′ AC ′ AD ′ sin 30o
2


則 S = 1 S = 1 ′? 1 ′ 2′1′sin120o ? = 3 .

△ ACD
5 △ ABC
5 ? 2
÷ 10

è ?

2
19. 如圖，在三棱錐 P - ABC 中， AB ^BC ， AB = 2 ， BC = 2


， PB = PC =


6 ，BP，AP，BC 的


中點(diǎn)分別為 D，E，O， AD = 5DO ，點(diǎn) F 在 AC 上， BF ^ AO .


（1） 證明： EF / / 平面 ADO ；
（2） 證明：平面 ADO ^平面 BEF；
（3） 求二面角 D - AO - C 的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；


（2）證明見解析； （3） 2 .
2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF 為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2） 由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（3） 由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.


【小問 1 詳解】

DE, OF

uuur uur

1 uuur


連接 ，設(shè) AF = tAC ，則 BF = BA + AF = (1- t)BA + t BC ， AO = -BA +
BC ， BF ^ AO ，
2

uuur uuur uur uuur uur
則 BF × AO = [(1- t)BA + t BC]×(-BA +
1 uuur uur2
BC) = (t -1)BA
1 uuuur
+ t BC2 = 4(t -1) + 4t = 0 ，

2 2
解得t = 1 ，則 F 為 AC 的中點(diǎn)，由 D, E, O, F 分別為 PB, PA, BC, AC 的中點(diǎn)，
2
于是 DE / / AB, DE = 1 AB, OF / / AB, OF = 1 AB ，即 DE / /OF , DE = OF ，則四邊形ODEF 為平行四
2 2
邊形，

EF / / DO, EF = DO ，又 EF ? 平面 ADO, DO ì 平面 ADO ， 所以 EF / / 平面 ADO .




【小問 2 詳解】






由（1）可知 EF // OD ，則 AO =
6, DO =
6 ，得 AD =
2
5DO =
30 ，
2

因此OD2 + AO2 = AD2 = 15 ，則OD ^ AO ，有 EF ^ AO ，
2
又 AO ^ BF , BF I EF = F ， BF , EF ì 平面 BEF ，
則有 AO ^ 平面 BEF ，又 AO ì 平面 ADO ，所以平面 ADO ^平面BEF .
【小問 3 詳解】
過點(diǎn)O 作OH / / BF 交 AC 于點(diǎn) H ，設(shè) AD I BE = G ， 由 AO ^ BF ，得 HO ^ AO ，且 FH = 1 AH ，
3

又由（2）知， OD ^ AO ，則DDOH 為二面角 D - AO - C 的平面角，
因?yàn)?D, E 分別為 PB, PA 的中點(diǎn)，因此G 為VPAB 的重心，
即有 DG = 1 AD, GE = 1 BE ，又 FH = 1 AH ，即有 DH = 3 GF ，
3 3 3 2
6
14
4 + 3 - 15 2

cos DABD = 2 2
= 4 + 6 - PA
，解得 PA = ，同理得 BE = 6 ，

2 ′ 2 ′
6 2 ′ 2 ′
2

6
? 1 ?2
2

6
? ?2 5

于是 BE 2 + EF 2 = BF 2 = 3 ，即有 BE ^ EF ，則GF 2 = ? ′
÷ + ? ÷ = ，



從而GF =

15 ， DH = 3 ′

15 =

15 ，
è 3 2 ? è 2 ? 3

3 2 3 2

在△DOH 中， OH = 1 BF = 3 ,OD = 6 , DH = 15 ，
2 2 2 2
6 3 15
1 - ?-
2 ?
2
? 2 ÷
è
?
+ -
4 4 4 2 2

2 ′ 6 ′ 3
于是cos DDOH = = -
2 2
2 ， sin DDOH = = 2 ，

所以二面角 D - AO - C 的正弦值為 2 .
2




20. 已知橢圓
y2 + x2 =

?
> > 的離心率是
，點(diǎn) A(-2, 0) 在 上．

5
C : 1(a
b
0)
C
a2 b2 3
（1） 求C 的方程；
（2） 過點(diǎn)(-2,3) 的直線交C 于 P, Q 兩點(diǎn)，直線 AP, AQ 與 y 軸的交點(diǎn)分別為 M , N ，證明：線段 MN 的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
2
2
1
【答案】（1） y + x =
9 4


（2）證明見詳解
【解析】


【分析】（1）根據(jù)題意列式求解 a, b, c ，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線 PQ 的方程，進(jìn)而可求點(diǎn) M , N 的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證 yM + yN
2



為定值即可.

【小問 1 詳解】
ì
?b = 2


ìa = 3

由題意可得 ?a2 = b2 + c2 ，解得?b = 2 ，
í í
5
5
? c ?c =
?e = = ?


?? a
2
所以橢圓方程為 y
3

x2
+ = 1.

9 4

【小問 2 詳解】
由題意可知：直線 PQ 的斜率存在，設(shè) PQ : y = k (x + 2 ) + 3, P (x1, y1 ),Q (x2, y2 ) ，
ì y = k ( x + 2) + 3

?
聯(lián)立方程í y
2 + x2 =


，消去y 得：(4k 2 + 9) x2 + 8k (2k + 3) x +16(k 2 + 3k ) = 0 ，

1
?? 9 4
則Δ = 64k 2 (2k + 3)2 - 64(4k 2 + 9)(k 2 + 3k ) = -1728k > 0 ，解得 k < 0 ，


可得 x1 + x2 = -
8k (2k + 3)
4k 2 + 9

, x1x2 =
16 (k 2 + 3k )


，
4k 2 + 9



因?yàn)?A(-2, 0) ，則直線 AP : y =
y1 x1 + 2
(x + 2 ) ，



y = 2y1
? 2 y1 ?


令 x = 0 ，解得 x + 2 ，即 M ? 0, x
+ 2 ÷ ,

1

? 2 y2 ?


è 1 ?

同理可得 N ? 0, x
+ 2 ÷ ，


2 y1
è 2 ?

+ 2 y2



則 x1 + 2
x2 + 2 = é?k ( x1 + 2) + 3ù? + é?k (x2 + 2 )+ 3ù?

2 x1 + 2 x2 + 2

= ?ékx1 + (2k + 3)ù? ( x2 + 2) + é?kx2 + (2k + 3)ù? ( x1 + 2) = 2kx1x2 + (4k + 3)(x1 + x2 ) + 4 (2k + 3)

( x1 + 2)( x2 + 2)
x1x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4

32k (k 2 + 3k )

= 4k 2 + 9
- 8k (4k + 3)(2k + 3)
4k 2 + 9
+ 4 (2k + 3) 108
= =

16 (k 2 + 3k )

4k 2 + 9
3 ，
- 16k (2k + 3) + 4 36
4k 2 + 9

所以線段 PQ 的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0, 3) .




【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟







（1） 由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

（2） 證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)； 也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3） 得出結(jié)論．

21. 已知函數(shù) f (x) = ? 1 + a ? ln(1+ x) .
? x ÷
è ?
（1） 當(dāng)a = -1 時(shí)，求曲線 y = f ( x) 在點(diǎn)(1, f (1)) 處的切線方程；
? x ÷
（2） 是否存在 a，b，使得曲線 y = f ? 1 ? 關(guān)于直線x = b 對(duì)稱，若存在，求 a，b 的值，若不存在，說明理
è ?

由.
（3） 若 f ( x ) 在(0, +￥) 存在極值，求 a 的取值范圍.
【答案】（1） (ln 2) x + y - ln 2 = 0 ；
（2）存在 a = 1 ,b = - 1 滿足題意，理由見解析.
2 2
（3） ? 0, 1 ? .
? 2 ÷
è ?

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求


解切線方程即可；

(2) 首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)b 的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)a 的方程，解方程可得實(shí)數(shù)a 的值，最后檢驗(yàn)所得的 a, b 是否正確即可；
(3) 原問題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù) g ( x ) = ax2 + x - (x +1)ln (x +1) ，然后對(duì)函數(shù)求
導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論 a ￡ 0 ，a 3 1 和0 < a < 1 三中情況即可求得實(shí)數(shù)a 的取值
2 2
范圍.

【小問 1 詳解】

當(dāng)a = -1時(shí)， f ( x ) = ? 1 -1? ln (x + 1) ，
? x ÷
è ?

則 f ￠( x) = - 1 ′ln ( x +1) + ? 1 -1?′ 1 ，
x2 ? x ÷ x +1
è ?
據(jù)此可得 f (1) = 0, f ￠(1) = -ln 2 ，
函數(shù)在(1, f (1)) 處的切線方程為 y - 0 = - ln 2 (x -1) ， 即(ln 2) x + y - ln 2 = 0 .
【小問 2 詳解】

由函數(shù)的解析式可得 f ? 1 ? = (x + a ) ln? 1 + 1? ，
? x ÷ ? x ÷
è ? è ?
函數(shù)的定義域滿足 1 +1 = x +1 > 0 ，即函數(shù)的定義域?yàn)?-￥, -1) è(0, +￥) ，
x x
定義域關(guān)于直線 x = - 1 對(duì)稱，由題意可得b = - 1 ，
2 2
由對(duì)稱性可知 f ? - 1 + m ? = f ? - 1 - m ?? m > 1 ? ，
? 2 ÷ ? 2 ÷? 2 ÷
è ? è ?è ?
取 m = 3 可得 f (1) = f (-2) ，
2
即(a +1)ln 2 = (a - 2 )ln 1 ，則 a +1 = 2 - a ，解得 a = 1 ，
2 2
經(jīng)檢驗(yàn) a = 1 ,b = - 1 滿足題意，故 a = 1 ,b = - 1 .
2 2 2 2
即存在 a = 1 ,b = - 1 滿足題意.
2 2
【小問 3 詳解】


由函數(shù)的解析式可得 f ￠( x ) = ? - 1 ? ln (x + 1) +? 1 + a ? 1 ，

? x2 ÷ ? x
÷ x +1

è ? è ?
由 f ( x ) 在區(qū)間(0, +￥) 存在極值點(diǎn)，則 f ￠( x ) 在區(qū)間(0, +￥) 上存在變號(hào)零點(diǎn);


令? - 1 ? ln ( x + 1)+ ? 1 + a ? 1


= 0 ，

? x2 ÷ ? x
÷ x +1

è ? è ?
則-( x +1) ln ( x +1) + ( x + ax2 ) = 0 ， 令 g ( x ) = ax2 + x - (x +1)ln (x +1) ，
f ( x ) 在區(qū)間(0, +￥) 存在極值點(diǎn)，等價(jià)于 g ( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上存在變號(hào)零點(diǎn)，

g￠( x ) = 2ax - ln (x +1), g ￠(x ) = 2a -
1


x +1

當(dāng) a ￡ 0 時(shí)， g￠(x) < 0 ， g ( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上單調(diào)遞減，
此時(shí) g ( x) < g (0) = 0 ， g ( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上無零點(diǎn)，不合題意;
當(dāng) a 3 1 ， 2a 3 1時(shí)，由于 1 < 1 ，所以 g'' ( x) > 0, g￠( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上單調(diào)遞增，

2 x +1
所以 g￠( x) > g￠(0) = 0 ， g ( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上單調(diào)遞增， g ( x) > g (0) = 0 ， 所以 g ( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上無零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)0 < a < 1 時(shí)，由 g '' ( x) = 2a -
2
1


x +1
= 0 可得 x =
1 -1 ，
2a

?
當(dāng) x ?? 0, 1
2a
-1? 時(shí)， g ￠( x) < 0 ， g￠( x) 單調(diào)遞減，

÷
è ?

當(dāng) x ?? 1 -1, +￥ ? 時(shí)， g ￠( x ) > 0 ， g￠( x) 單調(diào)遞增，
? 2a ÷
è ?

故 g￠( x) 的最小值為 g￠? 1 -1? = 1- 2a + ln 2a ，
? 2a ÷
è ?
令 m ( x ) = 1- x + ln x (0 < x < 1) ，則m￠( x ) = -x + 1 > 0 ，
x
函數(shù) m ( x) 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增， m( x) < m(1) = 0 ， 據(jù)此可得1 - x + ln x < 0 恒成立，

則 g￠? 1
-1? = 1- 2a + ln 2a < 0 ，

? 2a ÷
è ?


令 h ( x ) = ln x - x 2 + x (x > 0 ) ，則 h￠( x) = -2x2 + x +1 ，
x

當(dāng) x ? (0,1) 時(shí)， h￠( x) > 0, h ( x) 單調(diào)遞增， 當(dāng) x ?(1, +￥) 時(shí)， h￠( x) < 0, h ( x)單調(diào)遞減，
故 h ( x) ￡ h (1) = 0 ，即ln x ￡ x2 - x (取等條件為 x = 1 )，
? ?
? ?
所以 g￠( x) = 2ax - ln ( x +1) > 2ax - é( x +1)2 -( x +1)ù = 2ax -(x2 + x) ， g￠(2a -1) > 2a (2a -1) - é(2a -1)2 + (2a -1)ù = 0 ，且注意到 g￠(0) = 0 ，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知: g￠( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上存在唯一零點(diǎn) x0 .
當(dāng) x ?(0, x0 ) 時(shí)， g￠(x) < 0 ， g ( x) 單調(diào)減， 當(dāng) x ?( x0 , +￥) 時(shí)， g￠( x) > 0 ， g ( x) 單調(diào)遞增， 所以 g ( x0 ) < g (0) = 0 .

1 ? 1 ?

?
1 1 ?
1 ? -( x -1)2

令 n ( x ) = ln x - 2 ? x - x ÷ ，則 n￠( x) = -
?1+

2 ÷ =

￡ 0 ，
2


è ? x 2 è x ? 2x
則 n ( x) 單調(diào)遞減，注意到 n (1) = 0 ，

故當(dāng) x ?(1, +￥) 時(shí)， ln x - 1 ? x - 1 ? < 0 ，從而有l(wèi)n x < 1 ? x - 1 ? ，
2 ? x ÷ 2 ? x ÷
è ? è ?
所以 g ( x ) = ax2 + x - (x +1)ln (x +1)

> ax2 + x - (x +1)′ 1 é(x +1)- 1 ù


= ? a - 1 ? x2 + 1 ，


2 ê?
x +1ú?

? 2 ÷ 2

è ?

令? a - 1 ? x2 + 1 = 0 得 x =

? 1 ?
1
1- 2a
，所以 g > 0 ，

? 2 ÷ 2 2
? 1- 2a ÷

è ? è ?
所以函數(shù) g ( x) 在區(qū)間(0, +￥) 上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.
綜合上面可知:實(shí)數(shù)a 得取值范圍是? 0, 1 ? .
? 2 ÷
è ?

【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等


函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元. (2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為 0 和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證. 四、選做題
【選修 4-4】（10 分）
22. 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1 的極坐標(biāo)方程


為r= 2sinq? π ￡q￡ π ?
，曲線C ： ìx = 2 cosa
a為參數(shù)， p < a< p ）.

4 2
?
? ÷ 2
è ?
í y = 2 sina（ 2


（1） 寫出C1 的直角坐標(biāo)方程；

（2） 若直線 y = x + m 既與C1 沒有公共點(diǎn)，也與C2 沒有公共點(diǎn)，求m 的取值范圍.
【答案】（1） x2 + ( y -1)2 = 1, x ?[0,1], y ?[1, 2]
（2） (-￥, 0) U (2 2, +￥ )

【解析】
【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，注意 x, y 的取值范圍；
（2）根據(jù)曲線C1 , C2 的方程，結(jié)合圖形通過平移直線 y = x + m 分析相應(yīng)的臨界位置，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解即可.
【小問 1 詳解】

因?yàn)閞= 2 sinq，即r2 = 2rsinq，可得 x2 + y2 = 2 y ，
整理得 x2 + ( y - 1)2 = 1，表示以(0,1) 為圓心，半徑為 1 的圓，
又 因 為 x = rcosq= 2 sinqcosq= sin 2q, y = rsinq= 2 sin 2q= 1- cos 2q ， 且 π ￡q￡ π ，則 π ￡ 2q￡ π ，則 x = sin 2q?[0,1], y = 1- cos 2q?[1, 2] ，
4 2 2

故C1
: x2 + ( y -1)2 = 1, x ?[0,1], y ?[1, 2].


【小問 2 詳解】



因?yàn)?C2
: ìx = 2 cosa
í y = （2 sina
?

a為參數(shù)， π < a< π ）， 2

整理得 x2 + y2 = 4 ，表示圓心為O (0, 0) ，半徑為 2，且位于第二象限的圓弧，

如圖所示，若直線 y = x + m 過(1,1) ，則1 = 1+ m ，解得 m = 0 ；
m
2
ì = 2

若直線 y = x + m ，即 x - y + m = 0 與C 相切，則?
，解得 m = 2 ，

2


2



若直線 y = x + m 與C1 , C2 均沒有公共點(diǎn)，則 m > 2
即實(shí)數(shù) m 的取值范圍(-￥, 0) U (2 2, +￥ ) .


【點(diǎn)睛】
í
?
?m > 0
2
或 m < 0 ，






【選修 4-5】（10 分）
23. 已知 f ( x) = 2 x + x - 2 .
（1） 求不等式 f ( x) ￡ 6 - x 的解集；
íx + y - 6 ￡ 0
（2） 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，求不等式組ì f (x) ￡ y
?







所確定的平面區(qū)域的面積.


【答案】（1） [-2, 2] ；

（2）8.
【解析】

【分析】（1）分段去絕對(duì)值符號(hào)求解不等式作答.

（2）作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求出面積作答.


【小問 1 詳解】
ì3x - 2, x > 2
í
依題意， f (x) = ?x + 2, 0 ￡ x ￡ 2 ，
?
?-3x + 2, x < 0
í
不等式 f (x) ￡ 6 - x 化為： ìx > 2
?3x - 2 ￡ 6 - x





ì0 ￡ x ￡ 2
?
或íx + 2 ￡ 6 - x





ìx < 0
?
或í-3x + 2 ￡ 6 - x ，



í
ìx > 2
解
?3x - 2 ￡ 6 - x
ì0 ￡ x ￡ 2
?
，得無解；解íx + 2 ￡ 6 - x
ìx < 0
?
，得0 ￡ x ￡ 2 ，解í-3x + 2 ￡ 6 - x

，得-2 ￡ x < 0 ，因此

-2 ￡ x ￡ 2 ，
所以原不等式的解集為：[-2, 2]

【小問 2 詳解】

ì f (x) ￡ y
?
作出不等式組íx + y - 6 ￡ 0 表示的平面區(qū)域，如圖中陰影VABC ，

由ì y = -3x + 2 ，解得 A(-2, 8) ，由ì y = x + 2 , 解得C(2, 4) ，又 B(0, 2), D(0, 6) ，
?
?
íx + y = 6 íx + y = 6
所以VABC 的面積 S = 1 | BD | ′ x - x = 1 | 6 - 2 | ′ | 2 - (-2) |= 8 .

V ABC 2 C A 2






























































第 29頁/共 29頁

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